数字信号处理试题及参考答案

数字信号处理期末复习题

一、单项选择题（在每个小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将正确答案的号码写在题干后面的括号内，每小题1分，共20分）

1. 要从抽样信号不失真恢复原连续信号，应满足下列条件的哪几条( ① )。 (Ⅰ) 原信号为带限

(Ⅱ) 抽样频率大于两倍信号谱的最高频率 (Ⅲ) 抽样信号通过理想低通滤波器 ①. Ⅰ、Ⅱ ②. Ⅱ、Ⅲ ③. Ⅰ、Ⅲ ④. Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ

2. 在对连续信号均匀采样时，若采样角频率为Ωs ，信号最高截止频率为Ωc ，则折叠频率为( ④ )。

①Ωs ②. Ωc ③. Ωc/2 ④. Ωs/2

3. 若一线性移不变系统当输入为x(n)=δ(n)时输出为y(n)=R3(n)，则当输入为u(n)-u(n-2) 时输出为( ② )。

①.R 3(n) ②.R 2(n)

③.R 3(n)+R3(n-1) ④.R 2(n)-R 2(n-1)

4. 已知序列Z 变换的收敛域为｜z ｜>1，则该序列为( ② )。 ①. 有限长序列 ②. 右边序列 ③. 左边序列 ④. 双边序列

5. 离散系统的差分方程为y(n)=x(n)+ay(n-1)，则系统的频率响应( ③ )。 ①当｜a ｜1时，系统呈低通特性 ③. 当0

6. 序列x(n)=R5(n)，其8点DFT 记为X(k)，k=0,1,„,7，则X(0)为( ④ )。 ①.2 ②.3 ③.4 ④.5

7. 下列关于FFT 的说法中错误的是( ① )。 ①.FFT 是一种新的变换 ②.FFT 是DFT 的快速算法

③.FFT 基本上可以分成时间抽取法和频率抽取法两类 ④. 基2 FFT要求序列的点数为2(其中L 为整数) 8. 下列结构中不属于FIR 滤波器基本结构的是( ③ )。 ①. 横截型 ②. 级联型 ③. 并联型 ④. 频率抽样型

9. 已知某FIR 滤波器单位抽样响应h(n)的长度为(M+1)，则在下列不同特性的单位抽样响应中可以用来设计线性相位滤波器的是( ④ )。 ①.h ［n ］=-h ［M -n ］ ②.h ［n ］=h［M+n］ ③.h ［n ］=-h［M -n+1］ ④.h ［n ］=h［M -n+1］

10. 下列关于用冲激响应不变法设计IIR 滤波器的说法中错误的是( ④ )。 ①. 数字频率与模拟频率之间呈线性关系

②. 能将线性相位的模拟滤波器映射为一个线性相位的数字滤波器 ③. 容易出现频率混叠效应 ④. 可以用于设计高通和带阻滤波器

11. 利用矩形窗函数法设计FIR 滤波器时，在理想特性的不连续点附近形成的过滤带的宽度近似等于( ① )。

①. 窗函数幅度函数的主瓣宽度 ②. 窗函数幅度函数的主瓣宽度的一半

L

③. 窗函数幅度函数的第一个旁瓣宽度 ④. 窗函数幅度函数的第一个旁瓣宽度的一半

12. 连续信号抽样序列在( ① )上的Z 变换等于其理想抽样信号的傅里叶变换。 ①单位圆 ②. 实轴 ③. 正虚轴 ④. 负虚轴

13. 一个线性移不变系统稳定的充分必要条件是其系统函数的收敛域包含( ① )。 ①单位圆 ②. 原点 ③. 实轴 ④. 虚轴

14. 已知某FIR 滤波器单位抽样响应h(n)的长度为(M+1)，则在下列不同特性的单位抽样响应中可以用来设计线性相位滤波器的是( ① )。 ①.h ［n ］=-h ［M -n ］ ②.h ［n ］=h［M+n］ ③.h ［n ］=-h［M -n+1］ ④.h ［n ］=h［M -n+1］

15. 序列x(n) = nR4(n)，则其能量等于( ③ )。 ①.5 ③.14

②.10 ④.20

16. 以下单位冲激响应所代表的线性移不变系统中因果稳定的是( ③ )。 ①.h(n) = u(n) ③.h(n) = R4(n)

②.h(n) = u(n +1) ④.h(n) = R4(n +1)

17. 下列序列中z 变换收敛域包括z = 0的是( ③ )。 ①.u(n) ③.u(-n)

②.-u(n) ④.u(n-1)

18. 实序列的傅里叶变换必是( ① )。 ①. 共轭对称函数 ③. 线性函数

②.-. 共轭反对称函数 ④. 双线性函数

19. 已知序列x(n) =δ(n)，10点的DFT ［x(n)］ = X(k)（0 ≤k ≤ 9），则X(5) =( 1 )。 ①.10

②.1

③.0

④.-10

20. 欲借助FFT 算法快速计算两有限长序列的线性卷积，则过程中要调用( ③ )次FFT 算法。 ①.1

②.-.2

③.3

④.4

21. 不考虑某些旋转因子的特殊性，一般一个基2 FFT 算法的蝶形运算所需的复数乘法及复数加法次数分别为( ① )。 ①.1和2 ③.2和1

②.-.1和1 ④.2和2

22. 因果FIR 滤波器的系统函数H(z)的全部极点都在( ① )处。 ①.z = 0 ③.z = j

②.z = 1 ④.z =∞

23. 线性相位FIR 滤波器主要有以下四类

①h(n)偶对称，长度N 为奇数 ②.-h(n)偶对称，长度N 为偶数 ③h(n)奇对称，长度N 为奇数 ④h(n)奇对称，长度N 为偶数 则其中不能用于设计高通滤波器的是( ③ )。 24、序列u (n ) 的Z 变换及收敛域为（ ① ） ①

z z

,1

1n

）u (n ) 的Z 变换及收敛域为（ ① ） 4

25、序列（

①

z 1z -4

,

1z 1z -4

,|z |

1

③

z z

1

1n

)|| 的Z 变换及收敛域为（ ③ ） 2

26、序列x (n )= (

1z (1-)

