等比数列题型归纳总结

课题：等比数列

教学目标：掌握等比数列的定义，通项公式和前n 项和的公式，掌握等比数列的有关性质，

并能利用这些知识解决有关问题，培养学生的化归能力．

教学重点：等比数列的判断，通项公式和前n 项和的公式以及等比数列的有关性质的应用．

（一） 主要知识：

1.

n 2. 等比数列的有关性质； 3. 等比数列的充要条件:

(1){a n }是等比数列⇔(2){a n }是等比数列⇔

a n +1a n

=q （q 为非零常数）；

n

a n =cq （c ≠0, q ≠0） a n +1=a n ⋅a n +2 S n =kq -k （k =

n

2

(3){a n }是等比数列⇔(4){a n }是等比数列⇔

a 1q -1

，k ≠0，q ≠1）

（二）主要方法：

1. 涉及等比数列的基本概念的问题，常用基本量a 1, q 来处理；

2. 已知三个数成等比数列时，可设这三个数依次为a , a q , a q 或

2

a

a

, a , a q ；四个数时设为3、q q

a q

、aq 、aq

3

3. 等比数列的相关性质:

(1)若{a n }是等比数列，则a m

=a n ⋅q

m -n

；

=p +t 时，a m ⋅a n =a p ⋅a t

(2)若{a n }是等比数列，m , n , p , t ∈N *，当m +n

特别地，当m +n =2p 时，a m ⋅a n =a p

2

(3)若{a n }是等比数列，则下标成等差数列的子列构成等比数列；

则S m , S 2m (4)若{a n }是等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，

-S m , S 3m -S 2m …成等比数列．

(5)两个等比数列{a n }与{b n }的积、商、倒数的数列{a n ⋅b n }、⎨

【典型例题】

⎧a n ⎫⎧1⎫

、 ⎬⎨⎬仍为等比数列．b b ⎩n ⎭⎩n ⎭

题型一：基本量运算

例1、已知{a }为等比数列，a

n

3

=2，a 2+a 4=

203

，求{a n }的通项公式；

例2、在等比数列{a n }中，a 3-a 1=8，a 6-a 4=216，S n =40，求公比q 、a 1及n

问题2．(1)已知数列{a }是等比数列, 且a

n

n

>0, n ∈N , a 3a 5+2a 4a 6+a 5a 7=81，

*

则a 4+a 6=

(2)（06苏州调研）在等比数列{a n }中，a 3

A . ±4

=2，a 5=m ，a 7=8，则m = C . -4

B . 5

D . 4

(3)（06湖北文）在等比数列{a n }中，a 1

A . 81 B .

2=1，a 10=3，则a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9=

C .

D . 243

(4)（05全国Ⅱ文）在和

38

272

之间插入三个数，使五个数成等比数列，则插入的三个数的

乘积是

(5)（07南京高三期末调研）在等比数列{a n }中，已知a 1+a 2

则该数列前15项的和S 15=+a 3=1，a 4+a 5+a 6=-2，

问题3．（04

全国Ⅱ）数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1=1，a n +1=

⎧S n ⎫

⎬是等比数列，(2)S n +1=4a n ⎩n ⎭

n +2n

S n

（n =1, 2, 3, ⋅⋅⋅） 证明：(1)数列⎨

问题4．已知数列{a }中，S

n

n

是它的前n 项和，且S n +1=4a n +2(n =1, 2, ⋅⋅⋅)，a 1=1.

a n 2

n

(1)设b n =a n +1-2a n (n =1, 2, ⋅⋅⋅)，求证：数列{b n }是等比数列；(2)设c n =(n =1, 2, ⋅⋅⋅)，

求证：{c n }是等差数列；(3)求{a n }的通项公式a n 及前n 项和公式S n

问题5．（06陕西）已知正项数列{a }，其前n 项和S a 成等比数列，求数列{a }的通项a

n

15

n

满足10S n =a n +5a n +6且a 1，a 3，

2

n n

（四）巩固练习：

1. （07湖南文）在等比数列{a n }（n ∈N ）中，若a 1=1，a 4=

*

18

，则该数列的前10项和

12

11

为 A . 2-

12

4

B . 2-

12

9

C . 2-

12

10

D . 2-

2. （07海南文）已知a 、b 、c 、d 成等比数列，且曲线y =x -2x +3的顶点是(b , c )，

2

则a d 等于 A . 3

B . 2

C . 1

D . -2

3. （07重庆）设{a n }为公比q >1的等比数列，若a 2004和a 2005是方程4x -8x +3=0的两

2

根，则a 2006+a 2007=______．

4. （07湖北）若数列{a n }满足

a n +1a n

2

2

=p （p 为正常数，n ∈N *），则称{a n }为“等方比数

列”．甲：数列{a n }是等方比数列； 乙：数列{a n }是等比数列，则

A . 甲是乙的充分条件但不是必要条件B . 甲是乙的必要条件但不是充分条件

C . 甲是乙的充要条件 D . 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

（五）走向高考：

1. （07陕西）各项均为正数的等比数列{a n } 的前n 项和为S n 为，若S n =2，S 3n =14，

则S 4n 等于 A . 80 B . 30 C . 26 D . 16

2. （06辽宁）在等比数列{a n }中, a 1=2, 前n 项和为S n , 若数列{a n +1}也是等比数列, 则

S n 等于 A . 2

n +1

-2 B . 3n C . 2n D . 3-1

n

3. （05湖北）设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n +1，S n ，S n +2成等差数列，

则q 的值为

4. （07全国文Ⅱ）设等比数列{a n }的公比q

求{a n }的通项公式．

5. （07北京）数列{a n }中，a 1=2a n +1=a n +cn （c 是常数，n =1，，23， ），且a 1, a 2, a 3

成公比不为1的等比数列．（Ⅰ）求c 的值；（Ⅱ）求{a n }的通项公式．

6. （07山东）设数列{a n }满足a 1+3a 2+3a 3+…+3

2

n -1

a n =

n 3

，a ∈N ．

*

（Ⅰ）求数列{a n }的通项；（Ⅱ）设b n =

n a n

，求数列{b n }的前n 项和S n ．

7. （06福建文）已知数列{a n }满足a 1=1, a 2=3, a n +2=3a n +1-2a n (n ∈N ).

*

（Ⅰ）证明：数列{a n +1-a n }是等比数列； （Ⅱ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅲ）若数列{b n }满足4

b 1-1

b 2-1

b n -1

b

*

4...4

=(a n +1) n (n ∈N ), 证明{b n }是等差数列。