§1.6线性时不变系统

一、系统的定义

若干相互作用、相互联系的事物按一定规律组成具有特定功能的整体称为系统。

电子系统是电子元器件的集合体。电路侧重于局部，系统侧重于全部。电路、系统两词通用。

二、系统的分类及性质

可以从多种角度来观察、分析研究系统的特征，提出对系统进行分类的方法。下面讨论几种常用的分类法。

1. 连续系统与离散系统

若系统的输入信号是连续信号，系统的输出信号也是连续信号，则称该系统为连续时间系统，简称为连续系统。

若系统的输入信号和输出信号均是离散信号，则称该系统为离散时间系统，简称为离散系统。

2. 动态系统与即时系统

若系统在任一时刻的响应不仅与该时刻的激励有关，而且与它过去的历史状况有关，则称为动态系统或记忆系统。含有记忆元件(电容、电感等) 的系统是动态系统。否则称即时系统或无记忆系统。

（2）动态系统是线性系统的条件

动态系统不仅与激励{ f (·) }有关，而且与系统的初始状态{x (0)}有关。初始状态也称“内部激励”。完全响应为

y (·) = T [{ f (·) }, {x (0)}]

仅由初始状态{x (0)}引起的响应为零输入响应

y x (·) = T [ {0}，{x(0)}]仅由输入信号{ f (·) }引起的响应为零状态响应

y f (·) = T [{ f (·) }, {0}]

系统的全响应＝零输入响应+零状态响应

即：

零状态线性——零状态响应对于各输入信号呈现线性

零输入线性——零输入响应对于各初始状态呈现线性)

线性系统——具有、又具有和系统

y (t ) =y x (t ) +y f (t )

①可分解性：

y (·) = y f (·) + y x (·) = T[{ f (·) }, {0}]+ T[ {0}，{x (0)}]②零状态线性：

T[{a f (·) }, {0}] =a T[{ f (·) }, {0}]

T[{f 1(t ) + f 2(t ) }, {0}] = T[{ f 1(·) }, {0}] + T[{ f 2(·) }, {0}]或

T[{af 1(t ) +bf 2(t ) }, {0}] = aT[{ f 1(·) }, {0}] +bT[{ f 2(·) }, {0}]③零输入线性：

T[{0},{ax (0)}]= aT[ {0},{x (0)}]

T[{0},{x 1(0) + x 2(0)} ]= T[{0},{x 1(0)}] + T[{0},{x 2(0)}]

或T[{0},{ax 1(0) +bx 2(0)} ]= aT[{0},{x 1(0)}] +bT[{0},{x 2(0)}]

例1-6-2：判断下列系统是否为线性系统？（1）y (t ) = 3 x (0) + 2 f (t ) + x (0) f (t ) + 1（2）y (t ) = 2 x (0) + | f (t )|（3）y (t ) = x 2(0) + 2 f (t )

解：（1）y f (t ) = 2 f (t ) +1，y x (t ) = 3 x (0)

显然，y (t ) ≠y f (t ) ＋y x (t ) 不满足可分解性，故为非线性（2）y f (t ) = | f (t )|，y x (t ) = 2 x (0)

y (t ) = y f (t ) + y x (t ) 满足可分解性；

由于T[{a f (t ) }, {0}] =| af (t )| ≠a y f (t ) 不满足零状态线性。故为非线性系统。

（3）y f (t ) = 2 f (t ) , y x (t ) = x 2(0) ，显然满足可分解性；

由于T[ {0},{a x (0) }] =[a x (0)]2≠a y x (t ) 不满足零输入线性。故为非线性系统。

例1-6-3：判断下列系统是否为线性系统？ 解： y x (t ) = e x(0), y f (t ) = ∫ sin( x) f ( x) d x 0 y (t) = yf(t) + yx(t) ， 满足可分解性； T[{a f1(t)+ b f2(t) }, {0}]

−t

t t 0 0

y (t ) = e x(0) + ∫ sin( x) f ( x) d x

−t 0 t

t

= ∫ sin( x)[a f1 ( x) + b f 2 ( x)] d x = a ∫ sin( x) f1 ( x) d x + b ∫ sin( x) f 2 ( x) d x

0

t

= aT[{f1(t)}, {0}] +bT[{ f2(t) }, {0}]，满足零状态线性； T[{0},{ax1(0) + bx2(0)} ] = e-t[ax1(0) +bx2(0)] = ae-tx1(0)+ be-tx2(0) = aT[{0},{x1(0)}] +bT[{0},{x2(0)}], 满足零输入线性； 所以，该系统为线性系统。

4．时变系统与时不变系统

1.定义

一个系统，在零初始条件下，其输出响应与输入信号 施加于系统的时间起点无关，称为非时变系统，否则 称为时变系统。

认识:

•电路分析上看:元件的参数值是否随时间而变 • 从方程看:系数是否随时间而变 •从输入输出关系看:

时不变性

e(t ) e( t − t 0 )

e(t )

H

r (t ) r ( t − t0 )

r (t )

0

T

t

0

t

e( t − t 0 )

r (t − t 0 )

0

t0

t0 + T

t

0

t0

t

判断方法 先时移，再经系统＝先经系统，再时移

f (t )

H [• ]

H [ f (t )] y (t )

DE

τ

y (t − τ )

f (t )

DE

τ

f (t − τ )

H [•]

H [ f (t − τ )]

若 H [ f (t − τ )] = y(t − τ ) 则系统 H [•] 是非时变系统,否则是时变系统.

