数学之十字交叉法

如果题目中给出两个平行的情况A, B, 满足条件a, b ; 然后A 和B 按照某种条件混合在一起形成的情况C, 满足条件c. 而且可以表示成如下的表达式. 那么这个时候就可以用十字交叉法.

判断式: A*a+B*b=(A+B)*c=C*c

用十字交叉法表示:

A a c-b

c A/B=(c-b)/(a-c).

B b a-c

我们常见利用十字交叉法的情形有: 溶液混合问题, 增长率问题, 收益率问题, 平均数问题等.

【例1】一杯含盐15％的盐水200克，要使盐水含盐20%，应加盐（ ）克。

A.14.5 B.10 C.12.5 D.15

【解析】假设加盐x 克, 15％的盐水200克, 100%的盐x 克, 混合成20%的200+x. 满足:

15%*200+100%*x=20%*(200+x),所以可以用十字交叉法.

200 15% 100%-20%

20% , 200/x= (100%-20%)/(20%-15%)=80/5

x 100% 20%-15%

解出x=12.5克.

【例2】一块试验田，以前这块地所种植的是普通水稻。现在将该试验田的1/3种上超级水稻，收割时发现该试验田水稻总产量是以前总产量的1.5倍。如果普通水稻的产量不变，则超级水稻的平均产量与普通水稻的平均产量之比是（ ）。

A. 5∶2 B. 4∶3 C. 3∶1 D. 2∶1

【解析】假设超级水稻的产量是x, 普通水稻的产量是1; 超级水稻是1/3, 普通水稻是2/3; 产量分别是x, 1; 那么混合就是1, 产量是1.5, 满足1/3*x+2/3*1=(1/3+2/3)*1.5, 所以可以利用十字交叉法.

1/3 x 1.5-1

1.5 , (1/3)/ (2/3)=(1.5-1)/(x-1.5). 解出x=2.5, 比是2.5:1=5:2.

2/3 1 x-1.5

【例3】在一次法律知识竞赛中，甲机关20人参加，平均80分，乙机关30人参加，平均70分，问两个机关参加竞赛的人总平均分是多少?

A ．76 B ．75 C．74 D ．73

【解析】假设总平均成绩是x, 满足20*80+30*70=(20+30)*x,所以可以用十字交叉法做.

20 80 x-70

x , 20/ 30=( x-70)/ 80-x). 解出x=74分.

30 70 80-x

【例4】某市现有人口70万, 如果5年后城镇人口增加4%, 农村人口增加5.4%, 则全市人口将增加4.8%, 那么这个市现有城镇人口多少万?

A.30万 B.31.2万 C.40万 D.41.6万

【解析】 假设现有城镇人口x 万, 农村人口70-x 万, 满足: 4%*x+5.4%*(70-x)=(x+70-x)*4.8%

所以可以用十字交叉法.

x 4% 5.4% -4.8%

4.8% , x/ (70-x)=( 5.4% -4.8%)/ (4.8%-4%). 解出x=30.

70-x 5.4% 4.8%-4%

练习

1. 一批商品，按期望获得50%的利润来定价，结果只销掉70%的商品，为了尽快把剩下的商品全部卖出，商店决定按定价打折扣出售，这样所获得的全部利润是原来期望利润的82%，则打了多少折出售？( )

A. 八折 B. 八五折 C. 九折 D. 九五折

2. 把浓度为20％、30％和50％的某溶液混合在一起，得到浓度为36％的溶液50升。已知浓度为30％的溶液用量是浓度为20％的溶液用量的2倍，浓度为30％的溶液的用量是多少升？( )

A.18 B.8 C.10 D.20

3. 某车间进行季度考核，整个车间平均分是85分，其中2／3的人得80分以上(含80分) ，他们的平均分是90分，则低于80分的人的平均分是多少? ( )

A ．68 B．70 C.75 D．78

4. 某工厂有A,B 两个车间,A 车间男占90%,B车间男占80%, A和B 车间男占82%, 问A,B 车间人数之比( )

