20**年辽宁高考数学文科试卷带详解

2011年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的．

1．已知集合A ={x |x >1}，B ={x |-1

A. {x |-1-1} C. {x |-1

【测量目标】集合的基本运算（交集）.

【考查方式】集合的表示（描述法），求集合的交集.

【参考答案】D

【试题解析】利用数轴可以得到A B ={x |x >1} {x |-1

2．i 为虚数单位，+

A. 0 D. {x |1

【测量目标】复数代数形式的四则运算.

【考查方式】结合复数代数形式和方幂来考查四则运算.

【参考答案】A 【试题解析】+1111++=-i +i -i +i =0. i i 3i 5i 7

(2a -b ) =0，则k = ( ) 3．已知向量a =(2,1)，b =(-1, k ) ，a

A. -12 B. -6 C. 6 D. 12

【测量目标】平面向量的数量积的综合应用.

【考查方式】给出两向量数量积为零的条件，求待定参数.

【参考答案】D

【试题解析】因为a =(2,1),b =(-1, k ) ，所以2a -b =(5,2-k ) ．（步骤1） 又a ⋅(2a -b ) =0，所以2⨯5+1⨯(2-k ) =0，得k =12．（步骤2）

4．已知命题P ：∃n ∈N ，2n ＞1000，则⌝P 为 ( )

A. ∀n ∈N ，2n ≤1000 B. ∀n ∈N ，2n ＞1000

C. ∃n ∈N ，2n ≤1000 D. ∃n ∈N ，2n ＜1000

【测量目标】全称命题和特称命题的否定.

【考查方式】结合不等式考查特称命题的否定.

【参考答案】A

【试题解析】特称命题的否定是全称命题，“＞”的否定是“≤”，故正确答案是A

5．若等比数列{a n }满足a n a n +1=16n ，则公比为 ( )

A. 2 B. 4 C. 8 D. 16

【测量目标】等比数列的性质.

【考查方式】给出相邻两项数列积的规律，化简得出数列的公比.

【参考答案】B

【试题解析】设等比数列{a n }的公比为q ， a n a n +1=16n , ∴a n +1a n +2=16n +1，（步骤1） ∴q 2=16, q =4（步骤2）

6．若函数f (x ) =x 为奇函数，则a = ( ) (2x +1)(x -a )

A. 123 B. C. D. 1 234

【测量目标】函数奇偶性的综合应用.

【考查方式】利用奇函数的原点对称性，代入特殊点求出函数中的未知数.

【参考答案】A

【试题解析】∵ 函数f (x ) =x 为奇函数, (2x +1)(x -a )

∴f (-2) =f (2),即1-22=，解得a =. 2(-4+1)(-2-a ) (4+1)(2-a )

7．已知F 是抛物线y 2=x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，AF +BF =3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为 ( ) A. 3 4B. 1 C. 5 4D. 7 4

【测量目标】抛物线的简单几何性质.

【考查方式】给出焦点弦的线段关系，间接求解点到坐标轴的距离.

【参考答案】C

【试题解析】设 A ，B 两点的横坐标分别为m , n 则由AF +BF =3及抛物线的定义可

1=3, (步骤1) 2

1m +n 5=. （步骤2） ∴m +n =, 224

5即线段AB 的中点到y 轴的距离为. （步骤3） 4知m +n +

8．一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为23，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是 ( )

A. 4 B. 2 C. 2 D. 3

【测量目标】由三视图求几何体的表面积与体积.

【考查方式】给出正三棱柱的体积和线段的长度，转化为求对应平面的面积.

【参考答案】B

【试题解析】设棱长为a ，由体积为2可列等式2（步骤1） a ⋅a =2，a =2，4所求矩形的底边长为（步骤2） a =，这个矩形的面积是3⨯2=2．2

9．执行下面的程序框图，如果输入的n 是4，则输出的p 是 ( )

A. 8 B. 5 C. 3 D. 2

【测量目标】选择结构的程序框图.

