一次函数规律谈 初二董义刚

认识一次函数与正比例函数图像的三种位置关系

特级教师 董义刚

一次函数y=kx+b（k ≠0）的图像是一条直线, 正比例函数y=kx（k ≠0）的图像也是一条直线。所以，正比例函数除了是特殊的一次函数外，它的图像与一次函数的图像之间也有着一定的关系。其关系具体表现如下：

1、一次函数y=kx+b（k ≠0）的图像可有正比例函数y=kx（k ≠0）的图像平移得到。 平移的规律：

①当b ＞0时，一次函数y=kx+b（k ≠0）的图像可有正比例函数y=kx（k ≠0）的图像向上平移b 个单位，得到；上下平移的位置在常数项；

②当b ＜0时，一次函数y=kx+b（k ≠0）的图像可有正比例函数y=kx（k ≠0）的图像向下平移|b|个单位，得到；上下平移的位置在常数项；

③当n ＞0时，正比例函数y=kx（k ≠0）的图像向右平移n 个单位，得到一次函数y=k（x-n ）+b的图像，此时，一次函数的解析式为：y=kx-kn+b。左右平移的位置在底数x 中；

④当n ＞0时，正比例函数y=kx（k ≠0）的图像向左平移n 个单位，得到一次函数y=k（x+n）+b的图像，此时，一次函数的解析式为：y=kx+kn+b。左右平移的位置在底数x 中；

例1、将直线y=2x向右平移2个单位所得的直线的解析式是： 。 A 、y ＝2x ＋2 B、y ＝2x －2 C、y ＝2(x－2) D、y ＝2(x＋2) 解析：根据上面的平移规律第三条，得到的解析式为：y ＝2(x－2) ， 所以，我们应选择C 。

2、一次函数y=k1x+b（k ≠0）的图像与正比例函数y=k2x（k ≠0）的图像平行 一次函数y=k1x+b（k ≠0）的图像与正比例函数y=k2x （k ≠0）的图像平行的条件： k 1= k2，与常数项b 没有关系。

例2、已知，一次函数y=kx+b的图像与正比例函数y=2x的图像平行，并且经过点A （3，2），求函数的解析式。

分析：因为一次函数y=kx+b的图像与正比例函数y=2x的图像平行，所以，一次函数中的k=2，只须把点A 的坐标代如解析式，求出b 的值就得到完整的函数解析式了。 解：

因为，一次函数y=kx+b的图像与正比例函数y=2x的图像平行， 所以，k=2，

所以，一次函数的解析式为：y=2x+b， 又因为图像经过点A （3，2）， 所以，2=6+b， 解得：b= -4，

所以，一次函数的解析式为：y=2x-4。

3、一次函数y=k1x+b（k 1≠0）的图像与正比例函数y=k2x （k 2≠0）的图像相交 一次函数y=k1x+b（k ≠0）的图像与正比例函数y=k2x （k ≠0）的图像相交的条件： k 1≠k 2，与常数项b 没有关系。

特别的，当满足k 1k 2=1时，两条直线是互相垂直的。

此时，经常遇到的问题是求图像的交点坐标问题或判断交点的位置。

一次函数y=k1x+b（k ≠0）的图像与正比例函数y=k2x （k ≠0）图像的交点坐标为： （

k 2b b

，）。（可以当做公式对待）

k 2-k 1k 2-k 1

例3、直线y =-x ，直线y =x +2与x 轴围成图形的周长是 （结果保留根号）． 分析：在这里，k 2= -1，k 1=1，所以，k 2- k1= -2，b=2，所以，两函数图像的交点坐标为（-1，1），将交点的坐标分解后，就知道交点到x 轴的距离和y 轴的距离， 利用一次函数，让y=0，就得到函数与x 轴的交点，这样，就知道三角形的一条边的长度了，其余两条边的长度，再根据勾股定理就可以求得。 解：

因为，直线y=-x，直线y=x+2，所以，k 2= -1，k 1=1，

所以，k 2- k1= -2，b=2，所以，两函数图像的交点A 坐标为（-1，1），

如图1所示，所以，线段OD=1，AD=1， 在直角三角形ADO 中， OA=2+12=

2，

令直线y=x+2中的y=0，得：x=-2，

所以，直线y=x+2与x 轴的交点B 坐标为（-2，0），因此，线段OB=2，BD=1，

在直角三角形ADB 中， AB=2+12=

2，

因为，直线y =-x ，直线y =x +2与x 轴围成的图形是三角形ABO ， 所以，直线y =-x ，直线y =x +2与x 轴围成图形的周长是2+22。

例4、如果函数y=ax+b（a ＜0，b ＜0）和y=kx（k ＞0）的图象交于点P ，那么点P 应该位于（ ）

A. 第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 分析：先用a 、b 、k 的代数式表示出交点的横坐标和纵坐标，然后根据a 、b 、k 的性质符号，来确定交点的横坐标、纵坐标的符号，从而确定交点的位置。 解：

