矩阵多项式的平方根矩阵

第24卷第6期2008年12月

大　学　数　学

COLL EGE MA T H EMA TICS

Vol. 24, №. 6

Dec. 2008

梅(丽水学院　　[摘　要], 给出了矩阵多项式能开平方的充分必要条件及其平方根矩阵的个数[1].

; ;Jordan 块; Toeplitz 矩阵

[]O241. 6　　[文献标识码]A 　　[文章编号]167221454(2008) 0620120204

在数学的许多分支和系统理论方面的问题中, 都会遇到矩阵多项式. 文[2], [3]分别给出了对其特征值的计算及几种特殊分解的计算方法, 本文则对多项式矩阵的开平方问题进行了讨论, 包含并推广了文[1]中的主要结论.

定义1[4]　设P (t ) 是通常的纯量值多项式,

P (t ) =a m t +a m -1t

m

m -1

+…+a 1t +a 0,

其中a i ∈(i =0, m ) , 则定义

m m -1

P (A ) =a m A +a m -1A +…+a 1A +a 0I

(其中A ∈

n ×n

, I 为n 阶单位矩阵) 为相伴P (t ) 的矩阵多项式.

定义2　设Y 是一个n 阶复矩阵. 如果有一个n 阶复矩阵X , 使得X 2=Y , 则称矩阵X 是Y 的平方根矩阵, 此时称Y 能开平方.

不难验证:

定理1　如果矩阵A ∈阵, 且

P (A ) =S

) S (Λ

-1

n ×n

n

λλ可对角化, A =S ΛS -1, Λ=diag {λ1, 2, …, n }, 则P (A ) 有2个平方根矩

=S diag {

P (λ1) , P (λ2) , …, P (λn ) }S

-1

.

由于任一n 阶复矩阵A 不一定可对角化, 但一般来说它与一个Jordan 标准形相似, 这个Jordan 标准形除去其中Jordan 块的排列次序外, 被矩阵A 唯一确定.

定理2[4]　设A ∈

n ×n

, P (t ) 为定义1中给定的多项式, 并设A =SJ S

J n 1(λ1) J =

-1

, 其中

ω

J n s (λs )

是A 的Jordan 标准型, J n i (λi ) 是关于A 的特征值λi 的n i 阶Jordan 块, 则

P (J n 1(λ1) )

P (A ) =S

ω

P (J n s (λs ) )

S

-1

,

其中

　[收稿日期]2006209211

　[基金项目]浙江省教育厅2006年度科研计划项目(20061554) ; 丽水学院科研资金资助项目(KY06039)

第6期　　　　　　　　　　　　　　梅颖:矩阵多项式的平方根矩阵

P (λi )

121

(

n -1)

(λ(λ(λP ′P ″……(P i i ) i ) i ) 1! 2! n i -1) !

P (λi )

(λP ′ωi ) 1!

P (λi )

(n -2)

(λP i i )

(n i -2) !

P (J n i (λi ) ) =

ωωωω…(λP ″i ) 2! (λ′i 1i )

, 　i =1s.

简记P (J n i (λi ) ) 为P n i (i =1, s ) , 由定理() =S

ω

n s

S

-1

.

因此, Jordan 块矩阵多项式的开平方.

不难发现, P n i (i =1, s ) 是n i 阶的Toeplitz 型上三角矩阵. 对于Toeplitz 型上三角矩阵, 有

定理3　若Toeplitz 型上三角矩阵A 能开平方, 则仍为Toeplitz 型上三角矩阵.

证　由于Toeplitz 型上三角矩阵由矩阵的第一行元素完全决定, 简记n 阶Toeplitz 型上三角矩阵A 为{a 1, a 2, …, a n }.不失一般性, 设a i (i =1, n ) ≠0. 若B 2=A , 则有AB =BA , 即

a 1a 2a 3…a n -1a n b 1, 1b 1, 2b 1, 3……b 1, n

a 1a 2ω

a n -1

b 2, 1

b 2, 2b 3, 2

b 2, 3b 3, 3

……b 2, n ……b 3, n ………

……b n -1, n ……b n, n

a n a n -1

a 1ωωω

a 1

…

a 3a 2a 1

ω

b 3, 1

…

b n, 1

…

b n, 2

…

b n, 3

　　　　