例1-6-6 ：判断下列系统是否为时不变系统？ （1） yf (k) = f (k) f (k –1) （2） yf (t) = t f (t) 解(1)令输入g (k) = f(k –kd) T[{0}， g (k)] = g(k) g (k –1) = f (k –kd) f (k–kd –1 ) 而 yf (k –kd) = f (k –kd) f (k–kd –1) 显然 T[{0}，f(k –kd)] = yf (k –kd) 故该系统是时不变的。 (2) 令输入g (t) = f(t –td) T[{0}， g (t)] = t g (t) = t f (t –td) 而 yf (t –td)= (t –td) f (t –td) 显然T[{0}，f(t –td)] ≠ yf (t –td) 故该系统为时变系统。

5.因果系统与非因果系统

1. 定义

因果系统是指当且仅当输入信号激励系统时，才会出 现输出（响应）的系统。也就是说，因果系统的（响 应）不会出现在输入信号激励系统的以前时刻。 系统的这种特性称为因果特性。 符合因果性的系统称为因果系统(非超前系统)。

2.判断方法

输出不超前于输入

3.实际的物理可实现系统均为因果系统

非因果系统的概念与特性也有实际的意义，如信 号的压缩、扩展，语音信号处理等。 若信号的自变量不是时间，如位移、距离、亮 度…为变量的物理系统中研究因果性显得不很重要。

4.因果信号

t=0接入系统的信号称为因果信号 表示为：

e( t ) = e( t )u( t ) 相当于 t

6. 稳定系统与不稳定系统

一个系统，若对有界的激励f(.)所产生的零状态 响应yf(.)也是有界时，则称该系统为有界输入有界输 出稳定，简称稳定。即 若│f(.)│

y f (t ) = ∫

t

−∞

f ( x) d x 是不稳定系统。

当t →∞时，它也→∞，无界。

因为，当f(t) =ε(t)有界，

∫

t

−∞

ε ( x) d x = tε (t )

本节小结： 重点：

•系统线性判定 •系统时不变性判定 •系统因果性判定

§1.7 系统分析方法

通信与信息工程学院

江帆

一.建立系统模型的两种方法

输入⎯⎯输出描述法：

•着眼于激励与响应的关系，而不考虑系统内部变量情况；

•单输入/单输出系统；

•列写一元n 阶微分方程。

状态变量分析法：

•不仅可以给出系统的响应，还可以描述内部变量如电容电压v C (t )或电感电流i L (t )的情况。•研究多输入/多输出系统；

•列写多个一阶微分方程。

二. 数学模型的求解方法1. 时域分析

微分方程⎧连续系统：z 经典法求解⎨ 差分方程⎩离散系统：

●卷积积分（或卷积和）法

2. 变换域分析

•傅里叶变换——FT

•拉普拉斯变换——LT

•z 变换——ZT

•离散傅里叶变换——DFT

•离散沃尔什变换——DWT

第一章补充例题

由题中条件，有

y 1(t) =y1x (t) + y1f (t) = e –t+ cos(πt) ，t>0 （1）y 2(t) = y2x (t) + y2f (t) = –2e –t+3 cos(πt) ，t>0 （2）根据线性系统的齐次性，y 2x (t) = 2y1x (t)，y 2f (t) =3y1f (t)，代入式（2）得y 2(t) = 2y1x (t) +3 y1f (t) = –2e –t+3 cos(πt) ，t>0 （3）式(3)–2×式(1)，得

y 1f (t) = –4e-t + cos(πt) ，t>0由于y 1f (t) 是因果系统对因果输入信号f 1(t)的零状态响应，故当t

y 1f (t) = [–4e-t + cos(πt)]ε(t) (4)

解：

(4)

t −∞

∫

t

−∞

(2 − x)δ ′( x)dx

= ∫ [2δ ′( x) − (−1)δ ( x)]dx = 2δ (t ) + ε (t )

例3：下列差分方程描述的系统，是否线性？是否时不变？ 并写出方程的阶数。 （1）y(k) + (k – 1)y(k – 1) = f(k) 线性、时变，一阶 （2） y(k) + y(k+1) y(k – 1) = f2(k) 非线性、时不变，二阶 （3） y(k) + 2 y(k – 1) = f(1 – k)+1 线性、时变，一阶 解：判断方法：方程中均为输出、输入序列的一次关系 项，则是线性的。输入输出序列前的系数为常数，且无反 转、展缩变换，则为时不变的。

