基于伊藤引理的股指期货跨期套利策略

基于伊藤引理的股指期货跨期套利策略

——股指期货专题系列报告之三

Table_Summary 罗军 金融工程 分析师 胡海涛 金融工程 分析师

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SAC执业证书编号：S[1**********]01 SAC执业证书编号：S[1**********]19

基于伊藤引理的跨期价差拐点理论

著名数学家Kiyosi Ito于1951年提出的伊藤引理（Ito`s Lemma）是股票价格的行为模式研究中的一个重要的结论。本文假设沪深300股指期货的价格满足Ito过程，推导得到跨期价差出现拐点的必要条件：

1F12F20。

跨期套利策略：移动均值回归策略

自2010年4月16日上市以来至2010年11月19日，跨期价差具有趋势延续性强与窄幅震荡的两大特点。基于此我们设计了跨期套利策略：移动均值回归策略。移动均值回归策略利用移动均值模型追随跨期价差的趋势，然后用移动均值上下a倍标准差内区间作为跨期价差的合理震荡区间。当跨期价差突破上述区间时，进行开仓套利；当跨期价差回归到移动均值时，平仓结束套利。

改进的移动均值回归策略：伊藤择时策略

基于跨期价差拐点的必要条件，我们改进了移动均值回归策略，提出了伊藤择时策略，增强了跨期套利的开仓时点选择能力。在移动均值回归策略开仓条件的基础上，伊藤择时策略还要求满足条件1F12F20，以期捕捉到更加有利的开仓时点。

移动均值回归策略与伊藤择时策略的套利效果显著

在5分钟频的数据上，上述两个策略分别获得了36%、19%的总收益率，而在1分钟频的数据上，更是分别达到了157%、117%的高额收益率。且策略的胜率超过了80%，最大回撤也不足3%，总资产的增长非常稳健。相对而言，移动均值回归策略具有更强的获利能力，而伊藤择时策略则明显地改善了策略的风险控制能力，提高了稳健性。我们认为在1倍以上的收益率背景下，伊藤择时策略的稳健性更弥足珍贵。

跨期套利策略中的参数稳定性良好

移动均值策略与伊藤择时策略还具有一个优势：参数稳定。我们计算了多种参数组合下的跨期套利收益，发现跨期套利的收益率在不同参数组合中呈渐进式的分布，结构都较为稳健，没有出现明显的异常点。而M=60、a=1、N=270、K=20、E=0.05为一个较优的参数组合。

.

目录索引

一、基于伊藤引理的拐点理论..............................................................3

（一）伊藤引理简介..............................................................................................3 （二）基于伊藤引理的跨期价差拐点理论.............................................................4

二、跨期价差的波动特征.....................................................................6

（一）跨期价差的走势延续性强............................................................................6 （二）跨期价差收益率序列的统计特征.................................................................7

三、基于伊藤引理的跨期套利策略.......................................................8

（一）移动均值回归策略.......................................................................................8 （二）基于伊藤引理的跨期套利策略...................................................................10

四、实证分析.....................................................................................12

（一）跨期套利策略在5分钟频数据中的表现....................................................12 （二）跨期套利策略在1分钟频数据中的表现....................................................14 （三）参数优化与稳定性分析..............................................................................16

五、总结............................................................................................17

图表索引

图 1：极值点的示意图....................................................................................................5 图 2：跨期价差的日间走势图（2010-4-16~2010-11-19）..........................................6 图 3：跨期价差（5分钟）的走势图（2010-4-16~2010-11-19）................................7 图 4：跨期价差的收益率序列变动图............................................................................7 图 5：跨期价差的收益率序列分布图............................................................................8 图 6：跨期价差与移动均值走势图................................................................................8 图 7：跨期价差的合理震荡区间示意图........................................................................9 图 8：移动均值回归策略的总资产走势图（5分钟）...............................................13 图 9：伊藤择时策略的总资产走势图（5分钟）.......................................................13 图 10：跨期价差的收益率序列分布图（1分钟）.....................................................14 图 11：移动均值回归策略的总资产走势图（1分钟）.............................................15 图 12：伊藤择时策略的总资产走势图（1分钟）.....................................................15 图 13：不同参数组合下伊藤择时策略收益率分布图（M，a）...............................16 图 14：不同参数组合下伊藤择时策略收益率分布图（N，K）..............................17

