万有引力与航天专题

【万有引力与航天专题】

1、万有引力定律

（1）内容：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小与两物体的质量的乘积成正比，与两物体间距离的平方成反比。

（2）公式： （3）适用条件：

（4）基本应用：计算题中，将天体运动看作，万有引力提供天体运动的，计算中可运用地表。（黄金代换） ******实际加速度为合力（这里就是万有引力）除质量，V．．

2

为作圆周运动所需要加速度，在这儿主要．．

会与向心、离心运动条件综合 ．．．．．．．．．

例：（江苏卷）2009年5月，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B为轨道Ⅱ上的一点，如图所示，关于航天飞机的运动，下列说法中正确的有

（A）在轨道Ⅱ上经过A的速度小于经过B的速度

（B）在轨道Ⅱ上经过A的动能小于在轨道Ⅰ上经过A 的动能 （C）在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期

（D）在轨道Ⅱ上经过A的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A的加速度 2、地球同步卫星

（1）所谓同步卫星，是相对于地面 ，轨道平面与赤道平面 。

（2）所有同步卫星的都是相等的。 3、宇宙速度

第一宇宙速度（环绕速度）：最小发射速度、最大环绕速度。 第二宇宙速度（脱离速度）：

使恒星脱离地球的最小发射速度。 第三宇宙速度（逃逸速度）：使恒星脱离太阳系的最小发射速度。

（08广东理科基础）8．由于地球的自转，使得静止在地面的物体绕地轴做匀速圆周运

动。对于这些做匀速圆周运动的物体，以下说法正确的是

A．向心力指向地心 B．速度等于第一宇宙速度 C．加速度等于重力加速度 D．周期与地球自转的周期相等

（09年海南物理）11．在下面括号内列举的科学家中，对发现和完善万有引力定律有贡献的是 。（安培、牛顿、焦耳、第谷、卡文迪许、麦克斯韦、开普勒、法拉第）

基础练习题

（04春季）（16分）神舟五号载人飞船在绕地球飞行的第5圈进行变轨，由原来的椭圆轨道变为距地面高度h=342km的圆形轨道。已知地球半径R=6.37⨯10km，地面处的重力加速度g=10m/s。试导出飞船在上述圆轨道上运行的周期T的公式（用h、R、g表示），然后计算周期T的数值（保留两位有效数字）

（05广东卷）（13分）已知万有引力常量G，地球半径R，月球和地球之间的距离r，同步卫星距地面的高度h，月球绕地球的运转周期T1，地球的自转周期T2，地球表面的重力加速度g。某同学根据以上条件，提出一种估算地球质量M的方法： 4π2h3 2π⎫得同步卫星绕地球作圆周运动，由GMm=m⎛ ⎪hM=

GT2Th2⎝⎭

2

3

2

⑴请判断上面的结果是否正确，并说明理由。如不正确，请给出正确的解法和结果。 ⑵请根据已知条件再提出两种估算地球质量的方法并解得结果。

（07广东卷）（12分）土星周围有许多大小不等的岩石颗粒，其绕土星的运动可视为圆周运动。其中有两个岩石颗粒A和B与土星中心距离分别为rA＝8.0×104 km和r B＝1.2×105 km。忽略所有岩石颗粒间的相互作用。（结果可用根式表示）

⑴求岩石颗粒A和B的线速度之比； ⑵求岩石颗粒A和B的周期之比；

⑶土星探测器上有一物体，在地球上重为10 N，推算出他在距土星中心3.2×105 km处

受到土星的引力为0.38 N。已知地球半径为6.4×103 km，请估算土星质量是地球质量的多少倍？

（03全国卷） （15分）中子星是恒星演化过程的一种可能结果，它的密度很大。

1

s。问该中子星的最小密度应是多30

少才能维持该星体的稳定，不致因自转而瓦解。计算时星体可视为均匀球体。 （引力常数G＝6.67×10－11m3／kg·s2)

现有一中子星，观测到它的自转周期为T＝

（01北京、内蒙古、安徽卷） （12分）两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两星中心距离为R，其运动周期为T，求两星的总质量。

（08宁夏卷）23.（15分）天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。双星系统在银河系中很普遍。利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量。已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T，两颗恒星之间的距离为r，试推算这个双星系统的总质量。（引力常量为G）

（07上海） （10分）宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处；若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处。（取地球表面重力加速度g＝10 m/s2，空气阻力不计）