b n -1, 1b n -1, 2b n -1, 3

b 1, 1b 2, 1b 3, 1

b 1, 2b 2, 2b 3, 2

b 1, 3b 2, 3b 3, 3

……b 1, n ……b 2, n ……b 3, n ……………b n -1, n ……b n, n

a 1a 2a 3…a n -1

a 1a 2ωa 1ω

=

ωω

a 1

…

a 3a 2a 1

…

b n, 1

…

b n, 2

…

b n, 3

ω

b n -1, 1b n -1, 2b n -1, 3

分别用R (A i ) , C (A i ) , i =1, n 来表示A 的第i 个行向量和第i 个列向量, 对B 的定义类似. 由R (A n -i ) ・C (B 1) =R (B n -i ) ・C (A 1) 与b n -b i , 1=0(i =2, n ) .

i +2, 1

=0, 依次得到b n -

i +1, 1

=0, i =1, n -1, 即

=0

由R (A n -i ) ・C (B 2) =R (B n -i ) ・C (A 2) 与b n -(i =1, n -2) , 即b i , 2=0(i =3, n ) .

i +1, 1

=0, b n -

i +2, 2

=0(i =1, n -1) , 依次得到b n -

i +1, 2

…………

由R (A n -1) ・C (B n -1) =R (B n -1) ・C (A n -1) 与b n -i +1, 1

=0, b n -

i +2, 2

=0, …, b n -

i +n -1, n -1

=0(i =1, n -1) , 得到b n, n -1=0. 综上, 有b i , j =0(i >j ) , 即B 是上三角矩阵.

下证B 为Toeplitz 矩阵

由R (A i ) ・C (B i +1) =R (B i ) ・C (A i +1) (i =1, n -1) , 得到b i , i =b i +1, i +1(i =1, n -1) , 即b 1, 1=b 2, 2

=…=b n, n .

由R (A i ) ・C (B i +2) =R (B i ) ・C (A i +2) (i =1, n -2) , 得到b i , i +1=b i +1, i +2(i =1, n -2) , 即b 1, 2=b 2, 3

=…=b n -1, n .

122大　学　数　学　　　　　　　　　　　　　　第24卷

…………

由R (A 1) ・C (B n ) =R (B 1) ・C (A n ) , 得到b 1, n -1=b 2, n . 即每一条平行于主对角线的线上元素彼此相等, B 为Toeplitz 矩阵, 从而证明了Toeplitz 型上三角矩阵若能开平方, 其平方根矩阵仍为Toeplitz 型上三角矩阵.

定理4　P n i 能开平方的充要条件是n i =1; 或当n i ≥2时, P n i =O ; 或当n i ≥2时, P (0, 且有i ) ≠(i ) 当n i =1时, P n i 的平方根矩阵恰有2个:±B , 这里B 2=P (λi ) . 特别, 当P (, P n i 只有一个平方根矩阵B =O ;

(ii ) 当n i ≥2时, 若P n i =O , 则P n i ; (iii ) 当n i ≥2时, 若P n i ≠O , 则P n i :±b 1, b 2, …, b n i },

(k -1)

(k =3, n i ) , c 2=P (λb 1=c , b 2=, …, b k =i ) .

() 2c 2-证　先证必要条件. n i P (λO 时, P n i 不能开平方即可. i ) =0, 且P n i ≠

()

由于P n i ≠O , P k (λ0(k =2, n i -1) 的情形可类似证明. 记P n i 为i ) ≠i ) ≠

(n -1)

(λ0, P P i , 假设P n i 能开平方, 则有Toeplitz 型上三角矩阵B , 记为i )

(n i -) ! 1!

2

(λ{b 1, b 2, …, b n i }, 使得B =P n i . 由R (B 1) ・C (B 1) =0, 得b 1=0. 又由R (B 1) ・C (B 2) =P ′i ) , 得出1!

(λλP ′O 时, P n i 不能开平方, 必要条件成立. i ) =0, 这与已知矛盾. 所以当P (i ) =0, 且P n i ≠

再证充分条件. 这只需证(1) , (2) , (3) 成立即可. (i ) , (ii ) 显然成立, 下证(iii ) 成立.

