浙教版八年级数学下册4.4反证法答案导学案

4.4 反证法

【学习目标】

1、了解反证法的含义.

2、了解反证法的基本步骤.

3、会利用反证法证明简单命题.

4、了解定理“在同一平面内,如果一条直线和两条平行直线中的一条相交,那么和另一条也相交”“在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行”.

【学习内容】书本P86—P87

【学习过程】

一、复习导入

1.“a

A.a≠b B.a>b C.a=b D.a=b或a>b

二、知识梳理:

2.反证法的概念:

在证明一个命题时,有时先假设 不成立,从这样的假设出发,经过 得出和已知 矛盾,者与 , , 等矛盾,从而得出假设 不成立是错误的,即所求证的命题 . 种证明方法叫做反证法.

3.有关定理.

在 内,如果一条直线与两条 直线中的一条相交,那么和另一条也相交.

在 内,如果两条直线都和第三条直线 ,那么这两条直线也互相 .

三、应用新知

★老师提醒1:用反证法证明命题的一般步骤:一反设(否定结论);二归缪(利用已知条件和反设,已学过的公理、定理、定义、法则进行推理,得出与已学过的公理、定理、或与已知条件、或与假设矛盾);三写出结论(肯定原命题成立).

4.用反证法证明:两条直线被第三条直线所截,如果同位角不相等,则这两条直线不平行. 已知:如图,直线a,b被直线c所截,∠1≠∠2.

求证:直线a不平行于直线b.

证明:假设 ,

那么∠1=∠2( )..

这与 矛盾.

∴假设 不成立.

∴直线a不平行于直线b.

答案:a∥b 两直线平行,同位角相等 ∠1≠∠2 a∥b

5. 在证明“在△ABC中至多有一个直角或钝角”时,第一步应假设„„„„„„„„„( )

A.三角形中至少有一个直角或钝角 B.三角形中至少有两个直角或钝角

C.三角形中没有直角或钝角 D

.三角形中三个角都是直角或钝角

答案:B

6.完成下列证明:

如图,在△ABC中,若∠C是直角,那么∠B一定是锐角.

1

证明:假设结论不成立,则∠是______或______.

当∠B是____时,则________ _,这与_____ ___矛盾;

当∠B是____时,则______ ___,这与_______ _矛盾.

综上所述,假设不成立.

∴∠B一定是锐角.

答案:直角 钝角 直角 ∠B+∠C=180° 三角形的三个内角和等于180° 钝

角 ∠B+∠C>180° 三角形的三个内角和等于180°

★老师提醒2:应用反证法证题时,首先要正确分清命题的题设和结论,正确全

面地否定结论. 如果结论的反面不止一种情形,那么必须把各种可能性都列出来,并且逐一加以否定之后,才能肯定原结论正确.

7.求证:在同一平面内,如果一条直线和两条平行直线中的一条相交,那么和另一条也相交.

已知: 直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1∥l2,l3与l1相交于点P.

求证: l3与l2相交.

证明: 假设____________,即_________.

∵_________(已知),

∴过直线l2外一点P有两条直线和l2平行,

这与“_______________________ _____________”矛盾.

∴假设不成立,即求证的命题正确.

∴l3与l2相交.

★老师提醒3:证明两直线相交的又一判定方法.

8.求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行.

★老师提醒4:当正面证明比较繁杂或较难证明时,用反证法证明是一种证明的思路,本题的结论是判定两直线平行的又一判定定理.

四、回顾小结

这一节课有什么收获?

五、能力提升

9. 不论x为何实数,在直角坐标系中,点(x,x3)不可能在„„„„„„„„„„„( )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

解析:∵x>x-3,∴x0不可能成立,即点(x,x-3)不可能在第二象限.

答案:B

10.对于同一平面内的三条直线a,b,c,给出下列五个论断:①a∥b;②b∥c;③a⊥b

;④a∥c; ⑤a⊥c. 以其中两个论断作为条件,一个作为结论,组成一个你认为正确的命题________. 解析:成立的命题有:①②→④;①④→②;②④→①;②③→⑤;②⑤→③;③⑤→②. 2

答案:如条件①②,结论④.

11.如图,APC4,PCD,BAP60 ,AB∥CD,则的度数

是 .

解析:过P作AB的平行线,可证得∠APC=∠A+∠C.

答案:15°

12.用反证法证明:连结直线外一点和直线上所有各点的线段中垂线段最

短.

已知:如图,P为直线AB外一点,PC⊥AB于C,PD和AB不垂直.

求证:PC

证明:假设PC≥PD.

(1)当PC=PD时,那么∠PCD=∠PDC=90°,即PD⊥AB,这与PD和AB不

垂直矛盾. ∴PC≠PD.

(2)当PC>PD时,那么∠PDC>∠PCD. 而∠PCD=90°,这与三角形三个内

角和等于180°矛盾.

∴PC

3 PDCB


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