高中基本初等函数

单调性

（1）函数的单调性 ①定义及判定方法

单调性是与“区间”紧密相关的概念，对于一个函数，它在某区间上可能有单调性，也可能没有单调性，例如函数y=x+ ，它在区间（- ，0]上没有单调性，而在[0，+ ）上是增函数。

有的函数不具备单调性，如函数y= ，它的定义域为R ，但它不具备单调性；再如函数y=x+1，x Z ，它的定义域不是区间，也不能说它在定义域上具有单调性。

函数的单调性具有可逆性，即在区间D 上单调递增，则，且，有；反之亦然。

②复合函数的单调性：在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数。

对于复合函数y =f [g (x )]，令u =g (x ) ，若y =f (u ) 为增，u =g (x ) 为增，则y =f [g (x )]为增；若y =f (u ) 为减，u =g (x ) 为减，则y =f [g (x )]为增；若y =f (u ) 为增，u =g (x ) 为减，则y =f [g (x )]为减；若y =f (u ) 为减，u =g (x ) 为增，则y =f [g (x )]为减．

最大（小）值定义

①一般地，设函数y =f (x ) 的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x ∈I ，都有f (x ) ≤M ；

（2）存在x ∈I ，使得f (x ) =M ．那么，我们称M 是函数f (x ) 的最大值，记作f (x ) =M ．

②一般地，设函数y =f (x ) 的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x ∈I ，都有f (x ) ≥m ；（2）存在x ∈I ，使得f (x ) =m ．那么，我们称m 是函数f (x ) 的最小值，记作f (x ) =m ．

max

奇偶性

函数的奇偶性

①定义及判定方法

②若函数f (x ) 为奇函数，且在x =0处有定义，则f (0)=0．

③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．

用定义判断函数奇偶性的方法

幂函数

（1）幂函数的定义

一般地，函数y =x 叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数．（2）幂函数的图象

（3）幂函数的性质 ①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称) ；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称) ；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．

②过定点：所有的幂函数在(0,+∞) 都有定义，并且图象都通过点(1,1)． ③单调性：如果α>0，则幂函数的图象过原点，并且在[0,+∞

) 上为增函

数．如果α

④奇偶性：当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数．

⑤图象特征：幂函数y =x , x ∈(0,+∞) ，当α>1时，若01，其图象在直线y =x 上方，当α1，其图象在直线y =x 下方．

指数函数

对数函数

（1）对数的定义

①若a =N (a >0, 且a ≠1) ，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作x =log N ，其中a 叫做底数，N 叫做真数．

②负数和零没有对数．

③对数式与指数式的互化：x =log N ⇔a =N (a >0, a ≠1, N >0) ． x

（2）几个重要的对数恒等式

（3）常用对数与自然对数

常用对数：lg N ，即log 10N ；自然对数：（4）对数的运算性质

ln N ，即log e

N e =2.71828„）．（其中

反函数

设函数y =f (x ) 的定义域为A ，值域为C ，从式子y =f (x ) 中解出x ，得式子x =ϕ(y ) ．如果对于y 在C 中的任何一个值，通过式子x =ϕ(y ) ，x 在A 中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x =ϕ(y ) 表示x 是y 的函数，函数x =ϕ(y ) 叫做函数y =f (x ) 的反函数，记作x =f (y ) ，习惯上改写成y =f (x ) ．（7）反函数的求法

①确定反函数的定义域，即原函数的值域；②从原函数式y =f (x ) 中反解出x =f (y ) ；

③将x =f (y ) 改写成y =f (x ) ，并注明反函数的定义域．反函数的性质

①原函数y =f (x ) 与反函数y =f (x ) 的图象关于直线y =x 对称．

②函数y =f (x ) 的定义域、值域分别是其反函数y =f (x ) 的值域、定义域． ③若P (a , b ) 在原函数y =f (x ) 的图象上，则P (b , a ) 在反函数y =f (x ) 的图象上．

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