表 1：移动均值回归策略与伊藤择时策略的总体表现..............................................12 表 2：移动均值回归策略与伊藤择时策略的总体表现（1分钟）...........................14

一、基于伊藤引理的拐点理论

（一）伊藤引理简介

在期权的定价理论中，认为期权的价格是标的价格与时间的函数。更一般地，我们可以认为任意衍生品的价格均是其标的价格与时间的函数。关于股票价格的行为模式研究中，其中一个重要的结论是Kiyosi Ito于1951年提出的伊藤引理（Ito`s Lemma）。

假设价格变量x满足Ito过程

dxa(x,t)dtb(x,t)dz （1.1）

其中dz为维纳过程，a和b均为x和t的函数。易见，变量x具有斜率a和波动率b。

2

Ito`s Lemma：如果变量x满足（1.1）式，则x和t的函数G满足如下过程：

GG12G2GdG(ab)dtbdz （1.2） 2

xt2xx

上式中的dz为（1.1）式中一样的维纳过程。

GG12G2G22

可见，G同样遵循斜率为ab和波动率为(b的Ito过程。 2

xt2xx

下面我们讨论股票期货的价格模型。由（1.1）式，设股票的价格S满足

dSSdtSdz （1.3）

其中和都是常数。那么根据Ito`s Lemma，S和t的函数G满足如下过程

GG12G22G

dG(SS)dtSdz （1.4） 2

St2SS

根据持有成本理论，设无风险利率为r，则上述股票剩余期限为T-t的股票期货价格G为

GSer(Tt)

对上式分别求一阶和二阶导数有

2

GGr(Tt)Ge,20,rSer(Tt) SSt

代入（1.4）式，并用GSer(Tt)替代可得

dG(r)GdtGdz

显然G亦可以写成（1.3）式的格式

dGdG'Gdt'Gdz

'

其中、均为常数。因为dGdG，则由上式与（1.4）式，我们可以推出：

'

GG12G22

GSS （1.5）

St2S2

'

'G

G

S （1.6） S

（二）基于伊藤引理的跨期价差拐点理论

利用上文的伊藤引理及相关的推论（1.5）、（1.6）式，我们可以对沪深300股指期货合约间的跨期价差进行分析，以期寻找到跨期价差触底反弹的低点或冲高回落的高点等价差走势的拐点，从而为我们的跨期套利提供有利条件。

我们引进如下符号：S：沪深300现货指数的价格，F1、F2分别表示沪深300股指期货不同月份合约的价格，则合约间的跨期价差Spread为

SpreadF1F2

由上文的分析可知，两个期货合约的价格可以分别写成

dF11F1dt1F1dz dF22F2dt2F2dz

对于函数Spread，其存在极值的必要条件是：

SpreadF1F2

0 SSS

根据（1.6）式，上式又可以写成

1F12F20，即1F12F20 SS

而要判断函数是否存在极大值或极小值，还需要进一步计算函数的二阶偏导数的符

号。类似地，我们对一阶偏导数再求导可得：

2Spread2F12F2



S2S2S2

F1F

()(2SSSSFF()()SSSS

1

22[1F1(1)2F2(2)]S11

221F1(12)222F2(12)SS

2Spread

由于期货的价格F及标准差均大于0，因此当12时，0，价差

S2

2Spread

Spread在1F12F20处达到极小；当12时，0，价差Spread在2

S

1F12F20处达到极大。

综上所述，我们可以推出如下定理。 定理 1 设价格F1、F2分别遵循Ito过程：

dF11F1dt1F1dz，dF22F2dt2F2dz

且1、2均为常数。那么当1F12F20时，有

（1）若12，则跨期价差Spread在（F10、F20）达到极小； （2）若12，则跨期价差Spread在（F10、F20）达到极大。 图 1：极值点的示意图 [**************]60