11① |z |

11122

(1-z )(z -) (1-z )(z -)

22211z (1-) z (1-)

11③

11212(1-z )(z -) (1-z )(z -)

222

11-2z -1

27、若X (z )=-1, |z |>||，则X (z ) 的Z 反变换为（ ④ ）

2z -2

1n +11n -11n -11n +1

①x (n )=() u (n +1)－() u (n －1) ②x (n )=() u (n +1)－() u (n －1)

2222

③x (n )=(

1z (1-)

1n -11n +11n -11n +1

) u (n －1) －() u (n +1) ④x (n )=() u (n －1) －() u (n ) 2222

28、序列x (m ) ，h (m ) 分别如图所示，y (n )=x (n )*h (n ) ，则y (4)为（ ③ ） ①

3/2 1 1/2

0 1 2 3

35

② ③ 3 ④ 5 22

1

m

0 1 2 3

m

29、下面信号流图表示的系统函数为（ ① ）

x x (n )

-3

-1/4

211

1

-z -1+z -21+z -1

①H (z )= ② H (z )=

2-11-21-11-z +z 1+z 342

211-1

1+z -1-z -2z

③H (z )= ④ H (z )=

2-11-21-11+z -z 1+z 342

1+

30、下面信号流图表示的系统函数为（ ④ ）

y (n )

① H (z )=﹣1+z +5 z－6 z ② H (z )=1+3 z －z －6 z ③ H (z )=1－3 z +5 z－6 z

-1

-2

-3

-1 -2 -3 -1 -2 -3

④ H (z )=1－z －5 z+6 z

-1 -2 -3

31、若x (n ) 是长度为N 的实序列，且DFT[x (n )] =X (k ) ，x (n)= x (N - n ) ，则有（ ② ） ① X (k )=﹣X (N －k ) ② X (k )= X(N －k ) ③ X (k )=﹣X *( N－k ) ④ X (k )=﹣X (N +k )

32、对实信号进行谱分析，若要求谱分辨率F ≤50Hz ，则最小记录时间T pmin 应为 （ ③ ） ①0.5S ② 0.05S ③ 0.02S ④ 0.2S

33、对实信号进行谱分析，若信号最高频率为f c =10KHz，则最大采样间隔T max 应为（ ③ ） ① 0.1×10S ② 0.01×10S ③ 0.5×10S ④0.05×10S

34、对于N =8点的基IFFT 运算，在进行位倒序后，地址单元A (4)中存放的是输入序列x (n ) 中的哪一个值（ ① ）

① x (1) ② x (2) ③ x (4) ④ x (0)

35、已知x(n)=δ(n)，N 点的DFT ［x(n)］=X(k)，则X(5)=( ② )。 ①.N ②.1 ③.0 ④.- N

40、已知DFT ［x(n)］=X(k)，下面说法中正确的是( ② )。 ①. 若x(n)为实数偶对称函数，则X(k)为虚数奇对称函数 ②. 若x(n)为实数奇对称函数，则X(k)为虚数奇对称函数 ③. 若x(n)为虚数偶对称函数，则X(k)为虚数奇对称函数 ④. 若x(n)为虚数奇对称函数，则X(k)为虚数奇对称函数

36、如图所示的运算流图符号是( )基2 FFT算法的蝶形运算流图符号。 ①. 按频率抽取 ②. 按时间抽取 ③. 两者都是 ④. 两者都不是

37、直接计算N 点DFT 所需的复数乘法次数与( ② )成正比。 ①.N ②.N2 ③.N3 ④.Nlog2N

38、下列各种滤波器的结构中哪种不是I I R滤波器的基本结构( ④ )。

-3

-3

-3

-3

①. 直接型 ②. 级联型 ③. 并联型 ④. 频率抽样型

39、以下对双线性变换的描述中正确的是( ② )。 A. 双线性变换是一种线性变换

②. 双线性变换可以用来进行数字频率与模拟频率间的变换 ③. 双线性变换是一种分段线性变换 ④. 以上说法都不对 40、若模拟滤波器H a ( s)=

1

，采样周期T =1S，则利用双线性变换法，将H a (S ) 转换成数字2

s +2s

滤波器H (z ) 应为（ ② ）

1z 2+2z +11z 2+2z +11z 2+2z +11z 2+2z +1① ② ③ ④ 2222

4z -z 42z -2z 42z +2z 4z +z

41、抽样频率确定时，DFT 的频率分辨力取决于（ ④ ）

①量化误差 ②信号带宽 ③抽样间隔 ④抽样点数

42、如果一线性移不变系统的收敛域为一半径小于1的圆的外部，则该系统为（ ② ） ①因果稳定系统 ②因果非稳定系统 ③稳定非因果系统 ④因果稳定系统

二、多项选择题（在每小题的五个备选答案中选出而二至五个正确答案，并将其号码分别写在题干后的括号内，未选全或有选错的，该题无分。每小题1分，共12分） 1、下列系统中是因果的有（ ①② ） ①T [x (n )]=g (n ) x (n ) ②T [x (n )]=③ T [x (n )]=e

x (n )

k =n 0

∑x (k )

n

④ T [x (n )]=ax (n )+b

2、下列说法中正确的有（ ① ② ）

① 因果序列的Z 变换收敛域为R x -

③ 左边序列的Z 变换收敛域为R x -

+

3、两序列卷积运算包括的步骤有（ ①③④⑤ ）

①翻褶 ②取模 ③平移 ④相乘 ⑤相加 4、下列说法正确的有（ ②③ ） ① FIR 系统只能采用非递归结构的电路 ② IIR 体统只能采用递归结构的电路 ③ FIR 系统可以采用递归或非递归结构的电路 ④ IIR 系统可以采用递归或非递归结构的电路 ⑤ FIR 系统的H (z ) 在有限Z 平面上无限点