因为，直线y=kx，直线y=ax+b，所以，k 2= k，k 1=a， 所以，k 2- k1= k-a，b=b，所以，两函数图像的交点P 坐标为（因为，k ＞0，a ＜0，b ＜0，所以，k-a ＞0，所以，交点的横坐标的符号为“-”；

又因为，k ＞0，a ＜0，b ＜0，所以，k-a ＞0，k b＜0，所以， 所以，交点的纵坐标的符号为“-”；

因此，交点P 的符号为（-，-），所以，交点P 应在第三象限，所以，选C 。 例5、小东从A 地出发以某一速度向B 地走去，同时小明从B 地出发以另一速度 向A 地而行，如图2所示，图中的线段米）与所用时间（小时）的关系。

1、试用文字说明：交点P 所表示的实际意义。 2、试求出A 、B 两地之间的距离。

分析：首先要理解坐标系的意义，横坐标表示行驶的时间，单位是小时；纵坐标表示的是行驶过程中距离B 地的距离，单位是千米。

而两个图象交点的意义就是表明两人行驶多长时间，在离B

地多远的地

、

分别表示小东、小明离B 地的距离（千

b kb

, ）， k -a k -a

b

＜0， k -a

kb

＜0， k -a

方相遇。而A 、B 两地之间的距离，就是当对应函数的自变量x 时间为0小时时，对应的函数值。因此，根据题目的要求，看懂图象，求出某一个函数的解析式，就成了解决问题的关键。 解：

1、交点P 所表示的实际意义是：

经过2.5小时后，小东与小明在距离B 地7.5千米处相遇。 2、设

，又

经过点P （2.5，7.5），（所以， ，解得：

所以， ，

所以， 当

时，

，

故A 、B 两地之间的距离为20千米。

4，0）

五种类型一次函数解析式的确定

确定一次函数的解析式，是一次函数学习的重要内容。下面就确定一次函数的解析式的题型作如下的归纳，供同学们学习时参考。

一、根据直线的解析式和图像上一个点的坐标，确定函数的解析式 例1、若函数y=3x+b经过点（2，-6），求函数的解析式。 分析：因为，函数y=3x+b经过点（2，-6），

所以，点的坐标一定满足函数的关系式，所以，只需把x=2，y=-6代入解析式中，就可以求出b 的值。函数的解析式就确定出来了。 解：因为，函数y=3x+b经过点（2，-6），

所以，把x=2，y=-6代入解析式中，得：-6=3×2+b， 解得：b=-12，所以，函数的解析式是：y=3x-12. 二、根据直线经过两个点的坐标，确定函数的解析式

例2、直线y=kx+b的图像经过A （3，4）和点B （2，7），求函数的表达式。 分析：把点的坐标分别代入函数的表达式，用含k 的代数式分别表示b ，

因为b 是同一个，这样建立起一个关于k 的一元一次方程，这样就可以把k 的值求出来， 然后，就转化成例1的问题了。

解：因为，直线y=kx+b的图像经过A （3，4）和点B （2，7）， 所以，4=3k+b，7=2k+b，所以，b=4-3k，b=7-2k， 所以，4-3k=7-2k，

解得：k=-3，所以，函数变为：y=-3x+b， 把x=3，y=4代入上式中，得：4=-3×3+b，

解得：b=13，所以，一次函数的解析式为：y=-3x+13。 三、根据函数的图像，确定函数的解析式

例3、如图1表示一辆汽车油箱里剩余油量y （升）与行驶时间x （小时）之间的关系．

求油箱里所剩油y （升）与行驶时间x （小时）之间的函数关系式，并且确定自变量x 的取值范围。

分析：根据图形是线段，是直线上的一部分，所以，我们可以确定油箱里所剩油y （升）是行驶时间x （小时）的一次函数，明白这些后，就可以利用设函数解析式的方法去求函数的解析式。

解：因为，函数的图像是直线，

所以，油箱里所剩油y （升）是行驶时间x （小时）的一次函数， 设：一次函数的表达式为：y=kx+b， 因为，图像经过点A （0，40），B （8，0），

所以，把x=0，y=40，x=8，y=0，分别代入y=kx+b中， 得：40=k×0+b，0=8k+b解得：k=-5，b=40， 所以，一次函数的表达式为：y=-5x+40。

当汽车没有行驶时，油箱里的油是40升，此时，行驶的时间是0小时； 当汽车油箱里的油是0升，此时，行驶的时间是8小时， 所以，自变量x 的范围是：0≤x ≤8. 四、根据平移规律，确定函数的解析式

例4、如图2，将直线向上平移1个单位，得到一个一次函数的图像，那么这个一次函数的解析式是 ．

分析：仔细观察图像，直线OA 经过坐标原点，所以，直线OA 表示的一个正比例函数的图像，并且当x=2时 y=4，这样，我们就可以求出，平移的起始函数的解析式，根据函数平移的规律，就可以确定一次函数的解析式。