数据来源：广发证券研发中心

按照上述定理，当跨期价差Spread满足定理1中的条件时，该点必然为跨期价差的局部极值点，如图1中的A、B、C、D点。但极值点并不等同于最值点。以图一为例，A、B、C、D点均为区间内的极值点，但B、C点明显不是区间的最大值或最小值。而对于跨期套利而言，最理想的操作是在低点（A点）做多价差，在高点（D点）做空价差，而B、C点均不是很好的跨期套利时点。显然，我们无法直接使用定理1中的拐点来进行跨期套利。但最大值、最小值点必然满足1F102F200，我们仅需要在众多的局部极值点中挑选出全局的最大、最小值点，进而设计相关的跨期套利策略。

为了寻找到合适的跨期套利策略，我们下面首先分析自沪深300股指期货合约2010年4月16日上市以来至11月19日的近月合约与当月合约的跨期价差的波动特征。本文的跨期价差皆为近月合约价格减当月合约价格所得。

二、跨期价差的波动特征

（一）跨期价差的走势延续性强

我们首先来观察一下跨期价差的总体走势图。这里我们主要研究次月合约与当月合约的跨期价差走势，时间区间为2010年4月16日至2010年11月19日。下表为日频数据，即由近月合约的日收盘价减当月合约的日收盘价。

图 2：跨期价差的日间走势图（2010-4-16~2010-11-19）

Spread

[***********]

16-Apr

30-Apr

14-May

28-May

11-Jun

25-Jun

23-Jul

20-Aug

17-Sep

15-Oct

29-Oct

12-Nov

9-Jul

6-Aug

3-Sep

1-Oct

数据来源：广发证券发展研究中心

跨期价差的走势延续性强。从上图的总体走势来看，跨期价差相对较为平稳，走势延续性较强，不会出现期货价格频繁上下震荡的特点。跨期价差由涨转跌、或止跌反弹的趋势转变过程，往往不会迅速完成，而是逐步、慢慢反转；且趋势确立以后，持续的时间较长。跨期价差的此种趋势延续性给跨期套利提供了极大的便利。

跨期价差走势与期货价格走势存在一定的相关性。在跨期价差的趋势方面，在4月16日上市后，期货价格迎来一波大幅下跌，相应地跨期价差也冲高回落，逐步走低；而随着期货价格陷入震荡泥潭，跨期基差也呈窄幅震荡的格局；而当期货价格出现反弹，逐步走高后，跨期价差也相应地“步步高升”，显示跨期价差的走势与期货价格的走势存在一定的关系。

交割日的跨期价差波动加大。从图中可见，数个异常的跨期价差点均对应期货合约的交割日，说明交割日两个合约的收盘价相减得到的跨期价差出现了异常波动。究其原因，这是由股指期货合约的交割机制决定的。股指期货合约在交割日的15:00后进入交割，这导致交割合约比非交割合约提前收盘；其次，股指期货合约的交割价为沪深300现货指数交割日最后两小时的算术平均价。这导致交割合约一旦进入下午后便主要围绕着预测的交割价波动，而非交割月合约的价格依然跟随沪深300现指的价格波动，在行情变化较大的交易日，两个价格的分离很容易导致跨期价差的异常波动。基于上述考虑，下文我们观察的跨期价差5分钟频走势图，特别地剔除了交割日下午的交易数据，时间区间同样是2010年4月16日至2010年11月19日（如图3所示）。

从5分钟频的跨期价差走势图上看，整体的波动特征与日频数据较为相似。在剔除交割日下午的数据后，跨期价差的走势更加平滑，相邻价差间的波动幅度极小。且从直观上观察，跨期价差短期内的窄幅震荡较为频繁。为此，我们需要进一步分析跨期价差收益率的统计特征。