6、用DFT 进行谱分析时，截断后序列的频谱Y (e ) 与原序列频谱X (e ) 的差别对谱分析的影响主要表现在（ ①②④⑤ ）

①频谱混叠 ②泄露 ③衰减 ④谱间干扰 ⑤栅栏效应 7、实现FIR 滤波器的基本网络结构主要有（ ②③④⑤ ） ①并联型 ②级联型 ③直接型

④线性相位有限脉冲响应系统网络结构 ⑤频率采样型 8、利用数字域频率变换设计数字高通滤波器的步骤有（ ①②③⑤ ） ① 将数字高通技术指标转换成模拟高通技术要求 ② 将模拟高通技术指标转换成模拟低通技术要求 ③ 设计模拟低通滤波器 ④ 将模拟低通转换成数字低通

⑤ 利用数字域频率变换将数字低通滤波器转换成数字高通滤波器 9、下列说法中不正确的有（ ①④ ）

① 在相同技术指标下，IIR 滤波器可用比FIR 滤波器较少的阶数 ② 设计微分器或积分器等主要用IIR 滤波器 ③ FIR 、IIR 滤波器都可用快速傅立叶变换算法 ④ FIR 滤波器可以得到严格的线性相位 ⑤ 对图像信号处理，采用IIR 滤波器较好

j ω

j ω

10、由传输函数H (z ) 确定状态方程和输出方程的基本方法有（ ） ①直接法 ②巢式法 ③部分分式法 ④级联法 ⑤观察法

三、说明题（认为正确的，在题干后的括号内打“√”；认为错的打“×”，并说明理由，否则该题无分。）

1、正弦序列x (n )=A sin(n ω0+φ )为一周期序列 （ × ） 2、实序列的傅立叶变换的幅度是ω的奇函数 （√ ） 3、若信号持续时间无限长，则信号的频谱无限宽 （√ ） 4. 线性系统必然是移不变系统。 ( × ) 5. 非零周期序列的Z 变换不存在。 ( √ ) 6. 按时间抽取的基2 FFT算法的运算量等于按频率抽取的基2 FFT算法。(√ ) 7. 通常FIR 滤波器具有递归型结构。 ( × )

8. 双线性变换法是非线性变换，所以用它设计IIR 滤波器不能克服频率混叠效应。(× ) 9、H(z)唯一地对应一个系统冲激响应h(n) （√ ） 10、定点制比浮点制运算速度慢 （× ）

11、移不变系统必然是线性系统。 ( × ) 12、当输入序列不同时，线性移不变系统的单位抽样响应也不同。( × ) 13、离散时间系统的滤波特性可以由其幅度频率特性直接看出。 ( × ) 14、因果稳定系统的系统函数的极点必然在单位圆内。 ( √ ) 15、与FIR 滤波器相似，I I R滤波器的也可以方便地实现线性相位。( × 16. 非零周期序列的能量为无穷大。( × )

17. 序列的傅里叶变换就是序列z 变换在单位圆上的取值。( × ) 18. 离散傅里叶变换具有隐含周期性。( × ) 19.FIR 滤波器必是稳定的。( × )

20. 当输入序列不同时，线性移不变系统的单位抽样响应也不同。( × ) 21. 离散时间系统的滤波特性可以由其幅度频率特性直接看出。( × )

22. 用窗函数法设计FIR 低通滤波器时，可以通过增加截取长度N 来任意减小阻带衰减。( × )

)

四、填空题

1．数字信号处理的主要对象是 数字信号 ，采用 数值运算 的方法达到处理的目的；其实现方法主要有 硬件实现 和 软件实现 。

2

=∞

2．序列x(n)的能量定义为

n =-∞

∑x (n )

。

3．对正弦信号x a =sin314t进行采样，采样频率为f s =200Hz，则所得到的采样序列x(n)=sin

1n 2

4. 我们可以从三个角度用三种表示方法描述一个线性时不变离散时间系统，它们是差分方程 、 系统函数和单位脉冲响应 。

5．线性时不变系统是因果系统的充分必要条件是n

+∞

6．线性时不变系统是稳定系统的充分必要条件是

∑h (n )

_∞

7．线性常系数差分方程的求解方法有 经典法、递推法 和变域法 。 8．下图是模拟信号数字处理框图，填写出各个框内的处理方法：

9．设两个有限长序列的长度分别为N 和M ，则他们的线性卷积的结果序列的长度为 N+M-1 。 10．一个长序列和一个短序列卷积时，有 重叠相加法 和 重叠保留法 两种分段卷积法。 12数字频率只有相对意义，因为它是实际频率对 采样 频率的 归一化频率 。

13．数字频率ω是模拟频率Ω对 采样频率 的 归一化 化，与数字频率π相对应的模拟频率是 模拟折叠频率F S /2 。

14．正弦序列sin(nω) 不一定是周期序列，比如ω

15．从满足采样定理的样值信号中可以不失真地恢复出原模拟信号。采用的方法，从时域角度看是： 时域采样定理 ；从频域角度看是： 频域采样定理

16. 如果通用计算机的速度为平均每次复数乘需要４μs ，每次复数加需要1μs ，则在此计算机上计算2点的基2FFT 需要 10级蝶形运算, 总的运算时间是 10⨯(N /2) ⨯(N /2⨯4+N ⨯1) μs 。