A ．2:5 B．1:3 C.1:4 D．1:5

希望大家平时对十字交叉方法要加强联系, 要熟练这种方法. 而且经过做一定量的练习题之后要能够达到看到题目就能想到能否用十字交叉法来快速解决, 而不再需要借助判断式A*a+B*b=(A+B)*c来判断, 这样才能达到公务员考试的要求

原理介绍

通过一个例题来说明原理。

某班学生的平均成绩是80分，其中男生的平均成绩是75，女生的平均成绩是85。求该班男生和女生的比例。

方法一：搞笑（也是高效）的方法。男生一人，女生一人，总分160分，平均分80分。男生和女生的比例是1：1。

方法二：假设男生有A ，女生有B 。

（ A*75+B85）/（A+B）=80

整理后A=B，因此男生和女生的比例是1：1。

方法三：

男生：75 5

80

女生：85 5

男生：女生=1：1。

一个集合中的个体，只有2个不同的取值，部分个体取值为A ，剩余部分取值为B 。平均值为C 。求取值为A 的个体与取值为B 的个体的比例。假设A 有X ，B 有（1-X ）。

AX+B（1-X ）=C

X=（C-B ）/（A-B ）

1-X=（A-C ）/A-B

因此：X ：（1-X ）=（C-B ）：（A-C ）

上面的计算过程可以抽象为：

A C-B

C

B A-C

这就是所谓的十字相乘法。

十字相乘法使用时要注意几点：

第一点：用来解决两者之间的比例关系问题。

第二点：得出的比例关系是基数的比例关系。

第三点：总均值放中央，对角线上，大数减小数，结果放对角线上。

1．（2006年江苏省考）某体育训练中心，教练员中男占90％，运动员中男占80％，在教练员和运动员中男占82％，教练员与运动员人数

之比是

A ．2：5 B ．1：3 C ．1：4 D ．1：5

答案：C

分析：

男教练： 90% 2%

82%

男运动员：80% 8%

男教练：男运动员=2%：8%=1：4

2. （2006年江苏省考）某公司职员25人，每季度共发放劳保费用15000元，已知每个男职必每季度发580元， 每个女职员比每个男职员每季度多发50元，该公司男女职员之比是多少

A ．2∶1 B ．3∶2 C. 2∶3 D ．1∶2

答案：B

分析：职工平均工资15000/25=600

男职工工资 ：580 30

600

女职工工资：630 20

男职工：女职工=30：20=3：2

3． （2005年国考）某城市现在有70万人口，如果5年后城镇人口增加4%，农村人口增加5.4%，则全市人口将增加4.8%。现在城镇人口有（ ）万。

A30 B 31.2 C 40 D41.6

答案A

分析：城镇人口：4% 0.6%

4.8%

农村人口：5.4% 0.8%

城镇人口：农村人口=0.6%；0.8%=3：4

70*（3/7）=30

4. （2006年国考）某市居民生活用电每月标准用电价格为每度0.50元，若每月用电超过规定的标准用电，超标部分按照基本价格的80%收费。某用户九月份用电84度，共交电费39.6元，则该市每月标准用电为（ ）度。

A 60 B 65 C 70 D 75

5．（2007年国考） 某班男生比女生人数多80%，一次考试后，全班平均成级为75 分，而女生的平均分比男生的平均分高20% ，则此班女生的平均分是：

A ．84 分 B . 85 分 C . 86 分 D . 87 分

答案：A

分析： 假设女生的平均成绩为X ，男生的平均Y 。男生与女生的比例是9：5。

男生：Y 9

75

女生：X 5

根据十字相乘法原理可以知道

X=84

6. （2007年国考）．某高校2006 年度毕业学生7650 名，比上年度增长2 % . 其中本科毕业生比上年度减少2 % . 而研究生毕业数量比上年度增加10 % , 那么，这所高校今年毕业的本科生有：

A ．3920 人 B ．4410 人 C ．4900人 D ．5490 人

答案：C

分析：去年毕业生一共7500人。7650/（1+2%）=7500人。

本科生：-2% 8%

2%

研究生：10% 4%

本科生：研究生=8%：4%=2：1。

7500*（2/3）=5000

5000*0.98=4900

7 资料分析：

根据所给文字资料回答121-125题。

2006年5月份北京市消费品市场较为活跃，实现社会消费品零售额272.2亿元，创今年历史第二高。据统计，1-5月份全市累计实现社会消费品零售额1312.7亿元，比去年同期增长12.5％。