图 3：跨期价差（5分钟）的走势图（2010-4-16~2010-11-19）

Spread

[1**********]020

-20

数据来源：广发证券发展研究中心

（二）跨期价差收益率序列的统计特征

下文我们对次月合约与当月合约跨期价差的5分钟频收盘价的收益率序列进行了简单的统计分析。时间区间同样为2010年4月16日至2010年11月19日。

图 4：跨期价差的收益率序列变动图

数据来源：广发证券发展研究中心

跨期价差的波动具有显著特征——窄幅震荡。图4、图5分别为收益率序列的变动图和分布图。从图上易见，绝大部分的数据集中在0点附近，说明相邻跨期价差的波动幅度较小。统计的均值为0.2%，中位数为0。且从图4可见，收益率并没有偏重于0线的上方或下方，显示跨期价差的波动是无序的，涨跌交替。且不说7、8、9月份的期货价格的震荡区间时，跨期基差窄幅震荡的特点特别显著。就期货价格与跨期价差趋势性比较明显的4、5月份与10月份，就日内的波动而言，跨期价差也是以震荡为主。总体而言，跨期价差一定区间内的走势以窄幅震荡为主，趋势性性并不明显。

结合跨期价差的趋势延续性强与窄幅震荡兼有的特点，我们设计了以移动均值回归模型为核心、拐点理论为辅助的跨期套利策略。

图 5：跨期价差的收益率序列分布图

数据来源：广发证券发展研究中心

三、基于伊藤引理的跨期套利策略

在文章的第一节，我们就利用伊藤引理推导了跨期基差的拐点理论。该理论虽然无法直接应用，但可以有效地帮助我们选择套利的开仓时点。我们首先介绍基于跨期价差趋势延续与窄幅震荡的特点设计的移动均值回归策略，然后再引入拐点理论，结合移动均值回归策略，改进我们的跨期套利策略。

（一）移动均值回归策略

按照上文的分析，跨期价差的趋势延续性强，我们首先需要跟踪跨期价差的趋势。而简单的移动均值模型便是一个较佳的选择。设跨期价差为S，则周期为M的移动均值

1

为：MA(S,M)

M

图 6：跨期价差与移动均值走势图

[**************]1

201

401

601

jiM1



i

Sj，其中i为当前K线。我们发现移动均值与跨期价差的拟

合程度较高，如图6所示：

8011001Spread

1201

MA

[**************]1

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若仅利用跨期价差的趋势延续性强的特征设计跨期套利策略，追求跨期价差的趋势性收益，难度偏高，效果一般。我们上文已经分析，跨期价差的趋势本身与期货价格的走势存在关联，这需要我们对期货价格的走势有较高的把握能力，显然与我们实施跨期套利的初衷相悖。因此，我们还需要充分利用跨期价差窄幅震荡的特点。

由于跨期价差一定时间内以窄幅震荡为主，则主要的震荡区间我们可设为合理震荡区间，当跨期价差超过此合理区间时，则存在套利机会。因此，我们可以高抛低吸，逢高做空跨期基差，逢低做多跨期价差进行跨期套利。该处的关键点为：何处为高，何处为低？从图6可见，移动均值模型已经较好地拟合了跨期价差的走势，我们仅需要将跨期价差在移动均值上下的合理震荡区间勾廓出来。显然，跨期价差的标准差为一个理想的选择。

如图7所示，我们以移动均值MA为轴、MA+STD和MA-STD为上下边界的区间很好地包容了跨期价差。当跨期价差跌穿下界时，我们可以做多价差套利（如图中A点）；当跨期价差突破上界时，我们可以做空价差套利（如图中B点）。

图 7：跨期价差的合理震荡区间示意图

[**************]01

51

101

151

201

[1**********]1

451

501

551

601

数据来源：广发证券发展研究中心

综上所述，我们可以得到如下的跨期套利策略——移动均值回归策略：

首先选定周期M，分别计算最近M个周期的跨期价差的均值与标注差，即

MA(Spread,M)、STD(Spread,M)。那么，

⑴ 当价差Spreada突破合理震荡区间上界时，卖出次月合约买入当月合约做空价差，开仓实施跨期套利；

⑵ 当价差Spread回归合理震荡区间时，买入次月合约卖出当月合约平仓，套利结束。

⑶ 当价差Spreada跌穿合理震荡区间下界时，买入次月合约卖出当月合约做多价差，开仓实施跨期套利；

⑷当价差Spread回归合理震荡区间时，卖出次月合约买入当月合约平仓，套利结束。

其中a为常数。a大于1时，上下界大于标准差的幅度；a小于1时，上下界小于标准差的幅度。一般来说，a越大，开仓的条件越苛刻，套利的信号越少；反之，则开仓条件较为宽松，套利信号频密。

