(文章)判断函数奇偶性的几种常见错误

判断函数奇偶性的几种常见错误

初学函数奇偶性的同学，在利用函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性时，常会由于基础知识掌握不牢，产生以下几种错误．

1. 错用定义

2⎧⎪x ，x

错解：当x

当x ≥0时，f (-x ) =(-x ) 3=-f (x ) ，

∴当x

当x ≥0时，函数f (x ) 是奇函数．

剖析：函数的奇偶性在关于原点对称的定义域内是一致的，不能把定义域分割开来，“当x 0，f (-x ) =(-x ) 3≠x 2=f (x ) ；

当x ≥0时，-x ≤0，f (-x ) =(-x ) ≠-x =-f (x ) ．

故函数f (x ) 既不是奇函数也不是偶函数．

2. 对函数本质认识不透

例2 判断函数f (x ) =

错解： f (-x ) a >0) 的奇偶性．

2a 2-x

x ) f (-x ) ≠-f (x ) ． ∴f (-x ) =f (，且

故此函数是偶函数，但不是奇函数．

剖析：表面上看，以上结论似乎无懈可击，便考虑到函数的定义域是{-a ，a }，值域是{0}，故函数的解析式可简化为f (x ) =0，x ∈{-a ，a }．

=，0x ∈{-a ，a }，∴f (-x ) =f (x ) ，且f (-x ) =-f (x ) ．正解： f (x )

故此函数既是奇函数又是偶函数．

3. 顾此失彼

⎧x 2+2x +3， x

⎪-x 2+2x -3，x >0⎩

错解：当x

当x >0时，f (-x ) =-(-x 2+2x -3) =-f (x ) ．

∴函数f (x ) 是奇函数．

剖析：尽管对于定义域内的每一个x ≠0，都有f (-x ) =-f (x ) 成立，

但当x =0时，f (0)=2≠-f (0)，

∴函数f (x ) 既不是奇函数也不是偶函数．

此外，应特别注意，若函数f (x ) 是奇函数，则对定义域内的每一个x ，都有f (-x ) =-f (x ) ，特别当x =0属于定义域时，有f (0)=-f (0)，所以f (0)=0．因此，一般地，有以下结论：奇函数要么在x =0处没有定义，要么在x =0处的函数值为0，即f (0)=0．在例3中如果能去掉函数在x =0处的定义（或在x =0处定义f (0)=0），那么这个函数就是奇函数了．

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