10

17. 在用DFT 近似分析连续信号的频谱时, 栅栏效应是指DFT 只能计算一些离散点上的频谱。

18. 在FIR 滤波器的窗函数设计法中，常用的窗函数有矩形和哈明等等。

19. 试写出δ（n ）和δ（t ）的两点区别：

（1） δ（n ）是离散的序列而 δ（t ） 是连续的函数 ;

（2） δ（t ）在t=0时取值无穷大，而δ（n ）在n=0时取值为1 。

21. 判定某系统为因果系统的充要条件是：时域满足条件 n

23. 研究一个周期序列的频域特性，应该用 DFS 变换。

24. 脉冲响应不变法的基本思路是： 将s 平面上的传递函数H a (s)转换为z 平面上的系统函数H(z) 。

25． 要获得线性相位的FIR 数字滤波器，其单位脉冲响应h(n)必须满足条件：（1） 奇对称 ；

（2） 偶对称 。

27， 借助模拟滤波器的H （s ）设计一个IIR 高通数字滤波器，如果没有强调特殊要求的话，宜选择采用 双线性变换法 法。

28， 周期序列之所以不能进行 Z变换，是因为 无限长序列 。

30，某DFT 的表达式是X （l ）= ∑x (k ) W

k =0N -1kl M , 则变换后数字频域上相邻两个频率样点之间的间隔是

2π/N 。

35． FIR系统成为线性相位的充要条件是 。

37． 用窗口法设计出一个FIR 低通滤波器后，发现它过度带太宽，这样情况下宜采用的修改措施是 。

40. 某线性移不变系统当输入x(n) =δ(n-1)时输出y(n) =δ(n -2) + δ(n -3)，则该系统的单位冲激响应h(n) =___δ(n -1) + δ(n -2)_______。

41. 序列x(n) = cos (3πn) 的周期等于__2/3________。

43. 基2 FFT算法计算N = 2（L 为整数）点DFT 需______L____级蝶形，每级由_____N/2_____个蝶形运算组成。 L

44. 下图所示信号流图的系统函数为H(z) =__________。

45. 线性系统同时满足_____和_____两个性质。

46. 下图所示信号流图的系统函数为_____。

47. 有限长单位冲激响应(FIR)滤波器的主要设计方法有__窗函数___，_等波纹逼近____两种。

48. 将模拟滤波器映射成数字滤波器主要有_____脉冲响应不变法_____及双线性变换法等。

50.FFT 的基本运算单元称为__蝶形___运算。

53.N 点FFT 的运算量大约是 N /2 。

54. 设计一个带阻滤波器，宜用第 第一类 类FIR 数字滤波器。

57. 描述一个离散系统的方法，时域有 差分方程 Z域有 系统函数 欲求系统瞬态解，可用 差分方程 。

58. 某系统函数在单位圆外有极点但它却是稳定的，则该系统一定是 因果系统 。

62. 在 序列为无限长的 情况下，序列傅氏变换存在，但其DFT 不存在。

65. 设计数字滤波器的方法之一是先设计模拟滤波器，然后通过模拟S 域（拉氏变换域）到数字Z 域的变换，将模拟滤波器变换成数字滤波器，其中常用的双线形变换的关系式是 。

66. 一个因果数字系统，如果系统的极点位于Z 平面的 范围，则该系统是稳定的。

67. 模拟信号是指其时域波形 连续 的信号：

数字信号是指其时域波形 离散 的信号， 时间离散和取值离散 的信号被称为离散时间信号。

69. 第二类线形相位FIR 滤波器（h(n)偶对称，N 为偶数）一定不能用做 高通和带阻 特性的滤波系统，第三类线形相位FIR 滤波器（h(n)奇对称，N 为奇数）一定不能用做 低通、高通和带阻 特性的滤波系统。

四、分析、作图与计算题

1. 判断下列系统是否为：（1）稳定系统；（2）因果系统；（3）线性系统（4）移不变系统。

2

(1) T[x(n)]=ax(n)+b

(2) T[x(n)]=g(n) x(n)

(3) T[x(n)]=ex(n) (4) T[x(n)]=x(n)sin(3ππn +) 97

2. 判断下列序列是否周期序列，试确定其周期 (1) x (n ) =A cos(

(2) x(n)=e3ππn -) 78j(n/6-π)

3. 设有一系统，其输入输出关系有以下差分方程确定

y (n ) -

设系统是因果系统 11y (n -1) =x (n ) +x (n ) 22

（1）求系统的单位脉冲响应；

（2）系统的系统函数；

（3）系统的频率函数并画出系统的幅频特性曲线。

4. 求下列序列的Z 变换

(1) x(n)=a, |a|

(3) x(n)=sin(ω0n) |n|12n

1-a 2

5. 已知X (z ) =， |a|

6. 试求下列序列的N 点DFT （闭和形式表达式）

(1) x(n)=acos(ω0n) RN (n);

(2) x(n)= δ(n-1)+δ(n-2)

7、画出8点按时间抽取的基2 FFT算法的运算流图。

8. 写出16点基2 FFT算法中位序颠倒的序列号。

9. 画出8点按频率抽取的基2 FFT算法的运算流图。

10. 某线性移不变系统的单位抽样响应为:

h(n)=2δ(n)+δ(n-1)+δ(n-3)+2δ(n-4)

求其系统函数，并画出该系统的横截型结构（要求用的乘法器个数最少），该滤波器是否具有线性相位特性，为什么？

11. 用双线性变换法设计无限长单位冲激响应（I I R）数字低通滤波器，要求通带截止频率ωc=0.5πrad ，通带衰减δ1不大于3dB ，阻带截止频率ωst=0.75πrad ，阻带衰减δ2不小于20dB 。以巴特沃思（Butterworth ）模拟低通滤波器为原型，采样间隔T=2s,写出设计步骤。