（二）基于伊藤引理的跨期套利策略

上述的移动均值回归策略很好地抓取了跨期价差延续性强与窄幅震荡的特点，可以获得不错的收益。但其最大的弱点在于开仓时点的把握。在跨期价差超出上下界后，往往不会立刻回归，这时就需要我们选择最佳的开仓时点。甚至在某些时点上，跨期价差突破合理震荡区间后反而预示着新趋势的确立。以图7中的C点为例，按照移动均值回归策略，当跨期价差在C点突破上界后，应该立刻做空价差套利；而价差后期并没有迅速回归合理区间，而是选择了大幅上涨，这必然导致较大的损失。反之，当移动均值策略在C点发出卖空信号后，若能辅之择时条件，推迟到D点再开仓卖空，则反能获取很好的收益。基于上述考虑，我们把第一节介绍的拐点理论引进我们的移动均值回归策略，冀望能达到更好的效果。

若直接利用定理1的结论，在跨期价差极小值点处做多跨期价差套利同时平掉做空价差的套利头寸，在跨期价差极大点处做空价差套利同时平掉做多价差的套利头寸，效果较差。我们按照上述的策略，在2010年4月16日至11月19日的5分钟频跨期价差上进行了实证分析。最后发现在上述跨期套利策略下总亏损了7.8%，且胜率仅有39%，表现较差。

究其原因，这主要是因为跨期价差的走势并不是处处连续的，上下波动较大，从而存在较多的极值点。以图1为例，A、B、C、D点均为极值点，但B、C点显然不是很好的跨期套利开、平仓时点。因此，我们还需要寻找更好的策略。

为了对条件1F102F200进行更深入的了解，我们有必要研究所代表的现实意义。再次回到Ito’s Lemma，我们定义

GlnF

G12G1G

F满足（1.3）式的Ito过程，则有,22,0，代入（1.4）式得

SFSFt

2

dG(dtdz

2

2

因为、为常数，所以GlnF满足广义维纳过程，其具有斜率(和波动率

22

。那么lnF在0时间到T时间的差变量满足均值为()T和方差为2T的正态分

2

2

布，即

2

lnFTlnF0[()T,

2

若设C{r1,r2,,rN}（rilnFilnFi1ln(Fi/Fi1)）为时间间隔为T的F价格

收益率序列，则C的标准差估计值为

ˆ

1N

r

ii1

N

从而

的估计值有

*ˆ/

观察上式可知，实际上为价格序列F一定周期T的收益率序列的标准差，则F表示的是期货价格的变动点位，即期货价格的波动幅度。当1F12F20时，说明合约

F1的波动幅度大于合约F2。如果波动方向向上，则合约F1相对强于合约F2；如果波动

方向向下，则合约F1相对弱于合约F2。反之亦是。因此，实质上1F12F2是两个期货合约强弱程度的比较。当1F12F20时，两个合约的强弱渐趋平衡，对应地，合约间的价差有可能出现拐点，这就是前面讨论的极值点。

因此，我们可以选择一个充分小的值E，当1F12F2E时，我们认为两个期货合约强弱相当，合约间的跨期价差面临拐点。配合移动均值回归策略，当开仓信号发出以后，若条件1F12F2E不满足，则继续观望，直到条件满足。这相当于给移动均值回归模型添加了开仓择时条件，故我们简称以下的基于伊藤引理的跨期套利策略