【考查方式】考查循环结构的流程图， 注意循环条件的设置，以及循

环体的构成，特别是注意最后一次循环的k 的值．

【参考答案】C

【试题解析】若输入n =4，则执行s =0，t =1，k =1，p =1，判断1

立，进行第一次循环；（步骤1）

p =2，s =1，t =2，k =2，判断2

p =3，s =2，t =2，k =3，判断3

p =4，s =2，t =4，k =4，判断4

.

，B 是该球球面上的两点，AB =2，10．已知球的直径SC =4，A

∠ASC =∠BSC =45 ，则棱锥S -ABC 的体积为

( )

A.

B.

33

D. 33C.

【测量目标】球体和三棱锥的体积.

【考查方式】给出球体内部三棱锥的线段关系，利用线面垂直的关系求出对应三棱锥的体积.

【参考答案】C

【试题解析】设球心为O ，则AO , BO 是两个全等的等腰直角三角形斜边上的高，斜边SO =4, 故AO =BO =2，(步骤1)

且有AO ⊥SC ，BO ⊥SC ． ∴V S -ABC =V S -AOB +V C -AOB =1134S △AOB (SO +OC ) =⨯．（步骤2） ⨯22⨯4=3343

11．函数f (x ) 的定义域为R ，f (-1) =2，对任意x ∈R ，f '(x ) >2，则f (x ) >2x +4的解集为 ( )

A. （-1，1） B. （-1，+∞） C. （-∞，-1） D. （-∞，+∞）

【测量目标】函数的单调性、导函数的性质和不等式的应用.

【考查方式】给出函数值和导函数满足的条件，将不等式转化为函数的值域，进而求出对应的解集.

【参考答案】B

【试题解析】设g (x ) =f (x ) -(2x +4) , g '(x ) =f '(x ) -2. （步骤1）

因为对任意x ∈R ，f '(x ) >2，所以对任意x ∈R ，g '(x ) >0，则函数g (x ) 在R 上单调递增. （步骤2）

又因为g (-1)=f (-1) -(-2+4) =0，故g (x ) >0, 即f (x ) >2x +4的解集为(-1, +∞)

（步骤3）

, |ϕ|0

f (

π），y =f (x ) 的部分图像如下图，则2π) = ( ) 24

C.

D. 2

【测量目标】f (x ) =A tan （ωx +ϕ）的图象及性质.

【考查方式】结合正切函数的图象，在给定范围内求出周期，进而得出解析式和函数值.

【参考答案】B 【试题解析】如图可知T 3ππππ=-，即=，所以ω=2，（步骤1） 2882ω4

再结合图像可得2⨯ππ31ππ+ϕ=k π+, k ∈Z ，即=k π+

（步骤2）

ππ，又图像过点（0，1），代入得A tan =1，所以A =1，函44

πππ数的解析式为f (x ) =tan(2x +) ，

则f () =tan =. （步骤3） 4246只有k =0，所以ϕ=

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分．第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题-第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．已知圆C 经过A （5，1），B （1，3）两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为___________．

【测量目标】圆的方程，直线方程，直线与圆的位置关系.

【考查方式】由圆上的两点坐标确定出过圆心的直线，进而求出圆的方程.

【参考答案】(x -2) +y =10

【试题解析】直线AB 的斜率是k AB =223-11=-，中点坐标是(3,2) . 故直线AB

的中垂1-52

线方程y -2=2(x -3)，（步骤1）

由⎨⎧⎪y -2=2(x -3), 得圆心坐标C (2,0)，r =

|AC |==故圆的方程为⎪⎩y =0,

(x -2) 2+y 2=10. （步骤2）

14．调查了某地若干户家庭的年收入x （单位：万元）和年饮食支出y （单位：万元），

调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x

ˆ=0. 254x +0. 321. 由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1的回归直线方程：y

万元，年饮食支出平均增加____________万元．

【测量目标】回归直线方程的实际应用.