12. 某系统的差分方程为y (n ) －

（1）该系统的系统函数；

（2）试用典型范型（直接II 型），一阶节的级联，一阶节的并联实现此方程。

13. 设滤波器的差分方程为y (n )= x (n )+ x (n -1)+

① 求系统的频率响应；

② 系统函数；

③ 试用典型范型（直接II 型）及一阶节的级联，及一阶节的并联实现此方程。

五、实验题 311y (n －1)+y (n －2)= x (n )+x (n －1) 48311y (n -1)+y (n -2) 34

（一）对模拟周期信号进行谱分析

x 6(t ) =cos8πt +cos16πt +cos20πt

（1）对于周期序列，如果周期不知道，如何用FFT 进行谱分析？

（2）如何选择FFT 的变换区间？（包括非周期信号和周期信号）

（3）当N=8时，x 2(n ) 和x 3(n ) 的幅频特性会相同吗？为什么？N=16 呢？

实验程序清单

%第10章实验3程序exp3.m

% 用FFT 对信号作频谱分析

clear all;close all

%实验内容(1)===================================================

x1n=[ones(1,4)]; %产生序列向量x1(n)=R4(n)

M=8;xa=1:(M/2); xb=(M/2):-1:1; x2n=[xa,xb]; %产生长度为8的三角波序列x2(n)

x3n=[xb,xa];

X1k8=fft(x1n,8); %计算x1n 的8点DFT

X1k16=fft(x1n,16); %计算x1n 的16点DFT

X2k8=fft(x2n,8); %计算x1n 的8点DFT

X2k16=fft(x2n,16); %计算x1n 的16点DFT

X3k8=fft(x3n,8); %计算x1n 的8点DFT

X3k16=fft(x3n,16); %计算x1n 的16点DFT

%以下绘制幅频特性曲线

subplot(2,2,1);mstem(X1k8); %绘制8点DFT 的幅频特性图

title('(1a) 8点DFT[x_1(n)]');xlabel('ω/π');ylabel('幅度');

axis([0,2,0,1.2*max(abs(X1k8))])

subplot(2,2,3);mstem(X1k16); %绘制16点DFT 的幅频特性图

title('(1b)16点DFT[x_1(n)]');xlabel('ω/π');ylabel('幅度');

axis([0,2,0,1.2*max(abs(X1k16))])

figure(2)

subplot(2,2,1);mstem(X2k8); %绘制8点DFT 的幅频特性图

title('(2a) 8点DFT[x_2(n)]');xlabel('ω/π');ylabel('幅度');

axis([0,2,0,1.2*max(abs(X2k8))])

subplot(2,2,2);mstem(X2k16); %绘制16点DFT 的幅频特性图

title('(2b)16点DFT[x_2(n)]');xlabel('ω/π');ylabel('幅度');

axis([0,2,0,1.2*max(abs(X2k16))])

subplot(2,2,3);mstem(X3k8); %绘制8点DFT 的幅频特性图

title('(3a) 8点DFT[x_3(n)]');xlabel('ω/π');ylabel('幅度');

axis([0,2,0,1.2*max(abs(X3k8))])

subplot(2,2,4);mstem(X3k16); %绘制16点DFT 的幅频特性图

title('(3b)16点DFT[x_3(n)]');xlabel('ω/π');ylabel('幅度');

axis([0,2,0,1.2*max(abs(X3k16))])

%实验内容(2) 周期序列谱分析==================================

N=8;n=0:N-1; %FFT的变换区间N=8

x4n=cos(pi*n/4);

x5n=cos(pi*n/4)+cos(pi*n/8);

X4k8=fft(x4n); %计算x4n 的8点DFT

X5k8=fft(x5n); %计算x5n 的8点DFT

N=16;n=0:N-1; %FFT的变换区间N=16

x4n=cos(pi*n/4);

x5n=cos(pi*n/4)+cos(pi*n/8);

X4k16=fft(x4n); %计算x4n 的16点DFT

figure(3)

subplot(2,2,1);mstem(X4k8); %绘制8点DFT 的幅频特性图

title('(4a) 8点DFT[x_4(n)]');xlabel('ω/π');ylabel('幅度');

axis([0,2,0,1.2*max(abs(X4k8))])

subplot(2,2,3);mstem(X4k16); %绘制16点DFT 的幅频特性图

title('(4b)16点DFT[x_4(n)]');xlabel('ω/π');ylabel('幅度');

axis([0,2,0,1.2*max(abs(X4k16))])

subplot(2,2,2);mstem(X5k8); %绘制8点DFT 的幅频特性图

title('(5a) 8点DFT[x_5(n)]');xlabel('ω/π');ylabel('幅度');

axis([0,2,0,1.2*max(abs(X5k8))])

subplot(2,2,4);mstem(X5k16); %绘制16点DFT 的幅频特性图

title('(5b)16点DFT[x_5(n)]');xlabel('ω/π');ylabel('幅度');

axis([0,2,0,1.2*max(abs(X5k16))])

%实验内容(3) 模拟周期信号谱分析===============================

figure(4)

Fs=64;T=1/Fs;

N=16;n=0:N-1; %FFT的变换区间N=16

x6nT=cos(8*pi*n*T)+cos(16*pi*n*T)+cos(20*pi*n*T); %对x6(t)16点采样

X6k16=fft(x6nT); %计算x6nT 的16点DFT

X6k16=fftshift(X6k16); %将零频率移到频谱中心

Tp=N*T;F=1/Tp; %频率分辨率F

k=-N/2:N/2-1;fk=k*F; %产生16点DFT 对应的采样点频率（以零频率为中心）

subplot(3,1,1);stem(fk,abs(X6k16),'.');box on %绘制8点DFT 的幅频特性图

title('(6a) 16点|DFT[x_6(nT)]|');xlabel('f(Hz)');ylabel('幅度');

axis([-N*F/2-1,N*F/2-1,0,1.2*max(abs(X6k16))])

