拉格朗日乘数法中方程组的解法

ValueEngineering・211・

拉格朗日乘数法中方程组的解法

TheSolutionsoftheEquationsinLagrangeMultiplierMethod

孔祥凤KongXiangfeng

(西安邮电学院理学院,西安710121)

(Xi'anInstituteofPostsandTelecommunicationsCollegeofScience,Xi'an710121,China)

摘要:拉格朗日乘数法依极值必要条件得到的方程组一般都是非线性的。本文主要介绍此类方程组的解法.

Abstract:Inthepaper,theskillsisintroducedhowtosolvethenonlinearsolutionsinhgrangemultipliermethod.

关键词:拉格朗日乘数法;条件极值;非线性方程组

Keywords:Lagrangemultipliermethod;conditionalextremevalue;nonlinearsolutions

中图分类号:G42文献标识码:A文章编号:1006--431l(2011)27-021l-ol

0引言因x>0,y>0,z>0,两式相除,得y=x。

利用拉格朗日乘数法求条件极值,依极值必要条件得到的方程同理,得y=z,从而,得x=y=z。再代入(4),得x--y=z=3a。

组一般都是非线性的。解法的难度和技巧较高,需视具体方程组的解法三:先解出入,把(4)代入(8)式,得入=3axyz

特征采用特殊的处理方法。下面举例说明常见的解题技巧和方法。再把入分别代入(1),(2),(3),得x=y=z=3a。

1拉格朗13乘数法中方程组的解法解法四:从目标函数的构成及约束条件看,三个变量x,Y,z呈例1求函数u=xy。在下列约束条件下的极值上+上+上鼍上现轮换对称性,因此必然有x---y=z,再代入(4),得x=y=z=3a

xYza例2抛物面z_--x2+y2被平面x+y+z=l截成一个椭圆,求坐标原

(x>O,y>O,z>O,a>Oo点与这个椭圆的最长与最短距离。

解:设L(x,y,z,X)=xyz+入(}+}+}一}).解:椭圆上的任一点M(x,Y,z)到原点的距离为d=、/≯再葺万I・=yz一争=o(1)于是问题就是求目标函数d=、/罩巧耳歹在约束条件Z_--x2+y2和

x+y+z=1下的极值。设L=x2+y2+z2+入(x2+y乙z)+“(x+y+z一1)

b磁一≥=0(2)k=2x+2xh+B--O(9)

令(10)

LI=xy一≥=0~=2y+2yk+8--O

(3)令{L,=2z-^,+13=0(11)

k:上+上+上一上=o(4)k=x+y-z--O【12)

‘xYza

下面仅就此方程组的解法进行讨论,不具体求极值。L。;x+y+z一1=0(13)

解法~:前三个方程都乘以相应缺少的变量,得(9)一(10),得(1+k)(x—Y)=o

册蔓:O(5)解之得入一1或x---y,代入(9),得13--o

X再把x一1和13=o代入(11),得z-一}

xvz一生:O二

(6)

Y由(12),知z≥O,故入=一l应舍去。

xyz一生=0(7)再把x=y代入(12),得z=2xz,

上+上+上一上卸(8)代入(13)。得2x2+2x—I--0解得x:i尝,

xYza

(5)+(6)+(7),得3xyz一入(}+丁1+})=o,则z:2f下-I±VT二

,2

、二,l=2千-V3-。

把(8)代入得,xyz=丢,即得两个驻点Mm-1±V-f.,二廷2:坚卫,2干、/丁)。

再分别把它们代入(5),(6),(7)得x=y=z=3a。故它们就是所求的最近点和最远点,故

解法二:把(1),(2)改写为yz.≥,xz=争,d=V9—5订,d。=V9+sv3-。

参考文献:

作者简介:孔祥凤(1975一),女,山东菏泽人,硕士,任职于西安邮电学院理学【l】华东师范大学数学系主编.‘数学分析>(下).北京.高等教育出版社,

院,讲师。2001.1t话一168.

到学生像一线教师的尊重程度,因此在和学生接触的时候极易产生施,从而提高机房计算机的利用率和完好率,使机房的管理和维护一些摩擦,就要求机房管理人员要换位思考,对学生要有耐心,在不进入良性循环,为提高计算机教学质量提供更好的硬件环境和软件伤害他们自尊、不用语言侮辱他们人格的前提下,用机房的规章制环境。

度约束他们,培养他们良好的上机习惯,教育他们懂得尊重他人的参考文献:

劳动、同时做到在公共场合诠释当代大学生的素质。为大家创造一【l】全国高校实验室工作研究会.实验教学与刨新能力【M】.南京:南京大个和谐的实验场所,使大家在机房里保持舒畅的心情进行上机实验。学出版社,2000,5.

总之,提高机房管理人员的自身素质将有助于提高计算机基础【2】何守才主编.计算机机房工作实用大全【M】.北京:清华大学出版社,教学和其他有关计算机课程的教学质量,对相关课程的教学改革将1.998,2.

起到积极地推进作用。作为机房管理人员只有不断学习、不断更新【3】程桂珠李悦璞主编.计算机房工程设计与施工【M1.jt京:人民邮电出

版社,1997,2.

知识、优化知识结构、提高自身的技术水平才能适应当今这个迅猛【4】瓮正科计算机维护技术[M】.北京清华大学出版社,1999,(5).发展的信息时代,同时还要强化服务意识、提高机房的管理水平。只【5】李美梅.微型计算机常见故障及维护【M】.北京:电子工业出版社。要我们认真总结和探索,就会发现很多提高机房人员素质的可行措199l。(9).

万方数据

拉格朗日乘数法中方程组的解法

作者:

作者单位:

刊名:

英文刊名:

年,卷(期):孔祥凤, Kong Xiangfeng西安邮电学院理学院,西安,710121价值工程Value Engineering2011,30(27)

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5. 戴晓娟. 张启敏. Dai Xiaojuan. Zhang Qimin 随机种群扩散系统最优边界控制的充分必要条件[期刊论文]-宁夏大学学报(自然科学版)2009,30(1)

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