【考查方式】由回归直线方程中系数的意义可直接求解．

【参考答案】0.254

ˆ=0. 254x +0. 321，当x 增加1万元时，年饮食支出y 增加0.254万【试题解析】由于y

元．

15．S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 2=S 6，a 4=1，则a 5=____________．

【测量目标】等差数列的综合应用.

【考查方式】给出等差数列的某几项和之间的关系，通过待定系数法求出等差数列通项公式和某一项.

【参考答案】-1

6⨯5⎧d , ⎪2a 1+d =6a 1+【试题解析】设等差数列的公差为d ，解方程组⎨得d =-2， 2⎪⎩a 1+3d =1,

(步骤1)

a 5=a 4+d =-1. （步骤2）

16．已知函数f (x ) =e -2x +a 有零点，则a 的取值范围是___________．

【测量目标】函数的零点，单调性，极值，导数的性质，函数的零点与方程根的联系..

【考查方式】通过函数有零点转化为方程有根，将里面的参数提取出来作为函数值来处理，应用导数和极值求出其参数的取值范围.

【参考答案】(-∞,2ln2-2] x

【试题解析】函数f (x ) =e x -2x +a 有零点等价于f (x ) =0,

即e -2x +a 有解. 等价于a =2x -e 有解. (步骤1） 令g (x )=2x -e x ， x x

∴g '(x )=2-e x . 当x >ln 2时，g '(x )0. （步骤2） ∴当x =ln 2时，g (x )=2x -e x 取到最大值2ln 2-2，∴a 的取值范围是(-∞,2ln2-2]. （步骤3）

三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B +b cos 2A

． （I ）求b ； a

（II ）若c 2=b 2

2，求B ．

【测量目标】正弦定理和余弦定理.

【考查方式】给出三角形中边和角满足的等式关系，由正弦定理和余弦定理求出相应的边和角.

【试题解析】（I

）由正弦定理得，sin B sin A +sin B cos A =A ，即

22

sin B (sin2A +cos 2A ) =A (步骤1）

故sin B

A , 所以b =(步骤2）………………6分 a

22 （II

）由余弦定理和c =b +, 得cos B =2(步骤1） 由（I ）知b 2=

2a 2, 故c 2=(2a 2. (步骤2） 可得cos B =21, 又cos B >

0, 故cos B =所以B =45 . (步骤3） …………12分 22

18．（本小题满分12分）

如图，四边形ABCD 为正方形, QA⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA =AB =

（I ）证明：PQ ⊥平面DCQ ；

（II ）求棱锥Q -ABCD 的的体积与棱锥P -

DCQ 的体积1PD ． 2

的比值．

【测量目标】空间点、线、面之间的位置关系，线线、线面、面

面垂直的性质与判定，三棱锥的体积.

【考查方式】线线垂直⇒线面垂直, 给定线段间比例关系由此求出三棱锥体积.

【试题解析】

（I ）由条件知四边形PDAQ 为直角梯形

因为QA ⊥平面ABCD ，所以平面PDAQ ⊥平面ABCD ，交线为AD .

又四边形ABCD 为正方形，DC ⊥AD ，所以DC ⊥平面PDAQ ，可得PQ ⊥DC . (步骤1）

在直角梯形PDAQ 中可得DQ =PQ

=PD ，则PQ ⊥QD (步骤2） 2

所以PQ ⊥平面DCQ . (步骤3） ………………6分

（II ）设AB =a .

由题设知AQ 为棱锥Q -ABCD 的高，所以棱锥Q -ABCD 的体积V 1=

(步骤1）

由（I ）知PQ 为棱锥P -DCQ 的高，而PQ

，△DCQ

的面积为

所以棱锥P -DCQ 的体积为V 2=13a . 32， 213a . (步骤2） 3

故棱锥Q -ABCD 的体积与棱锥P -DCQ 的体积的比值为1 (步骤3）.……12分

19．（本小题满分12分）

某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种甲和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n 小块地，在总共2n 小块地中，随机选n 小块地种植品种甲，另外n 小块地种植品种乙．

（I ）假设n =2，求第一大块地都种植品种甲的概率；

（II ）试验时每大块地分成8小块，即n =8，试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地上的每公顷产量（单位：kg/hm2）如下表：

分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？

1附：样本数据x 1, x 2, ⋅⋅⋅, x n 的的样本方差s 2=[(x 1-x ) 2+(x 2-x ) 2+⋅⋅⋅+(x n -x ) 2]，其中n

为样本平均数．

【测量目标】简单随机抽样，随机事件的概率，用平均数和方差估计总体的数字特征.