为伊藤择时策略。

基于伊藤引理的跨期套利策略：

⑴ 当价差Spreada突破合理震荡区间上界且1F12F2E时，卖出次月合约买入当月合约做空价差，开仓实施跨期套利；

⑵ 当价差Spread回归合理震荡区间时，买入次月合约卖出当月合约平仓，套利结束。

⑶ 当价差Spreada跌穿合理震荡区间下界1F12F2E时，买入次月合约卖出当月合约做多价差，开仓实施跨期套利；

⑷当价差Spread回归合理震荡区间时，卖出次月合约买入当月合约平仓，套利结束。

由于条件1F12F2是根据伊藤引理通过求导的方法推导出来的，故要求价格序列较为平滑。故我们在计算时，可首先对期货价格的收益率序列通过移动均值平滑，移动均值的周期设为K。那么伊藤择时策略分别需要确定移动均值回归策略中的参数M、a，以及独有的参数N、K、E。

四、实证分析

下面我们利用沪深300股指期货自2010年4月16日上市以来至2010年11月19日的期货合约数据，构建了一个跨期价差：次月合约-当月合约。其中当月合约为最近月份的期货合约，次月合约则为次近月份的期货合约。下文的实证分别对上述的移动均值回归策略与基于伊藤引理的跨期套利策略（为方便记，下文简称伊藤择时策略）进行了对比分析，采用的数据频率分别为5分钟和1分钟频数据。最后一部分我们对策略中的参数进行了分析。

（一）跨期套利策略在5分钟频数据中的表现

数据说明：时间区间为2010年4月16日至2010年11月19日，其中特别剔除了每个合约交割日（分别为5月21日、6月18日、7月16日、8月20日、9月17日、10月15日及11月19日）下午的数据，频率为5分钟。

参数说明：价格移动平均周期M=50，标准差参数a=1.2，价格收益率序列的标准差计算周期及平滑周期分别为N=54、K=10，择时条件参数E=0.05。

实验假设：

①不考虑周末及假期因素，亦不考虑合约到期移仓的操作，完全按照模型发出的信号进行交易。且在发出信号的当前K线开仓，然后在发出平仓信号的当前K线平仓；

②初始资金：400000，期货交易收费：0.1‰； ③交易模式：每次开仓仅交易1手，即开仓是仅分别买或卖1手当月合约、次月合约。

表 1：移动均值回归策略与伊藤择时策略的总体表现

初始资金：

最终权益： 总利润率： 最大回撤： 总交易次数： 平均交易周期： 胜率： 总盈利： 平均盈利率： 最大盈利率： 总亏损： 平均亏损率： 最大亏损率： 风险收益比：

移动均值回归策略

400000 544570 36.14% -2.14% 463 10 85.96% 202347 0.16% 1.86% -57773 -0.26% -2.27% 0.33

伊藤择时策略

400000 475250 18.81% -1.83%

306 9 86.27% 103571 0.12% 1.16% -28323 -0.20% -2.27% 0.32

数据来源：广发证券发展研究中心

注：风险收益比=平均收益率/收益率标准差，下同。

实证的结果与分析

我们首先对比移动均值回归策略与伊藤择时策略的总体表现，如表1所示。 移动均值回归策略与伊藤择时策略均获得了不错的收益。移动均值回归策略获得了36%总收益率，伊藤择时策略相对较差，但依然达到了近19%的收益率。且胜率都达到了85%以上，整体表现不错。从图8、图9的总资产走势图上来看，两个策略的表现非常稳健，资产增长平稳，没有出现很大的回撤。从表1的其他风险指标来看，两个策略所承受的风险均较小，效果令人满意。

图 8：移动均值回归策略的总资产走势图（5分钟）

总资金

[***********][***********][***********]

04-16

04-30

05-14

05-28

06-11

06-25

07-09

07-23

08-06

08-20

09-03

09-17

10-01

10-15

10-29

11-12

数据来源：广发证券发展研究中心

图 9：伊藤择时策略的总资产走势图（5分钟）

数据来源：广发证券发展研究中心

其次，移动均值回归策略的获利能力更强，但伊藤择时策略有效地降低了策略的风险。从主要的风险指标最大回撤上看，移动均值回归策略为2.14%,而伊藤择时策略降低到了1.83%。而平均亏损率上，伊藤择时策略依然取得了不错的改善。但伊藤择时策略