N=32;n=0:N-1; %FFT的变换区间N=16

x6nT=cos(8*pi*n*T)+cos(16*pi*n*T)+cos(20*pi*n*T); %对x6(t)32点采样

X6k32=fft(x6nT); %计算x6nT 的32点DFT

X6k32=fftshift(X6k32); %将零频率移到频谱中心

Tp=N*T;F=1/Tp; %频率分辨率F

k=-N/2:N/2-1;fk=k*F; %产生16点DFT 对应的采样点频率（以零频率为中心）

subplot(3,1,2);stem(fk,abs(X6k32),'.');box on %绘制8点DFT 的幅频特性图

title('(6b) 32点|DFT[x_6(nT)]|');xlabel('f(Hz)');ylabel('幅度');

axis([-N*F/2-1,N*F/2-1,0,1.2*max(abs(X6k32))])

N=64;n=0:N-1; %FFT的变换区间N=16

x6nT=cos(8*pi*n*T)+cos(16*pi*n*T)+cos(20*pi*n*T); %对x6(t)64点采样

X6k64=fftshift(X6k64); %将零频率移到频谱中心

Tp=N*T;F=1/Tp; %频率分辨率F

k=-N/2:N/2-1;fk=k*F; %产生16点DFT 对应的采样点频率（以零频率为中心）

subplot(3,1,3);stem(fk,abs(X6k64),'.'); box on%绘制8点DFT 的幅频特性图

title('(6a) 64点|DFT[x_6(nT)]|');xlabel('f(Hz)');ylabel('幅度');

axis([-N*F/2-1,N*F/2-1,0,1.2*max(abs(X6k64))])

实验程序运行结果

实验3程序exp3.m 运行结果如图10.3.1所示。

图10.3.1

（二）、IIR 数字滤波器设计及软件实现

（1）信号产生函数mstg 清单

function st=mstg

%产生信号序列向量st, 并显示st 的时域波形和频谱

%st=mstg 返回三路调幅信号相加形成的混合信号，长度N=1600

N=1600 %N为信号st 的长度。

Fs=10000;T=1/Fs;Tp=N*T; %采样频率Fs=10kHz，Tp 为采样时间

t=0:T:(N-1)*T;k=0:N-1;f=k/Tp;

fc1=Fs/10;

fc2=Fs/20;

fc3=Fs/40; %第1路调幅信号的载波频率fc1=1000Hz, %第2路调幅信号的载波频率fc2=500Hz %第3路调幅信号的载波频率fc3=250Hz, fm1=fc1/10; %第1路调幅信号的调制信号频率fm1=100Hz fm2=fc2/10; %第2路调幅信号的调制信号频率fm2=50Hz

fm3=fc3/10; %第3路调幅信号的调制信号频率fm3=25Hz

xt1=cos(2*pi*fm1*t).*cos(2*pi*fc1*t); %产生第1路调幅信号

xt2=cos(2*pi*fm2*t).*cos(2*pi*fc2*t); %产生第2路调幅信号

xt3=cos(2*pi*fm3*t).*cos(2*pi*fc3*t); %产生第3路调幅信号

st=xt1+xt2+xt3; %三路调幅信号相加

fxt=fft(st,N); %计算信号st 的频谱

%====以下为绘图部分，绘制st 的时域波形和幅频特性曲线====================

subplot(3,1,1)

plot(t,st);grid;xlabel('t/s');ylabel('s(t)');

axis([0,Tp/8,min(st),max(st)]);title('(a) s(t)的波形')

subplot(3,1,2)

stem(f,abs(fxt)/max(abs(fxt)),'.');grid;title('(b) s(t)的频谱')

axis([0,Fs/5,0,1.2]);

xlabel('f/Hz');ylabel('幅度')

(2) 思考题

（1）请阅读信号产生函数mstg ，确定三路调幅信号的载波频率和调制信号频率。

（2）信号产生函数mstg 中采样点数N=800，对st 进行N 点FFT 可以得到6根理想谱线。如果取N=1000，可否得到6根理想谱线？为什么？N=2000呢？请改变函数mstg 中采样点数N 的值，观察频谱图验证您的判断是否正确。

（3）修改信号产生函数mstg ，给每路调幅信号加入载波成分，产生调幅（AM ）信号，重复本实验，观察AM 信号与抑制载波调幅信号的时域波形及其频谱的差别。

提示：AM 信号表示式：s (t ) =[1+cos(2πf 0t )]cos(2πf c t ) 。

(3)滤波器参数及实验程序清单

1、滤波器参数选取

观察图10.4.1可知，三路调幅信号的载波频率分别为250Hz 、500Hz 、1000Hz 。带宽（也可以由信号产生函数mstg 清单看出）分别为50Hz 、100Hz 、200Hz 。所以，分离混合信号st 中三路抑制载波单频调幅信号的三个滤波器（低通滤波器、带通滤波器、高通滤波器）的指标参数选取如下：

对载波频率为250Hz 的条幅信号，可以用低通滤波器分离，其指标为

带截止频率f p =280Hz ，通带最大衰减αp =0.1dB dB ；

=450Hz ，阻带最小衰减αs =60dB dB ， 阻带截止频率f s

对载波频率为500Hz 的条幅信号，可以用带通滤波器分离，其指标为

带截止频率f pl =440Hz ，f pu =560Hz ，通带最大衰减αp =0.1dB dB ；

=275Hz ，f su =900Hz ，Hz ，阻带最小衰减αs =60dB dB ， 阻带截止频率f sl

对载波频率为1000Hz 的条幅信号，可以用高通滤波器分离，其指标为

带截止频率f p =890Hz ，通带最大衰减αp =0.1dB dB ；

=550Hz ，阻带最小衰减αs =60dB dB ， 阻带截止频率f s

说明：（1）为了使滤波器阶数尽可能低，每个滤波器的边界频率选择原则是尽量使滤波器过渡带宽尽可能宽。

（2）与信号产生函数mstg 相同，采样频率Fs=10kHz。

（3）为了滤波器阶数最低，选用椭圆滤波器。

按照图10.4.2 所示的程序框图编写的实验程序为exp4.m 。

2、实验程序清单

%实验4程序exp4.m

% IIR数字滤波器设计及软件实现

clear all;close all

Fs=10000;T=1/Fs; %采样频率

%调用信号产生函数mstg 产生由三路抑制载波调幅信号相加构成的复合信号st

st=mstg;