【考查方式】列出基本事件数，从而得出概率; 根据两类个体的平均数和方差来相互比较作出优化选择.

【试题解析】

（I ）设第一大块地中的两小块地编号为1，2，第二大块地中的两小块地编号为3，4，

令事件A =“第一大块地都种品种甲”.

从4小块地中任选2小块地种植品种甲的基本事件共6个；

（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）. （步骤1）

而事件A 包含1个基本事件：（1，2）.

所以P (A ) =1. （步骤2）………………6分 6

（II ）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：

1x 甲=(403+397+390+404+388+400+412+406) =400, 8

12S 甲=(32+(-3) 2+(-10) 2+42+(-12) 2+02+122+62) =57.25. 8

（步骤1） ………………8分 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：

1x 乙=(419+403+412+418+408+423+400+413) =412, 8

12S 乙=[72+(-9) 2+02+62+(-4) 2+112+(-12) 2+12]=56. 8

（步骤2） ………………10分 由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙. （步骤3）

20．（本小题满分12分）

设函数f (x ) =x +ax 2+b ln x ，曲线y =f (x ) 过P （1,0），且在P 点处的切斜线率为2.

（I ）求a ，b 的值；

（II ）证明：f (x ) „2x -2.

【测量目标】函数的单调性和导数的关系，极值，不等式的证明.

【考查方式】给出点坐标和切点斜率代入解析式中求出各参数，利用函数的单调性和导数来证明不等式.

【试题解析】

（I ）f '(x )=1+2ax +b . x ≠0（步骤1） …………2分 x

⎧f (1)=0, ⎧1+a =0, 由已知条件得⎨即⎨解得a =-1, b =3. 'f (1)=2. 1+2a +b =2. ⎩⎩

（步骤2） ………………5分

（II ）f (x ) 的定义域为(0,+∞) ，由（I ）知f (x ) =x -x 2+3ln x . （步骤1）

设g (x ) =f (x ) -(2x -2) =2-x -x 2+3ln x , 则

g '(x ) =-1-2x +3(x -1)(2x +3) =-. （步骤2） x x

当00; 当x >1时, g '(x )

而g (1)=0, 故当x >0时, g (x ) 剟0, 即f (x )

21．（本小题满分12分）

如图，已知椭圆C 1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C 2的短轴为MN ，且C 1，C 2的离心率都为e ，直线l ⊥MN ，l 与C 1交于两点，与C 2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ．

（I ）设e =2x -2. （步骤3） …………12分 1，求BC 与AD 的比值； 2

（II ）当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由．

【测量目标】椭圆方程，直线斜率，直线与椭圆的位置关系，直线与直线的平行，不等式的应用.

【考查方式】给出两椭圆之间的线段关系，进而设出椭圆和直线方程，求出对应线段的比例关系；将平行直线转化为斜率相等的条件，代入式后求出离心率的范围

.

【试题解析】

（I ）因为C 1，C 2的离心率相同，故依题意可设

x 2y 2b 2y 2x 2

C 1:2+2=1, C 2:4+2=1,(a >b >0) a b a a

设直线l :x =t (|t |

A (t B (t （步骤1）………………4分

当e =1时, b =a , 分别用y A , y B 表示A ，B 的纵坐标，可知 22

2|y B |b 23|BC |:|AD |==2=. （步骤2）………………6分 2|y A |a 4

（II ）t =0时的l 不符合题意. t ≠0时，BO //AN 当且仅当BO 的斜率k BO 与AN 的斜率

k AN 相等，即

=, t t -a

ab 21-e 2

=-2 a . (步骤1)

解得t =-2a -b 2e

1-e 2

因为|t |

所以当0

2

当

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．

22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，AD 的延长线与BC 的延长线交于E 点，且EC =ED ．

（I ）证明：CD //AB ；

（II ）延长CD 到F ，延长DC 到G ，使得EF =EG ，证明：A ，B

，

G ，F 四点共圆．

【测量目标】直线与圆的位置关系，直线的平行.