没有避开最大损失，最大亏损与移动均值回归策略持平，风险收益比也没有得到有效的提高。总体来看，伊藤择时策略通过添加的择时条件，的确有效地过滤了部分错误信号，改善了策略在风险控制方面的能力。伊藤择时策略为更加稳健的跨期套利策略。

（二）跨期套利策略在1分钟频数据中的表现

我们首先分析跨期价差1分钟频数据的波动特征，其统计分布图如下图所示：

图 10：跨期价差的收益率序列分布图（1分钟）

跨期价差1分钟频的价差收益率的均值为0.2%，中位数为0，与5分钟频数据的相关统计量非常相近。从上图来看，跨期价差的趋势延续性强与窄幅震荡的特征维持不变。因此，我们相信移动均值回归策略与伊藤择时策略依然适用。

参数说明：价格移动平均周期M=60，标准差参数a=1.2，价格收益率序列的标准差计算周期及平滑周期分别为N=270、K=10，择时条件参数E=0.05。

表 2：移动均值回归策略与伊藤择时策略的总体表现（1分钟）

初始资金： 最终权益： 总利润率 最大回撤 总交易次数： 平均交易周期： 胜率： 总盈利： 平均盈利率： 最大盈利率： 总亏损： 平均亏损率： 最大亏损率： 风险收益比

数据来源：广发证券发展研究中心

移动均值回归策略

400000 1028900 157.23% -2.85% 2959

7 83.51% 773029 0.10% 1.95% -144171 -0.09% -2.02%

伊藤择时策略

400000 867860 116.97% -2.42% 2541

6 83.04% 553844 0.08% 1.52% -85985 -0.06% -1.78% 0.50

0.44

移动均值回归策略与伊藤择时策略获得了更高的收益。从表2的数据来看，移动均值回归策略与伊藤择时策略的总利润率均超过了1倍，分别达到了157%、117%。且从图11、图12的总资产走势图上看，资产增长依然稳健，没有出现过大的回撤。与5分钟频数据的结果对比，平均亏损率等指标有了很大的改善，显示更高频的1分钟数据能更及时地止损。但1分钟频数据最大的问题在于合约的流动性，特别是次月合约，有可能带来较大的冲击成本，这是我们没有考虑的。

伊藤择时策略依然具有更加稳健的表现。主要的最大回撤、平均亏损率等指标显示，伊藤择时指标比移动均值回归策略的风控能力更强。特别值得一提的是，在1分钟频的测试结果中，伊藤择时策略成功避开了移动均值回归策略的最大亏损额；此外，风险收益比得到了明显的提高，显示拐点理论发挥了一定的择时功效。我们认为1分钟频相对于5分钟频的数据，走势更加连续，更加符合拐点理论的假设，从而能有效地发挥伊藤择时策略在择时上的优势。

图 11：移动均值回归策略的总资产走势图（1分钟）

总资金

[***********][***********][1**********]000

04-19

04-28

05-14

05-28

06-07

06-24

06-30

07-08

07-19

07-23

07-30

08-05

08-12

08-23

08-27

09-03

09-09

09-16

09-29

10-12

10-22

11-05

数据来源：广发证券发展研究中心

图 12：伊藤择时策略的总资产走势图（1分钟）

总资金

[***********][***********]

04-19

05-03

05-17

05-31

06-14

06-28

07-12

07-26

08-09

08-23

09-06

09-20

10-04

10-18

11-01

11-15

数据来源：广发证券发展研究中心

（三）参数优化与稳定性分析

移动均值回归策略与伊藤择时策略均需要设定较多的参数，这就涉及到参数优化的问题以及伴随而来的参数稳定性问题。若参数对策略的效果影响很大，且不同参数下的结果差异很大，则参数优化的意义不大，参数本身的选择就是一个很大的问题。因此，最理想的结果就是参数对策略的影响较为稳定，在最优参数附近区域的数值对策略的影响相近。

基于以上的担忧，我们分别计算了两组参数对策略的影响，分别是计算期货价格收益率标准差的周期N与平滑期货价格收益率序列的周期K、及开平仓信号中的移动均值的计算周期M与标准差的参数a。