⑴求该星球表面附近的重力加速度g/；

⑵已知该星球的半径与地球半径之比为R星:R地＝1:4，求该星球的质量与地球质量之比M星:M地。

（08全国卷2）25．（20分）我国发射的“嫦娥一号”探月卫星沿近似于圆形轨道绕月飞行。为了获得月球表面全貌的信息，让卫星轨道平面缓慢变化。卫星将获得的信息持续用微波信号发回地球。设地球和月球的质量分别为M和m，地球和月球的半径分别为R和R1，月球绕地球的轨道半径和卫星绕月球的轨道半径分别为r和r1，月球绕地球转动的周期为T。假定在卫星绕月运行的一个周期内卫星轨道平面与地月连心线共面，求在该周期内卫星发射的微波信号因月球遮挡而不能到达地球的时间（用M、m、R、R1、r、r1和T表示，忽略月球绕地球转动对遮挡时间的影响）。

（04广东卷）（ 16分）某颗地球同步卫星正下方的地球表面上有一观察者，他用天文望远镜观察被太阳光照射的此卫星，试问，春分那天（太阳光直射赤道）在日落12小时内有多长时间该观察者看不见此卫星？已知地球半径为R，地球表面处的重力加速度为g,地球自转周期为T，不考虑大气对光的折射。

双星问题： （08宁夏卷）（15分）天文学家将相距较近、仅在彼此的引力作用下运行的两颗恒星称为双星。双星系统在银河系中很普遍。利用双星系统中两颗恒星的运动特征可推算出它们的总质量。已知某双星系统中两颗恒星围绕它们连线上的某一固定点分别做匀速圆周运动，周期均为T，两颗恒星之间的距离为r，试推算这个双星系统的总质量。（引力常量为G）

现代观测表明，由于引力作用，恒星有“聚集”的特点。众多的恒星组成不同层次的恒星系统，最简单的恒星系统是两颗互相绕转的双星，如图7－12所示，两星各以一定速率绕其连线上某一点匀速转动，这样才不至于因万有引力作用而吸引在一起。已知双星质量分别为m1、m2，它们间的距离始终为L，引力常量为G，求：

(1) 双星旋转的中心O到m1的距离； (2) 双星的转动周期。

（01北京、内蒙古、安徽卷） （12分）两个星球组成双星，它们在相互之间的万有引力作用下，绕连线上某点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两星中心距离为R，其运动周期为T，求两星的总质量。

（06天津卷）11（22分）神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律。天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX-3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成。两星视为质点，不考虑其它天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所示。引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期T。

（1）可见星A所受暗星B的引力FA可等效为位于O点处质量为m'的星体（视为质点）对它的引力，设A和B的质量分别为m1、m2，试求m'（用m1、m2表示）；

（2）求暗星B的质量m2与可见星A的速率v、运行周期T和质量m1之间的关系式； （3）恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量ms的2倍，它将有可能成为黑洞。

若可见星A的速率v=2.7⨯10m/s，运行周期T=4.7π⨯10s，质量m1=6ms，试通过估算来判断暗星B有可能是黑洞吗？

（G=6.67⨯10-11N⋅m2/kg2,ms=2.0⨯1030kg）

（1）设A、B的圆轨道半径分别为r1、r2，由题意知，A、B做匀速圆周运动的角速度相同，设其为ω。由牛顿运动定律，有

54

FA=m1ω2r1 FB=m2ω2r2 FA=FB

设A、B之间的距离为r，又r=r1+r2，由上述各式得

r=

m1+m2

r1 ① m2

3

m1m2m1m2

由万有引力定律，有FA=G，将①代入得FA=G

r2(m1+m2)2r123

m2m1m'

令FA=G2 比较可得m'= ② 2

r1(m1+m2)

m1m'v2

（2）由牛顿第二定律，有G2=m1 ③

r1r1

又可见星A的轨道半径r1=

vT

④ 2π

3m2v3T

由②③④式解得 ⑤ =2

2πG(m1+m2)

3

m2v3T

（3）将m1=6ms代入⑤式，得 =2

2πG(6ms+m2)3

m2

代入数据得=3.5ms ⑥ 2

(6ms+m2)

3m2n

=ms=3.5ms ⑦ 设m2=nms(n>0)，将其代入⑥式，得

6(6ms+m2)2

(+1)2n

3m2

可见，的值随n的增大而增大，试令n=2，得

(6ms+m2)2

n6

(+1)2n

ms=0.125ms

若使⑦式成立，则n必大于2，即暗星B的质量m2必大于2ms，由此得出结论：暗星B有可能是黑洞。

填补法： 如图所示，铅球A的半径为R，质量为M，另一质量为m的小球的球心距铅球球心的距离为d。若在铅球内挖去一半径为R/2的球形空腔，使空腔的表面与铅球的球面相切，则A、B之间的万有引力多大？