汽车销售继续支撑北京消费品市场的繁荣。5月份，全市机动车类销售量为5.4万辆，同比增长23.9％。据对限额以上批发零售贸易企业统计，汽车类商品当月实现零售额32.3亿元， 占限额以上批发零售贸易企业零售额比重的20.3％。

据对限额以上批发零售贸易企业统计，5月份，家具类、建筑及装潢材料类销售延续了4月份的高幅增长，持续旺销，零售额同比增长了50％。其中，家具类商品零售额同比增长27.3％，建筑及装潢材料类商品零售额同比增长60.8％。同时由于季节变换和节日商家促销的共同作用，家电销售大幅增长，限额以上批发零售贸易企业家用电器和音像器材类商品零售额同比增长13.6％。

121．北京市2006年5月份限额以上批发零售贸易企业社会消费品零售额占社会消费品零售总额的百分比约为：

A ．50.5％ B ．58.5％ C ．66.5％ D ．74.5％

答案:B

分析:（32.3/20.3%）/272.2。结果和160/270相当。接近60%。所以选B 。

122．若保持同比增长不变，预计北京市2007年前5个月平均每月的社会消费品零售额：

A ．将接近255亿元 B ．将接近280亿元

C ．将接近300亿元 D ．将突破300亿元

答案:C

分析: （1312.5/5）*（1+12.5%）。12.5%=1/8。（1312.5*9）/40接近300。

123．2006年5月份，限额以上批发零售贸易企业中，家具类商品零售额占家具类和建筑及装潢材料类商品零售额的比例是：

A ．27.4％ B ．29.9％ C ．32.2％ D ．34.6％

答案:A

分析:两种方法。

法一：比较常规的做法假设2005年家具类所占比例为X 。

X*（1+27.3%）+（1-X ）*（1+60.8%）=1+50%

X=32.2%。

[32.2%*（1+27.3%）]/ [32.2%*（1+27.3%）+（1-32.2%）*（1+60.8%0）]=27.4%

整个过程计算下来，至少5分钟。

法二： 十字相乘法原理. 最快.

家具 27.3%，近似为27%；

建筑60.8%，近似为61%。

家具： 27% 11%

50%

建筑： 61% 23%

家具：建筑=11%：23% 大约等于1：2。

注意这是2006年4月份的比例。

建筑类2006年所占比例为：1*（1+27.3%）/[1*（1+27.3%）+2*（1+60.8%）=1.27/（1.27+3.2）=1.27/4.5=28%。和A 最接近。 124．下列说法正确的是：

I ．2006年1-5月份北京市每月平均社会消费品零售额比去年同期增长12．5％

Ⅱ．2006年5月份家具类、建筑及装潢材料类、家电类限额以上批发零售贸易企业零售额的增长率相比较，建筑及装潢材料类增长最快 Ⅲ．2005年，北京市机动车类销售量约为4.36万辆

A ．仅Ⅰ B ．仅Ⅱ C ．Ⅰ和Ⅱ D ．Ⅱ和Ⅲ

答案:C

分析: 1-5月份全市累计实现社会消费品零售额1312.7亿元，比去年同期增长12.5％。说的是累计增长。因此Ⅰ错。Ⅱ正确，文中直接找答案。5.4/（1+23.9%）约等于4.36。

125．下列说法肯定正确的是：

A ．2006年前5个月中，5月份的社会消费品零售额最高

B ．2006年5月，几类商品的零售额都比前4个月高

C ．2006年5月，限额以上批发零售贸易企业零售额比前4个月都高

D ．至少存在一类商品，其2006年前5个月的零售额同比增长不高于12.5％

答案:D

分析: 1-5月份全市累计实现社会消费品零售额1312.7亿元，比去年同期增长12.5％，而5月份各类零售增长率都超过了12.5%。因此可以肯定，至少存在一类商品，其2006年前5个月的零售额同比增长不高于12.5％。