由于两个同阶的Toeplitz 型上三角矩阵的乘积仍然是Toeplitz 型上三角矩阵[5], 所以

22

B ={b 1, b 1b 2+b 2b 1, b 1b 3+b 2b 2+b 3b 1, …, b 1b n i +b 2b n i -1…+b n i b 1}

(n -1)

(λ(λ(λP ′P ″P i =P (λ=P n i . i ) , i ) , i ) , …, i )

(n i -1) ! 1! 2!

因此

22

(λ(λb 1=P (λP ′P ″i ) , 2b 1b 2=i ) , 2b 1b 3+b 2=i ) , …, b 1b n i +b 2b n i -1+…+b n i b 1

1! 2!

(n -1)

(λ=P i i ) .

(n i -1) !

顺次解出b 1=c (c 2=P (λ, …其递推公式为i ) , b 2=

2c

(k -1)

(k =3, n i ) , 因此(iii ) 成立. 当k ≥3时, b k =

2(k -1) !c

λλλλλ推论1　设J 是s 个Jordan 块J n 1(λ1) , J n 2(2) , …, J n s (s ) 的直和. 如果P (1) ・P (2) ・…・P (s )

≠0, 则P (J ) 可以开平方, 其平方根矩阵恰有2s 个.

证　由于P (J ) 的平方根矩阵B 与P (J ) 可交换, 从而有B =B n 1 B n 2 … B n s , 且B n i 与P n i 可交换

(i =1, n s ) . 再由B 2=P (J ) 知B 2n i =P n i (i =1, n s ) , 即B n i 是P n i 的平方根矩阵. 又由每个B n i 有2种取法, 因

此B 有2s 种取法, 即P (J ) 的平方根矩阵有2s 个. 类似于推论1, 有

λλλλ推论2　设J =J n 0(0) J n 1(λ0; 若n 0=1, 则P (J ) 1) … J n s (s ) . 如果P (1) ・P (2) …P (s ) ≠

可以开平方, 其平方根矩阵有2s 个; 若n 0≥2, 如果P (0) =0且P n 0≠0, 则P (J ) 不能开平方.

最后, 对于多项式矩阵P (A ) , 不难得到定理5　设n 阶复矩阵A 的Jordan 标准型为J , 不妨设A =SJ S -1, 则B 为P (J ) 的平方根矩阵的充要条件是SBS -1为P (A ) 的平方根矩阵.

特别, 只要取P (t ) =t , 即可得到文[1]中的主要结论. 例　设P (t ) =t 2+3t -1, λ=2, n =3, 则

971) ) =097. P (J n (λ

00

第6期　　　　　　　　　　　　　　梅颖:矩阵多项式的平方根矩阵由定理4, b 1=c =

(2)

2) =3, b 2=P (λ=, b 3==-, 所以

2c 62×2! ×c 216

123

3

) ) =P (J n (λ

630-

21663-. 6

,

00

同理, 当c =-) =-3时, P (λ

-3

) ) (J n (λ

-

00

-3

[参　考　文　献]

[1]　朱德高. 一个Jordan 块的平方根矩阵[J].数学物理学报,1999,19(3) :318-321. [2]　冯纯伯. 矩阵多项式特征值的计算[J].控制与决策,1999,14(6) :653-657. [3]　陶仁骥. 矩阵多项式的几种特殊分解[J].计算机学报. 1999,22(1) :1-10. [4]　陈景良, 陈向晖. 特殊矩阵[M ].北京:清华大学出版社,2001.

[5]　游兆永. 线性代数多项式的快速算法[M ].上海:上海科学技术出版社,1980.

On Square 2Rooting Matrices of Matrix Polynomial

M EI Yi ng

(College of Math. and Phys. , Lishui College , Lishui 323000, China )

Abstract :The sufficient and necessary condition for the existence of square 2rooting matrices of matrix polynomial is given , and the paper gives the number of square 2rooting matrices of matrix polynomial. At last , the major results in [1]are extended to the general case.

K ey w ords :matrix polynomial ; square 2rooting matrix ; Jordan block ; Toeplitz matrix