F=

⎡1⎤GMmMm/81

-G=GM- ⎢2222⎥d(d-R/2)2(2d-R)⎦⎣d

题1 如图7—11所示，半径为R=0.2m的两个均匀金属球，

质量均为M=160kg，两球心相距d=2m，内部挖出一个半径为R/2的球形空穴，空穴跟金属球相切。求挖出空穴后两球间万有引力的大小。

亮点 应用力的叠加原理求解空穴球体间的万有引力。

联想 求解此类空穴球体间的万有引力，常常会犯以下两种错误： 其一，误将两空穴球体重心间的距离当作万有引力公式

F=G

图7—11

m1m2

中的r进行计算； 2

r

其二，误认为F=F1+F2，而忽略了填空球与空腔球之间的万有引力。

2009年高考全国卷Ⅱ理综试卷第26题是一道难度较大的题。考试结束后，许多考生反映，解答此题时，不知道

该如何下手，处理起来很困难。为此，我们有必要讨论一下这类问题的解决方法。

实际上，只要我们深入钻研就会想到， 该题用“填补法”来解决，就很容易了。“填补法”就是将某物体“空缺”

的部分补回去，使之成为完整的均匀体，再根据所学知识，列方程求解。这种方法在物理解题中广泛应用，是解决物理问题的重要方法之一。下面我们就用这种方法来分析解答这道高考题。

（09年全国卷Ⅱ）26. (21分)如图，P、Q为某地区水平地面上的两点，在P点正下方一球形区域内储藏有石油，假定区域周围岩石均匀分布，密度为ρ；石油密度远小于ρ，可将上述球形

区域视为空腔。如果没有这一空腔，则该地区重力加速度（正常值）沿竖直方向；当存在空腔时，该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏离。重力加速度在原坚直方向（即PO方向）上的投影相对于正常值的偏离叫做“重力加速度反常”。为了探寻石油区域的位置和石油储量，常利用P点附近重力加速度反常现象。已知引力常数为G。

（1）设球形空腔体积为V，球心深度为d（远小于地球半径），PQ=x，求空腔所引起的Q点处的重力加速度反常

（2）若在水平地面上半径L的范围内发现：重力加速度反常值在δ与kδ（k>1）之间变化，且重力加速度反常的最大值出现在半为L的范围的中心,如果这种反常是由于地下存在某一球形空腔造成的，试求此球形空腔球心的深度和空腔的体积。

GρVdd=

223/2

答案：（1）(d+x)；（2）

Lk2/3

L2kδ

V=

Gρ(k2/3-1) -1,

2012年高考试题

1（2012海南卷）.2011年4月10日，我国成功发射第8颗北斗导航卫星，建成以后北斗导航卫星系统将包含多可地球同步卫星，这有助于减少我国对GPS导航系统的依赖，GPS

由运

行周期为12小时的卫星群组成，设北斗星的同步卫星和GPS导航的轨道半径分别为R1和

R2，向心加速度分别为a1和a2，则R1:R2=_____。a1:a2=_____（可用根式表示）

2（2012广东卷）.如图6所示，飞船从轨道1变轨至轨道2。若飞船在两轨道上都做匀速圆周运动，不考虑质量变化，相对于在轨道1上，飞船在轨道2上的 A.动能大 B.向心加速度大 C.运行周期长 D.角速度小

3（2012北京高考卷）．关于环绕地球卫星的运动，下列说法正确

的是

A．分别沿圆轨道和椭圆轨道运行的两颗卫星，不可能具有相同的周期 B．沿椭圆轨道运行的一颗卫星，在轨道不同位置可能具有相同的速率

C．在赤道上空运行的两颗地球同步卫星，它们的轨道半径有可能不同 D．沿不同轨道经过北京上空的两颗卫星，它们的轨道平面一定会重合

4（2012山东卷）.2011年11月3日，“神州八号”飞船与“天宫一号”目标飞行器成功实施了首次交会对接。任务完成后“天宫一号”经变轨升到更高的轨道，等待与“神州九号”交会对接。变轨前和变轨完成后“天宫一号”的运行轨道均可视为圆轨道，对应的

v1

轨道半径分别为R1、R2，线速度大小分别为v1、v2。则等于

v2

2

R2R2

C. 2D.

R1R1

5（2012福建卷）．一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为

v

假设宇

航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为

N

，已知引力常量为G,则这颗行星的质量为

2

A．

GN2C．

Gm

4

B.