把正比例函数y=kx（k ≠0）的图像向上或者向下平移|b|个单位，就得到一次函数：y=kx+b（k ≠0，b ≠0）的图像。 具体平移要领：

当b ＞0时，把正比例函数y=kx（k ≠0）的图像向上平移b 个单位，就得到一次函数：y=kx+b（k ≠0）的图像。

当b ＜0时，把正比例函数y=kx（k ≠0）的图像向下平移|b|个单位，就得到一次函数：y=kx+b（k ≠0）的图像。

解：因为，直线OA 经过坐标原点，

所以，直线OA 表示的一个正比例函数的图像， 设y=kx，

把x=2， y=4代入上式，得：4=2k，解得：k=2， 所以，正比例函数的解析式为：y=2x，

所以，直线向上平移1个单位，所得解析式为：y=2x+1， 所以，这个一次函数的解析式是y=2x+1。 五、根据直线的对称性，确定函数的解析式

例5、已知直线y=kx+b与直线y= -3x+7关于y 轴对称，求k 、b 的值。

分析：直线y=kx+b与直线y= -3x+7关于y 轴对称，所以，对称点的横坐标互为相反数，纵坐标保持不变，这可以是解题的理论依据，当然，也可以从已知直线解析式的图像上，确定出两个点的坐标，分别求出它们关于y 轴的对称点的坐标，然后利用待定系数法，计算出k 、b 的值。

解法1：设A （x ，y ）是直线y= -3x+7上一个点， 其关于y 轴对称的点的坐标为（-x ，y ）， 则有：y= -3x+7，y= -kx+b

整理，得：-3x+7= -kx+b，比较对应项，得：k=3，b=7。 解法2：设A （m ，n ）是直线y= -3x+7上一个点， 其关于y 轴对称的点的坐标为（a ，b ），

则有：b=n，m=-a，

因为，A （m ，n ）是直线y= -3x+7上一个点， 所以，点的坐标满足函数的表达式，即n=-3×m+7， 把n=b，m=-a，代入上式，得： b=-3×（-a ）+7，

整理，得：b=3a+7，即y=3x+7，它实际上与直线y=kx+b是同一条直线， 比较对应项，得：k=3，b=7。 解法3：

y -b

， k y -7

因为，y= -3x+7，所以，x=，

-3

因为，y=kx+b，所以，x=

因为，直线y=kx+b与直线y= -3x+7关于y 轴对称，

所以，两直线上点的坐标，都满足纵坐标相同，横坐标坐标互为相反数， 所以，

y -b y -7y -7

= -=，

k -33

比较对应项，得：y-b= y-7，k=3， 所以，k=3，b= 7。 解法4、

因为，直线y= -3x+7，

所以，当x=1时，y=-3×1+7=4， 即点的坐标（1，4）； 当x=2时，y=-3×2+7=1， 即点的坐标（2，1）；

因此，（1，4）、（2，1）关于y 轴对称的坐标分别为（-1，4）、（-2，1）， 所以，点（-1，4）、（-2，1）都在直线y=kx+b， 所以，⎨

⎧4=-1⨯k +b

，

⎩1=-2⨯k +b

留一个练习：

1、已知直线y=kx+b与直线y= -3x+7关于x 轴对称，求k 、b 的值。 2、已知直线y=kx+b与直线y= -3x+7关于原点对称，求k 、b 的值。 参考答案：

1、k=3，b=-7. 2、k=-3，b=-7.

审清题意，读懂图示，趣味无穷

审清题意，结合图形，意会图形提供的信息来解题，是近几年中考出现的新题型。这种题目图文并举，文为图作说明，图为文塑精神，综合考查了学生读图与审题的能力，是一类看上去难于下手但其实不难的中等题。下面欣赏几道这类图文并茂的中考题。

例1．一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x (h)，两车之间的距离为y (km)，图中的折线表示y 与x 之间的函数关系． ．．．．．．．根据图象进行以下探究： 信息读取

（1）甲、乙两地之间的距离为 km； （2）请解释图中点B 的实际意义；

图象理解

（3）求慢车和快车的速度；

（4）求线段BC 所表示的y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； 问题解决

（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇．求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？

分析：图示中的纵轴y 是表示两车之间的距离，所以一开始的900km 就是甲乙两地的距离。然后两车相向而行，两车之间的距离越来越小，到4小时止两车之间的距离为0，即两车相遇。之后两车背离而行，两车之间的距离越来越大，到C 点时快车到达乙地停车，两车之间的距离只有靠慢车去拉开，所以CD 的坡度更缓。到D 点时慢车也到达甲地停车，两车之间的距离又恢复为900km. 解：（1）900；

