一元一次方程讲解

知识梳理

§5.1 一元一次方程

概念:方程的两边都是整式(分母中不含未知数),只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是一次,这样的方程叫做一元一次方程。 一元一次方程的标准形式:axb0(其中x是未知数,a,b是已知数,并且a0). 归纳等式的两个性质

⒈等式的两边都加上或都减去同一个数或整式,所得结果仍是等式,即如果acbc. ⒉等式的两边都乘以或都除以同一个不为零的数或整式,所得结果仍是等式,即如果

ab

ab,那么acbc.如果ab,c0,那么.

cc

等式:用等号来表示相等关系的式子叫等式。

方程的概念:含有未知数的等式叫做方程。方程的解:使方程左右两边相等的未知数的值,叫方程的解

解方程:求方程解的过程叫做解方程。 二、规律方法总结

1、方程思想:

(1)方程思想就是把未知数看成已知数,让代替未知数的字母和已知数一样参加运算。 (2)求未知数的值(例如在填空题和简单应用类题目中),一般都通过构建方程来求解。

2、数形结合思想:数形结合思想是指在研究问题的过程中,由数思形,由形思数,把数与形结合起来,分析问题的思想方法。本章在列方程解应用题时常用画线段图和画框图的方法来分析问题。

§5.2 一元一次方程解法

移项的法则:一般地,把方程中的项改变符号后,从方程的一边移到另一边,这种变形叫做移项。移项时,通常把含有未知数的项移到等号的左边,把常数项移到等号的右边。(移项的根据是等式的基本性质1)

注意移项必须改变符号后从等式的一边移到另一边。

方程axb的形式的解的讨论拓展点

当a0时,方程有唯一解,当a0,b0时,方程有无数个解,当a0,b0时方程无解。

§5. 3一元一次方程与应用问题及实际问题

一、本章几个主要的运用问题及其数量关系

1、行程问题基本量及关系:路程=速度×时间

路程 时间= 路程

速度时间

[典型问题]

相遇问题中的相等关系:

一个的行程+另一个的行程=两者之间的距离 追及问题中的相等关系:

追及者的行程-被追者的行程=相距的路程 航程问题

顺速=V静+风(水)速 逆速=V静-风(水)速 2、销售问题·基 本 量: 成本(进价)、售价(实售价)、 利润(亏损额)、利润率(亏损率)

利润亏损额基本关系:利润=售价-成本、亏损额=成本-售价、 利润率亏损率成本成本利润=成本×利润率 亏损额=成本×亏损率

3工程问题 基本量及关系: 工作总量=工作效率×工作时间 工作总量工作总量

工作效率工作时间 工作时间工作效率

常见相等关系:(1)各阶段工作量之和=工作总量 (2)各参与者工作量之和=工作总量

4、分配型问题:此问题中一般存在不变量,而不变量正是列方程必不可少的一种相等关系。

5、调配型问题:

通常画框图帮助分析(包括数字问题) 相等关系:通常是调动后存在的数量关系 6、方案选择型问题

解决的关键:求出相等的时刻;再在大于和小于的值中各选择一个特值计算比较,也可结合实际进行判断

7、其他类型:如图表信息题,配套问题,等积变化问题,球赛积分问题等等,结合实际具体分析,或者画图分析。总之,找相等关系是关键。

二、列方程解应用题的一般步骤

(1)审:弄清题意和数量关系,弄清已知量和未知量,找到一个包含题目全部数量关系的相等关系。

(2)设:设未知数(可设直接和间接未知数)

(3)列:列方程(使用题中原始数据或已经计算出的数据) (4)解:解方程

(5)验:检验是否原方程的解,检验是否符合题意; (6)答:回答全面,注意单位。 说明:(1)书写出来的是:设、列、解、答 (2)“审”是关键,“验”是保证。 思路启迪:

1、时针与分针的速度可用(数字,格子,度数,)3钟方法表示,因此钟表上的“追及”问题可用3种方法求解

速度

数字(1)时针时针1小时走1个数字 (2)分针分针1小时走12个数字 格子(1)时针1小时走5小格 (2)分针1小时走60小格 度数:(1)时针时针1小时走30 (2) 分针1小时走360

方程的解的应用

例1 关于x的方程2x-4=3m和x+2=m有相同的解,则m的值是( ) A.10 B.-8 C.-10 D.8 解析:解方程2x-4=3m,得x=相同,得

3m4

.解方程x+2=m,得x=m-2.由两方程解2

3m4

=m-2,解得m=-8. 2

答案:B

例2 已知y=3是6+

1

(m-y)=2y的解,那么关于x的方程2m(x-1)=(m+1)(3x-4

4)的解是多少?

分析:把y=3代入第一个方程,使这个方程转化为关于m的方程,解出m的值,再代入第二个方程,求出x的值.

解:y=3代入方程6+

11

(m-y)=2y,得6+(m-3)=6.解得m=3. 44

5

. 3

将m=3代入2m(x-1)=(m+1)(3x-4),得 2×3(x-1)=(3+1)(3x-4).解得x=

方法

先利用第一个方程求出字母m的值,再把m值代入第二个方程解第二个方程,培养思考问题的综合能力.

应用题汇编

例题一 通讯员骑摩托车需要在规定时间,把文件送到某地,若每小时走 60千米,就早到

12分钟;若每小时走50千米,则要迟到7分钟,求路程.

分析:如果设规定时间为x小时,当每小时走60千米时,则路程为60x

12

千米;60

当每小时走50千米时,则路程为50x

7

千米.这时可用路程相等列出方程. 60

解:设规定时间为x小时,根据题意,得60x

127

=50x. 6060

解得x

1071210712

.所以路程为6x=60×=95千米. 60606060

答:路程为95千米.