例1-6-1

判断下述微分方程所对应的系统是否为线性系统?

d r (t ) + 10r ( t ) + 5 = e( t ) ,t > 0 dt

分析：根据线性系统的定义，证明此系统是否具有 齐次性和可加性。可以证明： 系统不满足齐次性 系统不具有可加性 ∴此系统为非线性系统。 请看下面证明过程

证明齐次性

设信号e(t)作用系统，响应为r(t) 当Ae(t)作用于系统时，若此系统具有线性，则

d Ar ( t ) + 10 Ar ( t ) + 5 = Ae ( t ) dt t>0 (1)

原方程两端乘A：

⎤ ⎡ d r (t ) A⎢ + 10r ( t ) + 5⎥ = Ae ( t ) ⎦ ⎣ dt

t>0 ( 2)

(1),(2)两式矛盾。故此系统不满足齐次性

证明可加性

假设有两个输入信号 e1 ( t )及e2 ( t ) 分别激励系统，则由 所给微分方程式分别有：

d r1 (t ) + 10r1 (t ) + 5 = e1 (t ) dt d r2 (t ) + 10r2 (t ) + 5 = e2 (t ) dt t>0 t>0 ( 3) ( 4)

当e1 ( t ) + e2 ( t ) 同时作用于系统时，若该系统为线性系 统，应有

d [r1 (t ) + r2 (t )] + 10[r1 (t ) + r2 (t )] + 5 = e1 (t ) + e2 (t ) dt t>0 ( 5)

(3)+(4)得

d [r1 (t ) + r2 (t )] + 10[r1 (t ) + r2 (t )] + 10 = e1 (t ) + e2 (t ) dt t>0 ( 6)

(5)、(6)式矛盾，该系统为不具有可加性

例1-6-4

判断下列两个系统是否为非时变系统． 系统1： r (t ) = cos e (t ) 系统2：r (t ) = e (t ) ⋅ cos t

t>0 t>0

1.系统的作用是对输入信号作余弦运算。

(1)e( t ) ⎯时移t0 → e( t − t 0 ) ⎯经过系统 → r11 ( t ) = cos e( t − t 0 ) t > 0 ⎯ ⎯ ⎯⎯ ⎯

( 2)e( t ) ⎯⎯ ⎯ → cos e( t ) ⎯⎯ → r12 ( t ) = cos e( t − t 0 ) t > 0 ⎯ ⎯

经过系统 时移t 0

r11 (t ) = r12 (t )

∴此系统为时不变系统。

系统2：r (t ) = e (t ) ⋅ cos t

t>0

系统作用:输入信号乘cos(t)

(1)e( t ) ⎯时移t0 → e( t − t 0 ) ⎯经过系统→ r21 ( t ) = e( t − t 0 ) cos t ⎯ ⎯ ⎯⎯ ⎯

经过系统

时移

t>0

t>0

( 2)e( t ) ⎯⎯ ⎯ → e( t ) cos t⎯⎯ t 0→ r22 ( t ) = e( t − t 0 ) cos( t − t 0 ) ⎯ ⎯

r21 ( t ) ≠ r22 ( t )

此系统为时变系统。

例1-6-5

y (t ) = t ⋅ f (t ) 判断系统是否为线性非时变系统

是否为线性系统？

f 1 (t ) C1 C 1 f 1 (t )

f 2 (t )

f 1 (t )

C2

H [•]

C 2 f 2 (t )

t ⋅ f 1 (t )

∑

C1 C 1 t ⋅ f 1 (t )

H [•]

t ⋅ [C 1 f 1 (t ) + C 2 f 2 (t )]

f 2 (t )

H [•]

t ⋅ f 2 (t )

C2

C 2 t ⋅ f 2 (t )

∑

C 1 tf 1 (t ) + C 2 tf 2 (t )

可见,先线性运算，再经系统＝先经系统，再线性 运算,所以此系统是线性系统

是否为时不变系统？

f (t )

H [• ]

t ⋅ f (t )

DE

τ

(t − τ ) f (t − τ )

t ⋅ f (t − τ )

f (t )

DE

τ

f (t − τ )

H [• ]

可见, 时移、再经系统 ≠ 经系统、再时移，, 所以此系统是时变系统。

例1-6-7

微分方程 r (t ) = e (t ) + e (t − 2 )代表的系统是否是因果 系统．

t=0

r (0 ) = e (0 ) + e (− 2 )

现在的响应=现在的激励+以前的激励 ∴ 该系统为因果系统。

微分方程 r (t ) = e (t ) + e (t + 2 )代表的系统是否是因果 系统．

t=0

r (0 ) = e (0 ) + e (+ 2 )

未来的激励 ∴该系统为非因果系统