%低通滤波器设计与实现=========================================

fp=280;fs=450;

wp=2*fp/Fs;ws=2*fs/Fs;rp=0.1;rs=60; %DF指标（低通滤波器的通、阻带边界频）

[N,wp]=ellipord(wp,ws,rp,rs); %调用ellipord 计算椭圆DF 阶数N 和通带截止频率wp

[B,A]=ellip(N,rp,rs,wp); %调用ellip 计算椭圆带通DF 系统函数系数向量B 和A

y1t=filter(B,A,st); %滤波器软件实现

% 低通滤波器设计与实现绘图部分

figure(2);subplot(3,1,1);

myplot(B,A); %调用绘图函数myplot 绘制损耗函数曲线

yt='y_1(t)';

subplot(3,1,2);tplot(y1t,T,yt); %调用绘图函数tplot 绘制滤波器输出波形

%带通滤波器设计与实现====================================================

fpl=440;fpu=560;fsl=275;fsu=900;

wp=[2*fpl/Fs,2*fpu/Fs];ws=[2*fsl/Fs,2*fsu/Fs];rp=0.1;rs=60;

[N,wp]=ellipord(wp,ws,rp,rs); %调用ellipord 计算椭圆DF 阶数N 和通带截止频率wp

[B,A]=ellip(N,rp,rs,wp); %调用ellip 计算椭圆带通DF 系统函数系数向量B 和A

y2t=filter(B,A,st); %滤波器软件实现

% 带通滤波器设计与实现绘图部分（省略）

%高通滤波器设计与实现================================================

fp=890;fs=600;

wp=2*fp/Fs;ws=2*fs/Fs;rp=0.1;rs=60; %DF指标（低通滤波器的通、阻带边界频）

[N,wp]=ellipord(wp,ws,rp,rs); %调用ellipord 计算椭圆DF 阶数N 和通带截止频率wp

[B,A]=ellip(N,rp,rs,wp,'high'); %调用ellip 计算椭圆带通DF 系统函数系数向量B 和A

y3t=filter(B,A,st); %滤波器软件实现

% 高低通滤波器设计与实现绘图部分（省略）

3 实验程序运行结果

实验4程序exp4.m 运行结果如图104.2所示。由图可见，三个分离滤波器指标参数选取正确，算耗函数曲线达到所给指标。分离出的三路信号y1(n)，y2(n)和y3(n)的波形是抑制载波的单频调幅

波。

(a) 低通滤波器损耗函数及其分离出的调幅信号y 1

(t)

(b) 带通滤波器损耗函数及其分离出的调幅信号y 2

(t)

(c)高通滤波器损耗函数及其分离出的调幅信号y 3(t)

图104. 实验4程序exp4.m 运行结果

4 简要回答思考题

思考题（1）已经在10.4.2节解答。思考题（3）很简单，请读者按照该题的提示修改程序，运行观察。

思考题（3） 因为信号st 是周期序列，谱分析时要求观察时间为整数倍周期。所以，本题的一般解答方法是，先确定信号st 的周期，在判断所给采样点数N 对应的观察时间Tp=NT是否为st 的整数个周期。但信号产生函数mstg 产生的信号st 共有6个频率成分，求其周期比较麻烦，故采用下面的方法解答。

分析发现，st 的每个频率成分都是25Hz 的整数倍。采样频率Fs=10kHz=25×400Hz ，即在25Hz 的正弦波的1个周期中采样400点。所以，当N 为400的整数倍时一定为st 的整数个周期。因此，采样点数N=800和N=2000时，对st 进行N 点FFT 可以得到6根理想谱线。如果取N=1000，不是400的整数倍，不能得到6根理想谱线。

（三）、FIR 数字滤波器设计与软件实现

1. 思考题

(1)如果给定通带截止频率和阻带截止频率以及阻带最小衰减, 如何用窗函数法设计线性相位低通滤波器? 请写出设计步骤.

(2)如果要求用窗函数法设计带通滤波器, 且给定通带上、下截止频率为ωpl 和ωpu ，阻带上、下截止频率为ωsl 和ωsu ，试求理想带通滤波器的截止频率ωcl 和ωcu 。

（3）解释为什么对同样的技术指标，用等波纹最佳逼近法设计的滤波器阶数低？

5. 实验报告要求

（1）对两种设计FIR 滤波器的方法（窗函数法和等波纹最佳逼近法）进行分析比较，简述其优缺点。

（2）附程序清单、打印实验内容要求绘图显示的曲线图。

（3）分析总结实验结果。

（4）简要回答思考题。

2. 信号产生函数xtg 程序清单

function xt=xtg(N)

%实验五信号x(t)产生, 并显示信号的幅频特性曲线

%xt=xtg(N) 产生一个长度为N, 有加性高频噪声的单频调幅信号xt, 采样频率Fs=1000Hz

%载波频率fc=Fs/10=100Hz,调制正弦波频率f0=fc/10=10Hz.