例二 某校校长暑假将带领该校市级“三好学生”去北京旅游,甲旅行社说:“如果校长买全票一张,则其余学生可享受半价优惠”.乙旅行社说:“包括校长在内全部按全票价的六折优惠”,若全票价为240元,

(1)设学生数为x,甲旅行社收费为y甲,乙旅行社收费为y乙,分别计算两家旅行社的收费(建立表达式);

(2)当学生数是多少时,两家旅行社的收费一样?

分析:(1)问分别用含x的式子表示y甲、y乙. (2)问是当y甲=y乙时求x. 解:(1)因为全票价为240元,所以半票价为120元, 这样甲旅行社收费为y甲=120x+240.

又因为全票价为240元,所以全票价的60%为240×

60

=144(元), 100

这样乙旅行社收费为y乙=144x+144.

(2)因为甲旅行社收费为y甲,乙旅行社收费为y乙,

所以当两家旅行社收费一样时,即有方程120x+240=144x+144. 解这个方程,得x=4.

答:当学生数为4时,两家旅行社收费一样.

巩固 某商场将彩电先按原价提高40%,然后在广告中写上“大酬宾,八折优惠”,结果

每台彩电比原价多赚了270元,那么每台彩电原价是多少元?

分析:假设每台彩电原价是x元,则提高40%后为(1+40%) x元,八折为(1+ 40%) x·80%元,也就是现售价为(1+40%) x·80%元.

解:设每台彩电原价是x元,根据售价与原价之差等于270,列方程得 x (1+40%)·80%-x=270,解得x=2 250.

答:每台彩电原价是2 250元.

提高 某中学租用两辆汽车(设速度相同)同时送1名带队老师及7名九年级的学生到县城

参加数学竞赛,每辆限坐4人(不包括司机).其中一辆小汽车在距离考场 15千米的地方出现故障,此时离截止进考场的时间还有42分,这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车,且这辆车的平均速度是60千米/时,人步行的速度是 5千米/时(上、下车时间忽略不计). (1)若小汽车送4人到达考场,然后再回到出故障处接其他人,请你通过计算说明他们能否在截止进考场的时间前到达考场;

(2)假如你是带队的老师,请你设计一种运送方案,使他们能在截止进考场的时间前到达考场,并通过计算说明方案的可行性.

分析:本题是一道开放性的方案设计问题,解答时应注意分各种情况进行讨论.

解:(1)

153

×3=(时)=45(分). 604

因为45>42,所以不能在限定时间内到达考场.

(2)方案:先将4人用车送到考场,另外4人同时步行前往考场,汽车到考场后返回到与另外4人的相遇处再载他们到考场. 先将4人用车送到考场所需时间为

151

=(时)=15(分). 604

1

时另外4人步行了1.25千米, 4

2.75

. 13

此时他们与考场的距离为15-1.25=13.75(千米).

设汽车返回t(时)后与步行的4人相遇,则有5t+60t=13.75,解得t= 汽车由相遇点再去考场所需时间也是

2.75

小时. 13

2.75

所以用这一方案送这8人到考场共需15+2×× 60≈40.4(分)<42(分).

13

所以这8个人能在截止进考场的时间前赶到.

图表类应用题

例1 (1)七年级(1)班43人参加运土劳动,共有30根扁担,要安排多少人抬土,多少人挑土,可使扁担和人数相配不多不少?若设有x人挑土,填写下表:

挑土 抬土

人数/人

扁担/根

即可知两个等量关系:

挑土人数+抬土人数=43人,挑土用扁担数+抬土用扁担数=30根.

根据等量关系,列方程,解得x=,因此挑土人数为土人数为 .

你能用其他方法计算这道题吗?

(2)如果参加劳动的人数不变,扁担数为20根可以吗?为什么?

分析:有x人挑土,则用扁担x根,剩余的(43-x)人抬土,需用扁担数为可列方程为x+

1

(43-x)根,2

1

(43-x)=30,解得x=17,即有挑土人数为17,抬土人数为43-17=26.还2

可以利用“挑土人数+抬土人数=43人”列方程.

解:(1)列表如下:

挑土

x 人数/人

扁担/根 x+

x

抬土

43-x

1

(43-x) 2

1

(43-x)=30;17;17;26. 2

能.设挑土用x根扁担,则抬土用(30-x)根扁担,挑土用x人,抬土用2(30- x)人.

根据题意,得x +2(30- x)=43.解得x =17. 因此,挑土人数为17,抬土人数为2(30-17)=26.

(2)不可以,因为若20根扁担用于挑土,则需20人<43人;若20根扁担用于抬土,则需40人<43人,因此,人员有剩余.所以参加劳动的人数不变,扁担数为20根不可以.

点拨

此题关键是如何利用人数与扁担数的关系列方程.由生活常识可知,挑土 1人用l根扁担,抬土2人用l根扁担.

巩固 下面是甲商场电脑产品的进货单,其中进价一栏被墨水污染,读了进货单后,请

你求出这台电脑的进价.

甲商场商品进货单

供货单位 品名 商品代码 商品所属

乙单位 P4200 DN—63DT 电脑专柜

电脑

标价 5 850元 折扣 八折 利润 210元

分析:本题应先读懂图表所提供的信息,明确题目的条件和所求,此题等量关系为:售价-进价=利润.

解:设这台电脑的进价为x元.

根据题意,得5 850×0.8-x=210.解得x=4 470.

答:这台电脑的进价为4 470元. 注意

商品打八折后的售价等于标价×0.8.


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