裂纹尖端的位错密度及其应用

　第14卷第4期2003年12月中原工学院学报

JOURNA L OF ZH ONG YUAN INSTITUTE OF TECHN OLOG Y V ol. 14　N o. 4Dec. ,2003

　　文章编号:167126906(2003) 0420069203

裂纹尖端的位错密度及其应用

孙玉周

(中原工学院基础部, 河南郑州　450007)

摘　要:　本文为弹性断裂力学分析提供了一个新的变量:位错密度. 并论证了这一变量在裂纹尖端具有1/r 阶的奇异性. 分别给出了三类裂纹问题裂尖位错密度与应力强度因子的关系, 对这一变量在数值计算中的应用进行了探讨. 关　键　词:　裂纹; 位错密度; 奇异性; 应力强度因子; 边界元中图分类号:　O346. 11

文献标识码:　A

　　断裂力学在现代材料强度理论中具有重要的地位, 广泛地应用于结构、机械、材料科学、航空等领域. 裂纹传播与否和裂纹尖端的应力场直接有关, 但是裂纹尖端的应力场理论上具有1/r 阶的奇异性, 不可能作为判定裂纹是否传播的参量. 为此, 断裂力学引入了应力强度因子这一新的物理量, 应力强度因子的大小反映了裂尖应力场的强弱, 可被用来作为材料断裂破坏的判据.

线弹性断裂力学的一个重要任务就是计算应力强度因子, 但是只有极少数问题具有解析解, 大多数问题需要借助于数值方法来求解, 这一领域一直受到学者们的广泛关注. 裂尖应力场奇异性的存在给断裂力学的计算带来了许多不便, 它的处理方法直接影响着计算结果的精度. 近来部分学者在计算过程中引入了位错密度或类似于位错密度的中间量, 给问题的分析带来了许多方便. 本文从正面给出位错密度的定义, 并论证了这一变量在裂纹尖端同样具有1/r 阶的奇异性, 分别给出了三类裂纹问题裂尖位错密度与应力强度因子的关系, 对位错密度的应用进行了初步探讨.

表示为[1, 2]:纯Ⅰ型:2μu =K Ⅰ

π[(k -1) +2sin

2

]cos +…22

(1)

2μv =K Ⅰ

π[(k -

1) +2cos

2

]sin +…22

(2)

图1　弹性体中的一穿透裂纹

1　裂纹尖端的位移场

滑裂纹问题可分为三种基本模型:张开型(Ⅰ型) 、

开型(Ⅱ型) 和撕开型(Ⅲ型) , 两种或三种基本型的组合称为复合型裂纹问题. 设u , v , w 为x , y , z 方向的位移分量(图1) , 则三种裂纹模型裂尖附近的位移场可

　收稿日期:2003-06-09　作者简介:孙玉周(1974-) , 男, 河南新野人, 硕士, 讲师.

纯Ⅱ型:2μu =K Ⅱ

π[(k +1) +2cos

2

θθ

]sin +…22

(3)

2μv =K Ⅱ

π[-(k -1) +2sin 2

]cos +…22

(4)

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　中原工学院学报　　　　　　　　　　　　　　　　2003年　第14卷　纯Ⅲ型:

θ

(5) +…μπ2

θ为裂尖极坐标系中的极半径和　　上面各式中, r 、

极角

(图2) . μ为材料的泊松比, k =3-4μ　　　　平面应变

.

(3-μ) /(1+μ) 　平面应力

w =

(8) 和(12) 不难看出, 新的变量　　由(7) 、

K Ⅲ

sin

在裂纹尖端具有1/r 阶的奇异性.

s

上面的推导过程虽然是针对沿x 轴分布的直裂纹的, 但是对于任意形状、任意分布的曲线裂纹(图3) , 经过较为复杂的数学推导可知, 最后的公式(10) 、(11) 和(12) 也是成立的.

、s s

图2　裂纹尖端的位移场

图3　任意分布的曲线裂纹

2　裂纹尖端的位错密度

Δv 、Δw 为裂纹上、记Δu 、下表面对应点沿三个方

(s 为裂纹面向的相对位移, 即位错, 则s s s

上的弧坐标) 反映了三个方向的位错沿裂纹面的变化密度, 即位错密度.

对于Ⅰ型裂纹问题由对称性知:

(6) =0s

　　(2) 式两边对x 求导并令θ=180°得:

(7) 2μ=K 1

s πr (上述推导为一数学运算, 主要用到关系:

3　位错密度的应用

对于裂纹问题, 传统的做法[1, 3]是以位移或应力为未知量进行求解, 然后由位移或应力计算应力强度

因子, 但是如果问题是混合型的, 显然K Ⅰ、K Ⅱ、K Ⅲ中的任何一个与位移或应力的所有分量都有关系, 不可避免地对最后数值结果的精度造成一定的影响. 如果在计算中采用位错密度作为未知量, 由上面的公式不难看出不管是单一型还是混合型裂纹问题, K Ⅰ、K Ⅱ、

K Ⅲ都分别只与有关, 这给问题的分析

s s s

带来很大的方便.

