构造函数求解导数题的基本策略

构造函数求解导数题的基本策略

湖北省黄梅县第一中学 赵光新

一构造函数求解恒成立问题，弥补“等号”问题

例1已知函数f （x ）=-x3+ax2+b（a ，b ∈R ）．

（1）若函数y=f（x ）的图象上任意不同的两点的连线的斜率小于2, 求a 的取值范围 分析：本题学生易将图象上任意不同的两点的连线的斜率与

得错解为：由（f x ）=-x3+ax2+bf ' (x ) 混为一谈，f ' (x ) =-3x 2+2ax ， f ' (x ) 0对一切的x ∈R 恒成立，从而 ∆=(-2a ) 2-4⨯3⨯2

f (x 1) -2x 1>f (x 2) -2x 2，因此构造函数g (x ) =f (x ) -2x =-x 3+ax 2-2x +b ， 则g (x 1) >g (x 2) ，从而g (x ) 为R 上的减函数，所以g (x ) ≤0即 '

3x 2-2ax +2≥0对一切的x ∈R 恒成立，从而

∆=(-2a ) 2-4⨯3⨯2

≤a ≤二构造函数解决多元变量的证明问题

在不等式的证明中，常常会出现多个变量。此时若能用主元思想，将其中一个看成主元，另一个变量看成常数，构造一元函数，利用一元函数的性质，使得多元变量不等式的证明得到很好的解决，高考题中常常出现。

例2已知函数f (x ) =ln x ，当0

) >2b (b -a ) 2212b 3-4b 2x -2bx 2(b 2-x 2)(b 2-x 2+2bx ) ， 0

∴F ' (x ) F (b ) =0

所以原命题得证。

三构造函数求解代数式的最值问题

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例3已知函数f (x ) =e , g (x ) =ln

则

b-a 的最小值为 x x 1+，∃b ∈(0,+∞) 使得f (a ) =g (b ) 对任意的a ∈R ，22

解析：f (a ) =g (b ) 所以找一中间量，将a,b 都变成中间量的函数，然后求函数的最值。 因为任意的a ∈R ，∃b ∈(0,+∞) 使得f (a ) =g (b ) 所以设f (a ) =g (b ) =m 11m -m -b 12即e =ln +=m ，∴a =ln m , b =2e , b -a =2e 2-ln m 22a

令h (m ) =2e

' 1m -2-ln m ，h ' (m ) =2e 1m -2-12me -1= m m m -12令h (m ) =0，得m =111' ' ，当 x ∈(0,) 时，h (m ) 0 222

1b -a =h (m ) ≥h () =2+ln 2 2

四构造函数利用用单调性解不等式

例4已知函数定义域为R ，f (0)=2, 对任意的x ∈R , f (x ) +f ' (x ) >1, 则不等式e x f (x ) >e x +1的解集为：

分析：这是一个抽象函数导函数满足的式子，先构造出原函数然后借助导数性质求解。

x ' x ' x 令g (x ) =e (f (x ) -1) 则g (x ) =e (f (x ) +f (x ) -1) >0，所以g (x ) =e (f (x ) -1) 在R

x 0上单调递增。而待解不等式可以改写为e (f (x ) -1) >1=e (f (0)-1)

所以不等式的解集为(0,+∞)

例5设f(x)是定义在R 上的可导函数, 且满足f (x ) +xf (x ) >0则不等

式'

f >的解集为：

解析：首先将条件式还原成原函数。令G (x ) =xf (x ), 则G (x ) =f (x ) +xf (x ) >0所以' '

G (x ) 在R

>，

0且x +1≥0, x -1≥0，所以x ∈[1,2)

（本文发表于北京高中生数学）

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