（2）图中点B 的实际意义是：当慢车行驶4h 时，慢车和快车相遇． （3）由图象可知，慢车12h 行驶的路程为900km ，

y （例1图）

所以慢车的速度为

900

=75(km/h) ； 12

当慢车行驶4h 时，慢车和快车相遇，两车行驶的路程之和为900km ，所以慢车和快车行驶

900

=225(km/h) ，所以快车的速度为150km/h． 4

900

=6(h)到达乙地，此时两车（4）根据题意，快车行驶900km 到达乙地，所以快车行驶150

的速度之和为

之间的距离为6⨯75=450(km)，所以点C 的坐标为(6，450) ．

0) ，(6，设线段BC 所表示的y 与x 之间的函数关系式为y =kx +b ，把(4，450) 代入得

⎧0=4k +b ，⎧k =225，

解得⎨ ⎨

450=6k +b . b =-900. ⎩⎩

所以，线段BC 所表示的y 与x 之间的函数关系式为y =225x -900． 自变量x 的取值范围是4≤x ≤6．

（5）慢车与第一列快车相遇30分钟后与第二列快车相遇，此时，慢车的行驶时间是4.5h ． 把x =4.5代入y =225x -900，得y =112.5．

此时，慢车与第一列快车之间的距离等于两列快车之间的距离是112.5km ，所以两列快车出发的间隔时间是112.5÷150=0.75(h)，即第二列快车比第一列快车晚出发0.75h ．

例2．甲乙两车同时从A 地前往B 地． 甲车先到达B 地，停留半小时后按原路返回． 乙车的行驶速度为每小时60千米． 下图是两车离出发地的距离y （千米）与行驶时间x （小时）之间的函数图象．

（1）请直接写出A 、B 两地的距离与甲车从A 到B 的行驶速度．

（2）求甲车返回途中y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围． （3）两车相遇后多长时间乙车到达B 地？

分析：图示中的纵轴y 是表示两车离出发地A 地的距离，甲乙两车又都是从A 地前往B

地（同时），随着时间的推移y 值都增大，并且快车的y 值增大得更快，所以坡度更陡的线是快车跑的，坡度更缓的线是慢车跑的，明白了这一点，也就很容易判断A 、B 两地的距离就是450千米 。快车花了4.5小时到达B 地后，停留半小时，所以离出发地A 地的距离y 保持水平，y 不变。停留半小时后按原路返回，快车的y 值减小，与还在向B 地开进的慢车相遇，两线相交点就是相遇点。而后快车继续回开，在10小时时刻回到A 地，离出发地A 地的距离变为0km 。

解：（1）A 、B 两地的距离：450千米 甲车从A 到B 的速度：100千米/时

（2）设y =kx +b ，把（5，450）、（10，0）代入上式得：

⎧450=5k +b ⎧k =-90

解得： ∴y =-90x +900 ⎨⎨

⎩b =900⎩0=10k +b

自变量x 的取值范围是：5≤x ≤10

（3）乙车离出发地的距离y （千米）与行驶时间x （小时）之间的函数关系式为y =60x ，

解方程组⎨

⎧y =60x

⎩y =-90x +900

450

－6=1.5 （小时） 60

得x =6

相遇后乙车到达B 地需要时间为：

例3．某天，小明来到体育馆看球赛，进场时，发现门票还在家里，此时离比赛开始还有25分钟，于是立即步行回家取票. 同时，他父亲从家里出发骑自行车以他3倍的速度给他送票，两人在途中相遇，相遇后小明立即坐父亲的自行车赶回体育馆. 下图中线段AB 、OB 分别表示父、子俩送票、取票过程中，离体育馆的路程．．．．．．．S （米）与所用时间t （分钟）之间的函数关系，结合图象解答下列问题（假设骑自行车和步行的速度始终保持不变）：

（1）求点B 的坐标和AB 所在直线的函数关系式； （2）小明能否在比赛开始前到达体育馆？

分析：图示中的纵轴S 是表示离体育馆的距离, 小明父亲是从家里出发送票，所以AO 就是小明父亲到体育馆的距离3600米，走下坡路的线段AB 是父亲走的，离家越来越远，但离体育