GN

4

D.

Gm

6（2012四川卷）．今年4月30日，西昌卫星发射中心发射的中圆轨道卫星，其轨道半径为2.8×l07m。它与另一颗同质量的同步轨道卫星（轨道半径为4.2×l07m）相比 A．向心力较小 B．动能较大

C．发射速度都是第一宇宙速度 D．角速度较小

7．(2012全国新课标).假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体。一矿井深度为d。已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为

dd

B. 1+ RRR-d2R2

) D. () C. (RR-d

A.1-

8（2012浙江卷）．如图所示，在火星与木星轨道之间有一小行星带。假设该带中的小行星只受到太阳的引力，并绕太阳做匀速圆周运动。下列说法正确的是（ ）

A.太阳队各小行星的引力相同

B.各小行星绕太阳运动的周期均小于一年

C.小行星带内侧小行星的向心加速度值大于外侧小行星的向心加速度值 D.小行星带内个小行星圆周运动的线速度值大于地球公转的线速度值

9（2012天津卷）.一人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，加入该卫星变轨后仍做匀速圆周运动，动能减小为原来的

1

，不考虑卫星质量的变化，则变轨前后卫星的（ ） 4

A．向心加速度大小之比为4:1 B．角速度大小之比为2:1

C．周期之比为1:8 D．轨道半径之比为1:2

10．B．人造地球卫星做半径为r，线速度大小为v的匀速圆周运动。当其角速度变为原来2

_________，线速度大小为_________。 4

11（2012安徽卷）.我国发射的“天宫一号”和“神州八号”在对接前，“天宫一号”的运行轨道高度为350km,“神州八号”的运行轨道高度为343km.它们的运行轨道均视为圆周，则 ( )

A．“天宫一号”比“神州八号”速度大 B．“天宫一号”比“神州八号”周期长 C．“天宫一号”比“神州八号”角速度大 D．“天宫一号”比“神州八号”加速度大 12（2012江苏卷）．2011年8月，“嫦娥二号”成功进入了绕“日地拉格朗日点”的轨道，我国成为世界上第三个造访该点的国家，如图所示，该拉格朗日点位于太阳与地球连线的延长线上，一飞行器位于该点，在几乎不消耗燃料的情况下与地 球同步绕太阳做圆周运动，则此飞行器的 A．线速度大于地球的线速度

B．向心加速度大于地球的向心加速度 C．向心力仅由太阳的引力提供 D．向心力仅由地球的引力提供 13（2012重庆卷）．冥王星与其附近的星体卡戎可视为双星系统，质量比约为7：1，同时绕它们连线上某点O做匀速圆周运动。由此可知冥王星绕O点运动的

A． 轨道半径约为卡戎的1/7 B． 角速度大小约为卡戎的

1/7 的

C．

D． 线度大小约为卡戎的7倍 向心力小约为卡戎的7倍

14、(2012全国理综).（19分）一单摆在地面处的摆动周期与在某矿井底部摆动周期的比值为k。设地球的半径为R。假定地球的密度均匀。已知质量均匀分布的球壳对壳内物体的引力为零，求矿井的深度d。

2012年高考试题答案

1、解析：

2

3T1=2T2，由GMm4π2=m2R=maR2T-2得

：R=，a=GMR2因而

：a1⎛R1⎫R1⎛T1⎫= ⎪=

，= ⎪=a2⎝R2⎭R2⎝T2⎭

2、CD B B B B A C

mv2

9、解析：根据向心加速度表达式a=知在动能减小时势能增大，地球卫星的轨道半径R

v2Mm=G2化增大，则向心加速度之比大于4；根据万有引力和牛顿第二定律有mRR

简为Rv=GM，知在动能减小速度减小则轨道半径增大到原来的4倍；同理有2

2π2MmR3GMm()R=G2化简为2=，则周期的平方增大到8倍；根据角速度关TRT4π2

系式ω= 2π1，角速度减小为。答案C。 8T

10、2r，2， 11、B； 12、 AB 13A 2

14、【解析】单摆在地面处的摆动周期T=2πL，在某矿井底部摆动周期gT=2πTGMmGM'mL=mg，已知=k，根据，=mg'（M'表示某矿井底T'R2(R-d)2g'

部以下的地球的质量，g'表示某矿井底部处的重力加速度）以及

44M=ρ⋅πR3,M'=ρ⋅π(R-d)3，解得d=R-k2R 33