【考查方式】根据圆的性质和直线的位置关系证明出线段的平行；结合圆和三角形中的角度关系证明圆上各点对应关系.

【试题解析】

（I ）因为EC =ED ，所以∠EDC =∠ECD . （步骤1）

因为A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，所以∠EDC =∠EBA . （步骤2）

故∠ECD =∠EBA ，

所以CD //AB . （步骤3）…………5分

（II ）由（I ）知，AE =BE ，因为EF =EG ，故∠EFD =∠EGC

从而∠FED =∠GEC . (步骤1)

连结AF ，BG ，则△EF A ≌△EGB ，故∠F AE =∠GBE ，（步骤2）

又CD //AB ，∠EDC =∠ECD ，所以∠F AB =∠GBA .

所以∠AFG +∠GBA =180°.

故A ，B ，G ，F 四点共圆 （步骤3）…………10分

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系统与参数方程

⎧x =cos ϕ在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎨（ϕ为参数），曲线C 2y =sin ϕ⎩

⎧x =a cos ϕ的参数方程为⎨（a >b >0，ϕ为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极y =b sin ϕ⎩

轴的极坐标系中，射线l ：θ=α与C 1，C 2各有一个交点．当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=π时，这两个交点重合． 2

ππ时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1，当α=-时，l 与C 1，C 244（I ）分别说明C 1，C 2是什么曲线，并求出a 与b 的值； （II ）设当α=

的交点为A 2，B 2，求四边形A 1A 2B 2B 1的面积．

【测量目标】圆和椭圆的参数方程，梯形的面积.

【考查方式】根据射线与圆和椭圆的位置关系求出参数方程中各参数，进而求出交点横坐标由此得出梯形的面积

.

【试题解析】

（I ）C 1是圆，C 2是椭圆. （步骤1）

当α=0时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为（1，0），（a ，0），因为这两

点间的距离为2，所以a =3.

当α=π时，射线l 与C 1，C 2交点的直角坐标分别为（0，1），（0，b ），因为这两2

点重合，所以b =1.（步骤2）

x 2

+y 2=1. （步骤1） （II ）C 1，C 2的普通方程分别为x +y =1和922

当α=π时，射线l 与C 1交点A 1

的横坐标为x =，与C 2交点B 1的横坐标为 42

x '= π时，射线l 与C 1，C 2的两个交点A 2，B 2分别与A 1，B 1关于x 轴对称，4当α=-

（步骤2）

因此，四边形A 1A 2B 2B 1为梯形.

故四边形A 1A 2B 2B 1的面积为(2x '+2x )(x '-x ) 2=. （步骤3）…………10分 25

24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数f (x ) =|x -2|-|x -5|．

（I ）证明： -3剟f (x ) 3；

（II ）求不等式f (x ) ≥x 2-8x +15的解集．

【测量目标】不等式的证明，分段函数和集合的基本运算.

【考查方式】对绝对值函数的分段讨论，进而得出不等式的解集.

【试题解析】

x „2, ⎧-3, ⎪ （I ）f (x ) =|x -2|-|x -5|=⎨2x -7, 2

⎪3, x …5. ⎩

当2

所以-3剟f (x ) 3. （步骤2）………………5分

（II ）由（I ）可知，

当x 剠2时, f (x ) x 2-8x +15的解集为空集；

当2

综上，不等式f (x ) 厔x 2-8x +15的解集为{x |5（步骤2）…………10分

x ? 6}.