（例3图）

馆越来越近，S 越来越小；走上坡路的线段OB 是小明走的，离体育馆越来越远，S 逐渐变大。B 处是他们父子的相遇点。

解：（1）解法一：从图象可以看出：父子俩从出发到相遇时花费了15分钟

设小明步行的速度为x 米/分，则小明父亲骑车的速度为3x 米/分

依题意得：15x+45x =3600． 解得：x =60．

所以两人相遇处离体育馆的距离为 60×15=900米．

所以点B 的坐标为（15，900）．

设直线AB 的函数关系式为s =kt+b（k ≠0）．

由题意，直线AB 经过点A （0，3600）、B （15，900）得：

⎧b =3600，⎧k =-180，

解之，得⎨ ⎨

15k +b =900b =3600．⎩⎩

∴直线AB 的函数关系式为：S =-180t +3600．

解法二：从图象可以看出：父子俩从出发到相遇花费了15分钟． 设父子俩相遇时，小明走过的路程为x 米． 依题意得：3x 3600-x

= 1515

解得x =900，所以点B 的坐标为（15，900） 以下同解法一．

（2）解法一：小明取票后，赶往体育馆的时间为：

900

=5 60⨯3

小明取票花费的时间为：15+5=20分钟． ∵20

解法二：在S =-180t +3600中，令S =0，得0=-180t +3600． 解得：t =20．

即小明的父亲从出发到体育馆花费的时间为20分钟，因而小明取票的时间也为20分钟． ∵20

例子我就不多举了，由上面三个例题可以看出，关键是要牢记纵轴所表示的含义，结

合图形，审清题意，看懂图示，找出图示中蕴含的意义，这样的题目便能迎刃而解，你便能

体会到“柳暗花明”的乐趣。愿我的小短文能对你有所帮助。

聚焦位于第一象限的双一次函数图像

一、已知两条直线交点坐标的双一次函数图像问题

例1、已知如图1所示，直线l 1表示某机床公司一天的销售收入与机床地的销售量的关系，直线l 2表示该公司一天的销售成本与机床销售量的关系。请根据图像回答下面的问题： （1）、当x=1时，销售收入为 万元， 销售成本为 万元，

利润（收入-成本）为 万元。

（2）一天销售 件时，收入成本与销售成本相等。 （3）直线l 1对应的函数表达式是 。 直线 l2对应的函数表达式是 。 （4）你能写出利润w 万元与销售量x 件之间的函数关系吗？

分析：解答这类函数图像问题时 ，同学们要能遵循如下的思路 问题可能会比较顺利的获得求解。具体的思路为： ①写出图像上能表示的关键点的坐标：

直线l 1上的两个关键点，坐标分别为（0，0）和（2，2）； 直线 l2上的两个关键点，坐标分别为（0，1）和（2，2）；

②结合图像设出函数的解析式，把①中的关键点分别代入所设的函数解析式中，求出函数的解析式。

③充分理解图像交点的意义：此时，对两个函数来说，函数自变量的值相等，对应的函数值也相等。

④会根据函数的性质，比较函数值的大小。 解：

因为，直线l 1经过点（0，0）， 所以，直线l 1是正比例函数， 设y 1=k1x ， 又因为，

直线l 1经过点（2，2）， 所以，2=2 k1， 所以，k 1=1，即y 1=x；

因为，直线l 2经过点（0，1），不经过原点， 所以，直线 l2是一般地一次函数， 设y 2=k2x+1，

又因为，直线l 2经过点（2，2）， 所以，2=2 k2+1，

所以，k 2=0.5，即y 2=0.5x+1；

所以，直线 l2的解析式为：y 2=0.5x+1； 所以，

(1)、当x=1时，y 1=x=1（万元）；y 2=0.5x+1=1.5（万元）； 所以，当x=1时，销售收入为1万元，销售成本为1.5万元， 利润（收入-成本）为1-1.5=-0.5（万元）。

（2）仔细观察图像，发现当一天销售2件时，收入成本与销售成本相等。 （3）根据上面的解答，知道直线l 1对应的函数表达式是y 1=x；

直线 l2对应的函数表达式是y 2=0.5x+1； （4）根据利润=收入-成本的原理，所以，w= y1-y 2=x-（0.5x+1）=0.5x-1。

例2、如图2所示，OA 、BA 分别表示甲、乙两名学生运动的一次函数图像。图中s 和t 分别表示运动路程和时间，根据图像判断快者的速度比慢者的速度每秒快 ： (A) 2.5米 (B )2米 (C)1.5米 (D) 1米 分析：

直线OA 上的两个关键点，坐标分别为（0，0）和（8，64）； 直线BA 上的两个关键点，坐标分别为（0，12）和（8，64）； 并且直线OA 是正比例函数，直线BA 是一次函数，利用待定系数法分别求出函数的解析式，x 的系数的差，就是甲乙的速度的差。

解：因为，直线OA 经过点（0，0）， 所以，直线OA 是正比例函数， 设y 1=k1x ，

又因为，直线l 1经过点（8，64）， 所以，64=8k1，

所以，k 1=8，即y 1=8x,也就是说甲的速度是每秒8米； 因为，直线BA 经过点（0，12），不经过原点， 所以，直线BA 是一般地一次函数， 设y 2=k2x+12，

又因为，直线BA 经过点（8，64）， 所以，64 =8 k2+12，

所以，k 2=6.5，即y 2=6.5x+12；

所以，直线BA 的解析式为：y 2=6.5x+12, 也就是说乙的速度是每秒6.5米；

所以，甲乙的速度之差为8-6.5=1.5（米）。 所以，选择C 。

二、已知两条直线交点的某一个坐标的双一次函数图像问题

例3、如图3所示，是甲、乙两个弹簧的长度y （厘米）与所挂重物x （kg ）之间的函数关系图，当所挂重物的质量为1kg 时，甲弹簧的长度与乙弹簧的长度的差是 。 分析：

在这里，关键是理解图像交点坐标的意义，当弹簧挂重物的质量等于交点的横坐标时，两个弹簧的长度是相等。 从图像上看出，甲、乙两根弹簧图像的交点的横坐标为1， 此时，两根弹簧的长度是相等的，所以，甲弹簧的长度与乙弹簧的长度的差是0.

