20**年高考数学试题分类汇编几何证明选讲

专题十九 几何证明选讲

1. （15年广东理科）如图1，已知AB 是圆O 的直径，AB =4，EC 是圆O 的切线，切点为C ， BC =1，过圆心O 做BC 的平行线，分别交EC 和AC 于点D 和点P ，则OD =

图1

【答案】8．

【考点定位】本题考查直线与圆、直角三角形的射影定理，属于中档题．

2. （15年广东文科）如图1，AB为圆O的直径，E为AB的延长线上一点，过E作圆O的切线，切点为C ，过A作直线E

C 的垂线，垂足为D ．若AB=4，C E=，则AD = ．

【答案】3

A

考点：1、切线的性质；2、平行线分线段成比例定理；3、切割线定理． 3. （15年新课标2理科）如图，O 为等腰三角形ABC 内一点，⊙O 与ΔABC 的底边BC 交于M ，N 两点，与底边上的高AD 交于点G ，且与AB ，AC 分别相切于E ，F 两点。

（1）证明：EF ∥BC ； （2）若AG 等于⊙O

的半径，且AE =MN =EBCF 的面积。

G

E

O

B M

D

N

C F

4. （15年新课标2文科）如图O 是等腰三角形AB C 内一点, 圆O 与△ABC 的底边BC 交于M , N 两点, 与底边上的高交于点G , 且与AB , AC 分别相切于E , F 两点.

（I ）证明EF BC ；

（II ）若AG 等于圆O 半径,

且AE =MN =, 求四边形EBCF 的面积.

【答案】（I ）见试题解析；（II

考

点：1. 几何证明；2. 四边形面积的计算.

5. （15年陕西理科）如图，AB切 O于点B，直线AD 交 O于D ，E两点，BC ⊥D E，垂足为C ． （I ）证明：∠C BD =∠D BA；

（II ）若AD =

3DC ，BC = O的直径．

【答案】（I ）证明见解析；（II ）3． 【解析】

试题分析：（I ）先证∠C BD =∠BED ，再证∠D BA=∠BED ，进而可证∠C BD =∠D BA；（II ）先由（I ）知BD 平分∠C BA，进而可得AD 的值，再利用切割线定理可得AE的值，进而可得 O的直径． 试题解析：（I ）因为DE 为圆O 的直径，则∠BED +∠EDB =90， 又BC ⊥DE ，所以∠CBD+∠EDB=90°，从而∠CBD=∠BED. 又AB 切圆O 于点B ，得∠DAB=∠BED ，所以∠CBD=∠DBA. （II ）由（I ）知BD 平分∠CBA ，则所以AC

BA AD ==3,

又BC

AB =

BC CD

=4，所以A D=3.

2

AB 2

由切割线定理得AB =AD×AE ，即AE ==6，

AD

故DE=AE-AD=3，即圆O 的直径为3.

考点：1、直径所对的圆周角；2、弦切角定理；3、切割线定理.

6. （15年陕西文科）如图，AB 切 O 于点B ，直线AO 交 O 于D , E 两点，BC ⊥DE , 垂足为C . (I)证明：∠CBD =∠DBA (II)

若AD =3DC , BC =

O 的直径

.

【答案】(I)证明略，详见解析； (II)3. 【解析】

试题分析：：(I)因为DE 是 O 的直径，则∠BED +∠EDB =90︒，又BC ⊥DE ，所以

∠CBD +∠EDB =90︒，又AB 切 O 于点B ，得∠DBA =∠BED ，所以∠CBD =∠DBA ；

(II)由(I)知BD 平分∠CBA ，则

BA AD

==

3，又BC =

，从而AB =AB 2=BC 2+AC 2， BC CD

2

解得AC =4，所以AD =3，由切割线定理得AB =AD ⋅AE ，解得AE =6，故DE =AE -AD =3，

即 O 的直径为3.

试题解析：(I)因为DE 是 O 的直径， 则∠BED +∠EDB =90︒

又BC ⊥DE ，所以∠CBD +∠EDB =90︒ 又AB 切 O 于点B ， 得∠DBA =∠BED 所以∠CBD =∠DBA (II)由(I)知BD 平分∠CBA ， 则

BA AD

==3，

BC CD

又BC =

，从而AB =

所以AC =4

所以AD =3，

由切割线定理得AB =AD ⋅AE

2

AB 2

=6， 即AE =AD

故DE =AE -AD =3， 即 O 的直径为3.

考点：1. 几何证明；2. 切割线定理.

7. （15年江苏）如图，在∆ABC 中，AB =AC ，∆ABC 的外接圆圆O 的弦AE 交BC 于点D

求证：∆ABD ∽∆AEB

A

（第21——A 题）

【答案】详见解析

考点：三角形相似