对于择时条件1F12F2E的参数E，显然是E越大，开仓的条件越宽松，收益率越高，但由此所带来的风险越大。因此，E所表征的意义较为明显，我们选取固定的E=0.05，来对比上述两组参数的结果。数据为上文两个策略测试时所用的1分钟跨期价差数据。

首先观察13，参数组合（M,a）对伊藤择时策略收益率的影响。当M=60、a=1时（此时N=270，K=10，E=0.05）策略的收益率最高，达到166%；而最差的参数组合M=360、a=2，策略的收益率依然达到了65%。且从图13的收益率分布图上来看，不同参数下的策略收益率分布均匀，且变化为渐进式的改变，可以认为（M，a）的稳定性良好，不会对策略的效果产生根本性的影响。

参数组合（N，K）的稳定性良好。在M=60，a=1.2，E=0.05的前提下，对于60至360的参数N，5到20的参数K，伊藤择时策略的大部分收益率达到了1倍以上，最低的（60,5）参数组合下的收益也达到了87%。相比而言，参数组合（N，K）对策略的影响更小于参数组合（M，a）对策略的影响，其稳定性更好。

综上所述，参数的稳定性良好，上文中在M=60、a=1.2、N=270、K=10、E=0.05参数组合下得到的套利收益是稳定可靠的。

图 13：不同参数组合下伊藤择时策略收益率分布图（M，a）

60

90

[***********]

数据来源：广发证券发展研究中心

图 14：不同参数组合下伊藤择时策略收益率分布图（N，K）

[1**********]300

360

数据来源：广发证券发展研究中心

五、总结

著名数学家Kiyosi Ito于1951年提出的伊藤引理（Ito`s Lemma）是股票价格的行为模式研究中的一个重要的结论。本文假设沪深300股指期货的价格满足Ito过程，推导得到跨期价差出现拐点的必要条件：1F12F20。

自2010年4月16日上市以来至2010年11月19日，跨期价差具有趋势延续性强与窄幅震荡的两大特点。基于此我们设计了跨期套利策略：移动均值回归策略。移动均值回归策略利用移动均值模型追随跨期价差的趋势，然后用移动均值上下a倍标准差内区间作为跨期价差的合理震荡区间。当跨期价差突破上述区间时，进行开仓套利；当跨期价差回归到移动均值时，平仓结束套利。

基于跨期价差拐点的必要条件，我们改进了移动均值回归策略，提出了伊藤择时策略，增强了跨期套利的开仓时点选择能力。在移动均值回归策略开仓条件的基础上，伊藤择时策略还要求满足条件1F12F20，以期捕捉到更加有利的开仓时点。

从实证效果来看，移动均值回归策略与伊藤择时策略均取得了良好的效果。在5分钟频的数据上，上述两个策略分别获得了36%、19%的总收益率，而在1分钟频的数据上，更是分别达到了157%、117%的高额收益率。且策略的胜率超过了80%，最大回撤也不足3%，总资产的增长非常稳健。相对而言，移动均值回归策略具有更强的获利能力，而伊藤择时策略则明显地改善了策略的风险控制能力，提高了稳健性。我们认为在1倍以上的收益率背景下，伊藤择时策略的稳健性更弥足珍贵。

移动均值策略与伊藤择时策略还具有一个优势：参数稳定。我们计算了多种参数组合下的跨期套利收益，发现跨期套利的收益率在不同参数组合中呈渐进式的分布，结构都较为稳健，没有出现明显的异常点。而M=60、a=1、N=270、K=20、E=0.05为一个较优的参数组合。

广发金融工程研究小组

罗军，分析师，金融工程组组长，华南理工大学理学硕士，2009年进入广发证券发展研究中心。 胡海涛，分析师，华南理工大学理学硕士，2010年进入广发证券发展研究中心。

蓝昭钦，研究助理，中山大学数学硕士，2010年进入广发证券发展研究中心。联系方式：[email protected]，020-87555888-667。 李明，研究助理，伦敦城市大学卡斯商学院计量金融硕士，2010年进入广发证券发展研究中心。联系方式：[email protected]，020-87555888-687。

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2010-06-25 2010-02-02

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