解：甲弹簧的长度与乙弹簧的长度的差是0.

例4、某单位急需用车，但又不准备买车，他们准备和一个体车主或一国营出租车公司其中的一家签订月租车合同，设汽车每月行驶x 千米，应付给个体车主的月费用是y 1元，应付给出租车公司的月费用是y 2元，应付给出租车公司的月费用是y 1、y 2分别与x 之间的函数关系图像(两条射线) 如图，观察图象回答下列问题：

1. 每月行驶的路程在什么范围内，租国营公司的车合

算？

2. 每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同？

3. 如果这个单位估计每月行驶的路程为2300千米，那么这个单位租哪家的车合算

分析：本题是考查学生对一次函数图像的识图能力，和解释图像所反映的实际生活问题的意义的能力。在这里，两条图像的交点，表示当行驶1500千米时，付给个体车主的月费用和付给出租车公司的月费用是相等的，除这个点外，所要支付的费用就不会再相等了。图像在上，就意味着多支付费用。只要理解了这些，本题的解答就显得那么的容易了。 此时，交点的横坐标成为了判断哪一种方式更合算的分界点。 解：

1）从图像上，可以看出，当x ＞1500时，y 1 ＞y 2。 所以当每月行驶的路程在x ＞1500千米的范围内时，租国营公司的车合算。

2、 从图像上，可以看出，两条图像的交点，表示当行驶1500千米时，付给个体车主的月

费用和付给出租车公司的月费用是相等的，所以每月行驶的路程等于1500千米时，租两家车的费用相同。

3、 如果这个单位估计每月行驶的路程为2300千米，因为2300＞1500，根据1）的意义可

以知道租国营公司的车合算。

例5、一条高速公路上，一辆轿车和一辆货车沿相同的路线从A 地开往B 地，所行驶的路程y （千米）与时间x （小时）之间的函数关系图像如图5所示，请你根据图像，回答下面的问题：

（1）货车比轿车早出发 小时；轿车追上货车时，行驶了 千米；A 地到B 地的路程是 千米。

（2）轿车追上货车时，轿车行驶了 小时。

（3）轿车比货车早到 小时。

分析：

（1）货车比轿车早出发的时间，从时间轴上的直线起点的差上找答案，货车的起点横轴上

的坐标为0，轿车在横轴上的坐标为1，所以，坐标的差是1，也就是货车比轿车早出发1个小时；

轿车追上货车时，行驶的路程，就是看交点的坐标的纵坐标的值，看坐标在y 轴的正半轴上所对应数值是150，因此，轿车追上货车时，行驶了150千米；

A 地到B 地的路程，就是图上点N 的纵坐标300，所以，A 地到B 地的路程是300千；

（2）货车行驶的路程与时间的函数关系是正比例函数，设y=kx，

根据图像，知道图像还经过（5，300），

所以，300=5k，解得：k=60，

所以，函数的解析式为：y=60x，

设交点的坐标为（t ，150），

所以，150=60t，解得：t=2.5，即货车行驶2.5小时，两车相遇, 由于货车比轿车早出发1个小时, 所以, 轿车追上货车时，轿车行驶了1.5个小时；

（3）设轿车的函数关系式为：y=kx+b，

把x=1，y=0和x=2.5，y=150分别代入上式，得：

k+b=0 ，2.5 k+b=150，

解得：k=100，b=-100，

所以，函数的解析式为：y=100x-100，

当y=300时，300=100x-100，解得：x=4，

所以，轿车行驶全程用时间为：4（小时），

而货车走完全程所用的时间为5小时，所以，轿车比货车早到1个小时。

答案略。

三、隐藏两条直线交点坐标的双一次函数图像问题

例6、为迎接2008年北京奥运会，某学校组织了一次野外长跑活动，参加长跑的同学出发后，另一些同学从同地骑自行车前去加油助威。如图5，线段L 1，L 2分别表示长跑的同学和骑自行车的同学行进的路程y （千米）随时间x （分钟）变化的函数图象。根据图象，解答下列问题：

（1）分别求出长跑的同学和骑自行车的同学的行进路程y 与时间x 的函数表达式； （2）求长跑的同学出发多少时间后，骑自行车的同学就追上了长跑的同学？

分析：解答这类函数图像问题时 ，同学们要能遵循如下的思路 问题可能会比较顺利的获得求解。具体的思路为： ① 出图像上能表示的关键点的坐标： 直线l 1上的两个关键点，