Fs=1000;T=1/Fs;Tp=N*T;

t=0:T:(N-1)*T;

fc=Fs/10;f0=fc/10; %载波频率fc=Fs/10，单频调制信号频率为f0=Fc/10;

mt=cos(2*pi*f0*t); %产生单频正弦波调制信号mt ，频率为f0

ct=cos(2*pi*fc*t); %产生载波正弦波信号ct ，频率为fc

xt=mt.*ct; %相乘产生单频调制信号xt

nt=2*rand(1,N)-1; %产生随机噪声nt

%=======设计高通滤波器hn, 用于滤除噪声nt 中的低频成分, 生成高通噪声=======

fp=150; fs=200;Rp=0.1;As=70;

fb=[fp,fs];m=[0,1]; % 滤波器指标 % 计算remezord 函数所需参数f,m,dev

% 确定remez 函数所需参数 dev=[10^(-As/20),(10^(Rp/20)-1)/(10^(Rp/20)+1)]; [n,fo,mo,W]=remezord(fb,m,dev,Fs);

hn=remez(n,fo,mo,W); % 调用remez 函数进行设计, 用于滤除噪声nt 中的低频成分

yt=filter(hn,1,10*nt); %滤除随机噪声中低频成分，生成高通噪声yt

%================================================================

xt=xt+yt; %噪声加信号

fst=fft(xt,N);k=0:N-1;f=k/Tp;

subplot(3,1,1);plot(t,xt);grid;xlabel('t/s');ylabel('x(t)');

axis([0,Tp/5,min(xt),max(xt)]);title('(a) 信号加噪声波形')

subplot(3,1,2);plot(f,abs(fst)/max(abs(fst)));grid;title('(b) 信号加噪声的频谱')

axis([0,Fs/2,0,1.2]);xlabel('f/Hz');ylabel('幅度')

3. 滤波器参数及实验程序清单

（1）、滤波器参数选取

根据10.5.1 节实验指导的提示③选择滤波器指标参数：通带截止频率fp=120Hz，阻带截至频率fs=150Hz。代入采样频率Fs=1000Hz，换算成数字频率，通带截止频率ωp =2πf p T=0.24π，通带最大衰为0.1dB ，阻带截至频率ωs =2πf s T=0.3π，阻带最小衰为60dB 。所以选取blackman 窗函数。与信号产生函数xtg 相同，采样频率Fs=1000Hz。

按照图10.5.2 所示的程序框图编写的实验程序为exp5.m 。

（2）、实验程序清单

%《数字信号处理(第三版）学习指导》第10章实验5程序exp5.m

% FIR数字滤波器设计及软件实现

clear all;close all;

%==调用xtg 产生信号xt, xt长度N=1000,并显示xt 及其频谱,=========

N=1000;xt=xtg(N);

fp=120; fs=150;Rp=0.2;As=60;Fs=1000;

% (1) 用窗函数法设计滤波器

wc=(fp+fs)/Fs; %理想低通滤波器截止频率(关于pi 归一化）

B=2*pi*(fs-fp)/Fs; %过渡带宽度指标

Nb=ceil(11*pi/B); %blackman窗的长度N

hn=fir1(Nb-1,wc,blackman(Nb));

Hw=abs(fft(hn,1024)); % 求设计的滤波器频率特性

ywt=fftfilt(hn,xt,N); %调用函数fftfilt 对xt 滤波

%以下为用窗函数法设计法的绘图部分（滤波器损耗函数，滤波器输出信号波形）

%省略 % 输入给定指标

% (2) 用等波纹最佳逼近法设计滤波器

fb=[fp,fs];m=[1,0]; % 确定remezord 函数所需参数f,m,dev

dev=[(10^(Rp/20)-1)/(10^(Rp/20)+1),10^(-As/20)];

[Ne,fo,mo,W]=remezord(fb,m,dev,Fs);

hn=remez(Ne,fo,mo,W);

Hw=abs(fft(hn,1024)); % 确定remez 函数所需参数 % 调用remez 函数进行设计 % 求设计的滤波器频率特性

yet=fftfilt(hn,xt,N); % 调用函数fftfilt 对xt 滤波

%以下为用等波纹设计法的绘图部分（滤波器损耗函数，滤波器输出信号yw(nT)波形）

%省略

（3） 实验程序运行结果

用窗函数法设计滤波器，滤波器长度 Nb=184。滤波器损耗函数和滤波器输出yw(nT)分别如图10.5.3(a)和（b ）所示。

用等波纹最佳逼近法设计滤波器，滤波器长度 Ne=83。滤波器损耗函数和滤波器输出ye(nT)分别如图10.5.3(c)和（d ）所示。

两种方法设计的滤波器都能有效地从噪声中提取信号，但等波纹最佳逼近法设计的滤波器阶数低得多，当然滤波实现的运算量以及时延也小得多，从图10.5.3(b)和（d ）可以直观地看出时延差别。

图10.5.3

（4 ）简答思考题

(1) 用窗函数法设计线性相位低通滤波器的设计步骤教材中有详细的介绍.

(2) 希望逼近的理想带通滤波器的截止频率ωcl 和ωcu 分别为：

ωcl =(ωsl +ωpl )/2, ωcu =(ωsu +ωpu )/2

（3）解释为什么对同样的技术指标，用等波纹最佳逼近法设计的滤波器阶数低？

①用窗函数法设计的滤波器，如果在阻带截止频率附近刚好满足，则离开阻带截止频率越远，阻带衰减富裕量越大，即存在资源浪费；

② 几种常用的典型窗函数的通带最大衰减和阻带最小衰减固定，且差别较大，又不能分别控制。所以设计的滤波器的通带最大衰减和阻带最小衰减通常都存在较大富裕。如本实验所选的blackman 窗函数，其阻带最小衰减为74dB, 而指标仅为60dB 。

③ 用等波纹最佳逼近法设计的滤波器，其通带和阻带均为等波纹特性，且通带最大衰减和阻带最小衰减可以分别控制，所以其指标均匀分布，没有资源浪费，所以期阶数低得多。