当被计算出来之后, 边界上任何s s s

一点的位移可通过上面三个量在边界上的积分得到, 但对于断裂力学问题, 我们最关心的是应力强度因子. 所以, 在裂纹问题的数值计算中, 采用位错密度作为未知量是可行而且非常有效的.

反平面裂纹问题是典型的Ⅲ型裂纹问题, 下面以反平面裂纹问题为例, 说明位错密度的应用.

在反平面裂纹问题的边界元计算中, 如果直接应用位移边界积分方程则会出现不适定性, 如果应用传统的面力边界积分方程, 强奇异积分的处理非常麻烦[1], 因此, 目前的算例多为问题对称的简单情况. 我们对反平面裂纹问题的传统位移边界积分公式进行了

推导, 得到了一个以为未知量的新边界积分方

s

程[4, 5]:

) . =-x r

对于Ⅱ型裂纹问题, 类似的过程可得:

(8) 2μ=K Ⅱ

s πr (9) =05s

　　于是我们有Ⅰ、Ⅱ型混合裂纹问题应力强度因子的计算公式:

K Ⅰ=lim

r →0

θ, =cos

5x

k -1s

(10) (11)

K Ⅱ=lim

r →0

k -1s 2s

对于Ⅲ型裂纹问题由(5) 可推导出:

K Ⅲ=lim μ

r →0

(12)

　第4期　　　　　　　　　　　　　　　孙玉周:裂纹尖端的位错密度及其应用　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　∫

S

S

(n 1(P ) D zx (P , Q ) +n 2(P ) D yz (P , Q ) ) q (Q ) d s (Q )

表1　A 、B 端的标准化应力强度因子

Y Ⅲ(A )

Y Ⅲ(B )

-μW xy (P , Q )

∫∫

Γ

(

d s P , Q ) +s

本文0. 9203精确解0.

9239本文0. 9211精确解0. 9239

∫

Γ

(n 1(P ) D zx (P , Q ) +n 2(P ) D yz (P , Q ) ) Σq (Q ) d s (Q )

注:Y Ⅲ=K Ⅲ/(τr sin α) “; 精确解”来源于文献[6]。

-μW xy (P , Q )

d s (Q ) 5s

=

q (P ) 　　　点P ∈s 2

+-[q (P ) -q (P ) ]　点P ∈Γ2

(13)

　　上式中D zx (P , Q ) 、D yz (P , Q ) 、W xy (p , Q ) 为与反平面问题基本解有关的量; q +(P ) -q -(P ) 为作用在裂纹上、下表面上的面力之差值.

以(13) 为基础对反平面裂纹问题进行边界元数值计算, 不仅可以大大提高数值结果的计算精度, 而且把边界元法在裂纹问题上的应用范围进行了推广, (13) 适用于任意形状、任意分布的曲线裂纹.

我们应用(13) 和(12) 对无限域中的圆弧裂纹(图

) 进行了计算, 数值结果(表1) 的精度非常4, α=45°

好, 这充分说明由位错密度来计算应力强度因子以及本文基于此对反平面裂纹问题的处理是有效的.

图4　无限大板中的圆弧裂纹

4　结　语

本文从正面给出了位错密度的定义, 并对它的应用做了初步的探讨, 采用位错密度作为未知量可以给

问题的数值计算带来很大的方便. 从一定意义上讲, 由它推导出的方程直接克服了传统做法用于裂纹问题时带来的困难. 另外, 这一做法不仅对于反平面问题是有效的, 对于其它各类断裂力学问题也都将是行之有效的. 　

参考文献:

[1]　黎在良, 王元汉, 李廷芥. 断裂力学中的边界数值方法[M].北京:地震出版社,1996. [2]　范天佑. 断裂力学基础[M].南京:江苏科技出版社,1978.

[3]　Snyder M D , Cruse T A. Boundary 2integral equation analysis of cracked anis otropic plates[J].INT J FRACTURE, 1975,11:315-328. [4]　孙玉周, 王银邦. 反平面裂纹问题的边界元解法[J].兰州大学学报(自然科学版) ,2001,37(4) :25-30. [5]　Sun Y Z , Y ang S S , Wang Y B. A new formulation of boundary element method for cracked anis otropic bodies under anti 2plane shear[J].

COMPUT METH OD APP L M , 2003, 192(22-24) :2633-2648. [6]　S ih G C. Handbook of stress intensity factors[M].Lehigh University , Bethlehem Pennsylvania ,1973.

The Characteristic and Application of Dislocation

Densities Surrounding the Crack Tip

S UN Y u 2zhou

(Department of Basic Science , Zhongyuan Institute of T echnology , Zhengzhou 450007, China )

　　Abstract :　This paper provides a new variable (the dislocation density ) for the fracture mechanics analysis , and it is proved that the dislocation density near the crack tip shows the singularity of order 1The relation between the stress inten 2sity factors and the dislocation densities near the crack tip is given for the single and mixed crack problems , and a sim ple ap 2plication is disccused.

K ey w ords :　cracks ; dislocation density ; singularity ; stress intensity factors ; boundary elements.