坐标分别为（0，0）和（60，10）； 直线 l2上的两个关键点，

坐标分别为（20，0）和（40，10）；

②结合图像设出函数的解析式，把①中的关键点分别代入所设的函数解析式中，求出函数的解析式。

③充分理解图像交点的意义：此时，对两个函数来说，函数自变量的值相等，对应的函数值也相等。 解：

因为，直线l 1经过点（0，0），所以，直线l 1是正比例函数， 设y 1=k1x ，

又因为，直线l 1经过点（60，10）， 所以，10 =60 k1， 所以，k 1=

11

，即y 1=x ； 66

因为，直线l 2经过点（20，0），不经过原点，所以，直线 l2是一般地一次函数， 设y 2=k2x+b， 所以，20 k2+b=0

又因为，直线l 2经过点（40，10）， 所以，10 =40k2+b， 所以，k 2=0.5，b=-10， 即y 2=0.5x-10；

所以，长跑的函数解析式为：y =骑车的函数解析式为：y =

1

x , 6

1

x -10 2

（2）因为，骑自行车的同学就追上了长跑的同学的意义就是两队相遇的意思，此时，坐标的特点是实现了两个“同”，即此时函数的横坐标相同，对应的纵坐标相同，也就是求两个函数图像的交点坐标，所以，联立两个解析式，

1⎧

y =x ⎪⎪6

得方程组：⎨，

1⎪y =x -10⎪⎩2

解得：x=30,y=5,即长跑的同学出发了30分钟后，骑自行车的同学就追上了长跑的同学。

例7、我边防局接到情报，近海处有一艘有一只可疑船只A 正向公海方向行驶，边防局迅速

派出快艇B 追赶，如图7所示，在图8中，直线l 1、l 2分别表示两船相对于海岸的距离s （海里）与追赶时间t （分）之间的函数关系。 根据图像回答下列问题：

（1）哪条线表示B 到海岸的距离与追赶的时间之间的函数关系？ （2）A 、B 哪个的速度快？ （3）15分钟内B 能追上A 吗？ （4）如果一直追下去B 能追上A 吗？

（5）当A 逃到离海岸12海里的公海时，B 将无法对其进行检查，照此速度，B 能否在A 逃

入公海前将其拦截？

分析：解答这类函数图像问题时 ，同学们要能遵循如下的思路问题可能会比较顺利的获得求解。具体的思路为： ①写出图像上能表示的关键点的坐标： 直线l 1上的两个关键点， 坐标分别为（0，0）和（10，5）； 直线 l2上的两个关键点， 坐标分别为（0，5）和（10，7）；

②结合图像设出函数的解析式，把①中的关键点分别代入所设的函数解析式中，求出函数的解析式。 ③④ 解：

因为，直线l 1经过点（0，0），所以，直线l 1是正比例函数， 设y 1=k1x ，

又因为，直线l 1经过点（10，5），

所以，5 =10 k1，

所以，k 1=0.5，即y 1=0.5x；

因为，直线l 2经过点（0，5），不经过原点，所以，直线 l2是一般地一次函数， 设y 2=k2x+5，

又因为，直线l 2经过点（10，7），

所以，7 =10 k2+5，

所以，k 2=0.2，即y 2=0.2x+5；

所以，直线 l2的解析式为：y 2=0.2x+5；

所以，

（1）因为t=0时，s=0是B 船的最大特点，所以，直线l 1表示B 到海岸的距离与追赶的时

间之间的函数关系；

（2）A 、B 哪个的速度快，有三种方法来判断：

比较x 的系数大小：

因为，B 的x 的系数是0.5，A 的x 的系数是0.2，所以，B 的速度快；

比较等时间内增量的大小：

对于B 来说，当时间t 从0增到10时，对应的函数值从0增到5，增量为5；

而对于A 来说，当时间t 从0增到10时，对应的函数值从5增到7，增量为7-5=2， 所以，B 的速度快；

比较图像的倾斜度：

仔细观察图像 不难看出B 的倾斜度大，

所以，B 的速度快；

评析：

比较x 的系数大小，系数大的速度大；

比较等时间内增量的大小，增量大的，速度大；

比较图像的倾斜度，与x 轴的夹角大的速度大。

（3）15分钟内B 能追上A 吗？这一问的意思，就是当t=15分时，求出对应的函数值，比

较而者的大小。

解：当t=15时，

y 1=0.5x=0.5×15=7.5

y 2=0.2x+5=0.2×15+5=8；

y 1＜y 2，所以，15分钟内B 不能追上A ；

（4）如果一直追下去B 能追上A 吗？这一问，实际上就是问你，这两条直线是否有交点的

问题，当然，也就是直线是平行还是相交的问题，只有当函数的x 的系数相等时，直线是平行的，否则，就一定相交，在这里x 的系数分别是0.2和0.5，所以，两条直线一定相交，所以，一直追下去B 一定能追上A 。

（5）当A 逃到离海岸12海里的公海时，B 将无法对其进行检查，照此速度，B 能否在A 逃

入公海前将其拦截？对于这一问，我们应该这样去理解，就是求出交点的坐标，比较交点坐标的纵坐标与12 的大小，如果交点坐标的纵坐标小于12，说明能拦截；

如果交点的纵坐标大于等于12，说明正好不能拦截。

因此，问题的关键，就转换成求直线的交点坐标问题了。

因为，y 1=0.5x，y 2=0.2x+5，

所以，0.5x=0.2x+5，

解得：x=50502536，所以，y=0.5x=0.5×=＜=12， 3333

所以，照此速度，B 能在A 逃入公海前将其拦截。

希望以上的看法，能对同学们学习一次函数的知识有所帮助。

一次函数图像的四个“看点”

一次函数的图像在生活中，有着十分广泛的应用。不同的背景就有着不同的意义。 本文从四个不同的看点，来探析一下一次函数图像四种不同交点的意义。

一、看点1----解释函数图像与x 轴交点的意义

例1、某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用y (元) 是行李重量x (千克) 的

一次函数，其图象如图所示，

求： (1)y与x 之间的函数关系式为

(2)旅客最多可免费携带行李的千克数为 千克。

（3）旅客携带100千克行李时，需购买行李票费 元

分析：旅客随身携带一定重量的行李，而行李的重量是不能为负的，因此，旅客携带的行李的重量最小时为y=0时，对应的重量。也就是令y=0时，图像与x 轴的交点的横坐标。 解：

1） 设y=kx+b，根据图像，知道图像经过以下两个点，（60，6）和（80，10），

把x=60，y=6；x=80，y=10分别代入y=kx+b中，

得到：6=60k+b，10=80k+b ，

解得：k=1/5，b= -6，

所以，y 与x 之间的函数关系式为y=1/5x-6。

2）令y=0，得：1/5x-6=0，得x=30，

即旅客最多可免费携带30千克的行李。

3）当x=100时，y=1/5×100-6=14（元）。即旅客携带100千克行李时，需购买14元的行李票。

二、看点2----解释函数图像为射线时端点的意义

例2、从长沙向北京打长途电话，通过时间x (分) ，需付电话费

y (元) ，通话3分钟以内话费为3.6元，请你根据如图y 随x 变

化的图像，找出通话5分钟，需付电话费 元？

分析：射线端点的意义表示，通话时间只要不超过3分钟，

话费都是3.6元。它是两种收费标准的界点。

解：根据y 随x 变化的图像，可以知道通话5分钟，需付电话费

6元。

三、看点3----解释图像与y 轴交点的意义

例3 如图，现有一条弹簧，当挂3千克重物时，弹簧的长度

为15厘米；

当挂6千克重物时，弹簧的长度为24厘米。请你结合图像分

析图中A 点的意义为 。

分析：从图像的形状可以看出，弹簧的总长度是所挂物体重量的一次函数。因为点A 在y 轴上，即表示当x=0时，弹簧的长度。而此时的弹簧的长度即是弹簧的原来的长度。 解：设y=kx+b，根据题意，知道图像经过以下两个点，（3，15）和（6，24），

把x=3，y=15；x=6，y=24分别代入y=kx+b中，

得到：15=3k+b，24 =6k+b ，

解得：k=3，b= 6，

所以，y 与x 之间的函数关系式为y=3x+6，

令x=0，得：y=6，即A 的坐标为（0，6），

所以A 点的意义为当弹簧不挂重物时，弹簧的长度为6厘米。

四、看点4----解释图像与图像交点的意义

例4、某单位急需用车，但又不准备买车，他们准备和一个体车主或一国营出租车公司其中的一家签订月租车合同，设汽车每月行驶x 千米，应付给个体车

主的月费用是y 1元，应付给出租车公司的月费用是y 2元，应付

给出租车公司的月费用是y 1、y 2分别与x 之间的函数关系图像(两

条射线) 如图，观察图象回答下列问题：

4. 每月行驶的路程在什么范围内，租国营公司的车合算？

5. 每月行驶的路程等于多少时，租两家车的费用相同？

6. 如果这个单位估计每月行驶的路程为2300千米，那么这个单位租哪家的车合算 分析：本题是考查学生对一次函数图像的识图能力，和解释图像所反映的实际生活问题的意义的能力。在这里，两条图像的交点，表示当行驶1500千米时，付给个体车主的月费用和付给出租车公司的月费用是相等的，除这个点外，所要支付的费用就不会再相等了。图像在上，就意味着多支付费用。只要理解了这些，本题的解答就显得那么的容易了。 解：

1）从图像上，可以看出，当x ＞1500时，y 1 ＞y 2。 所以当每月行驶的路程在x ＞1500千米的范围内时，租国营公司的车合算。

4、 从图像上，可以看出，两条图像的交点，表示当行驶1500千米时，付给个体车主的月

费用和付给出租车公司的月费用是相等的，所以每月行驶的路程等于1500千米时，租两家车的费用相同。

如果这个单位估计每月行驶的路程为2300千米，因为2300＞1500，根据1）的意义可以知道租国营公司的车合算。