圆柱滚子轴承的动力学分析

轴承　2009年7期

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1-6

CN41-1148/TH Bearing 2009, No. 7

　产品设计与应用　

圆柱滚子轴承的动力学分析

薛　峥, 汪久根, Ry muza Z , Kusznierewicz Z

3. 华沙工业大学　, 华沙02525)

1

2

3

3

(1. 马勒投资技术有限公司, 上海　201400; 2. 浙江大学　机械系, 杭州　摘要:介绍了圆柱滚子轴承的3、套圈与保持架间的接触或碰撞关系。介绍了使用BA 的程序架构。得到了滚子的运动速度、滚子与内、, 并通过案例分析了圆柱滚子轴承的动力学性能, 验证了关键词:; ; 动力学

中图分类号:T . 33　　　文献标志码:A 　　　文章编号:1000-3762(2009) 07-0001-06

D ynam i c Ana lysis on Cyli n dr i ca l Roller Bear i n gs

XUE Zheng , WANG J iu -gen , Ry muza Z , Kuszniere wicz Z

1

2

3

3

(1. MAHLE Technol ogy Holding (China ) L i m ited Company, Shanghai 201400, China; 2. Dep t . ofM echanical Engineering, Zhejiang University, Hangzhou 310027, China; 3. Faculty of M echatr onics, W arsa w University of Technol ogy, W arsaw 02525, Poland )

Abstract:The models of the r oller and races are established with res pect t o the relati onshi p s of contact or collisi ons be 2t w een r oller and race, r oller and cage, and race and cage . The p r ogram BA which was p r ogrammed by the Fortran 90f or dyna m ic analysis is intr oduced, and the vel ocities of r ollers and l oads bet w een them and inner or outer races, and the cage mass center orbit are obtained . The dyna m ic perf or mance of cylindrical r oller bearings is analyzed with nu merical si m ulati on of the BA package f or the cases in s ome given operati on conditi ons . Key words:cylindrical r oller bearing; quasi -static; dyna m ic

　　降低噪声的方法虽然多种多样, 但是要从根本上解决噪声问题, 需要研究滚动轴承的动力[1-2]学。通过动力学模型的仿真替代昂贵的试验研究, 优化轴承参数, 从而制造出高性能的低噪声轴承是可行的方法。

20世纪70年代SKF /NASA 开发了滚子轴承的

C R 等

[4]

对Gup ta P K 模型进行简化, 建立了6自

由度保持架动力学模型, 研究目标是实现保持架的优化设计和改善保持架的动力学稳定性。1992年Boesiger E A 等提出了球轴承保持架的二维动力学

分析软件P ADRE 。1997年日本NSK 的A ra maki H 提出了滚动轴承动力学分析软件包“BRA I N ”,

[5]

准动态分析软件CY BE AN; W alters C T (1971) 研制

[3]

了BAS DAP 分析软件; Gup ta P K 在1984年提出了滚动轴承动力学分析的ADORE 软件; Meeks

收稿日期:2008-10-20; 修回日期:2008-12-23

基金项目:浙江省科技攻关项目(2006C34001) , 中国-波兰政府间合作项目2006-262(32-40)

作者简介:汪久根(1963-) , 男, 安徽枞阳人, 教授, 工学博士, 博士生导师, 主要从事摩擦学与仿生设计等研究。

E -mail:me_jg@zju. edu . cn 。

并以试验验证程序包的正确性, 误差约为10%～16%。2001年Stacke L E 等2004年Sadeghi F 等

[7]

[6]

为SKF 开发了用于

滚动轴承动力学模拟的BE AST 三维分析软件。

在F AG 资助下建立了圆柱

滚子轴承的6自由度动力学模型。国外的F AG, SKF 和NSK 等公司都已经开发了内部使用的程序

包作为设计的验证方法。所以, 开发用于我国轴承行业的分析软件是必要的。

本文介绍圆柱滚子轴承的动力学分析。与6

・2・《轴承》2009. №. 7

自由度的球轴承不同, 圆柱滚子轴承只考虑3个自由度(如果考虑多自由度则会使问题复杂化) , 这里介绍3自由度简化模型和程序的构建方法。

每个滚子的平衡位置。1. 2　碰撞模型

1　动力学分析

1. 1　拟静力学分析

采用Gup ta 和Meeks 空间矢量来描述轴承

零件间的几何关系。(η, ξ, λ) 为坐标轴的增量角的坐标变换矩阵描述如下, 增量角即为从一个坐标系转换到另一个坐标系时, 绕x, y, z 方向的三个转角。

(2) T i b =T i b (η, ξ, λ) T i b , , 认为滚子仅具有3, y, z 方向的2个自由度以及绕x 方向的转动。Gup ta 对于碰撞的处理, 采用Hertz 接触的形式, 而在Meeks 等

[4]

[3]

[3-4]

拟静力学为动力学分析提供初始输入参数。拟静力学分析将圆柱滚子的离心力作用考虑进平衡方程, 可以良好地估计轴承的载荷分布以及轴承的疲劳寿命和刚度。

假设套圈的相对径向位移角度Θ, , 由于圆, 所以目标是求解轴承径向的平衡方程。

根据图1所示滚子轴承的几何关系进行运动学分析, 滚子角速度和行星速度的计算要比球轴承简单, 根据滚子与套圈存在两个纯滚动接触点

P 1和P 2得出。由(1) 式可以求出滚子的角速度

的研究中, 采用弹簧和阻

尼模型, 在实际的运行情况中, 如果滚子发生了如图2所示的偏移, 那么则很难定义接触点上的力和力矩, 如用Hertz 线接触的方式处理, 也难以处理接触区域宽度。假设在良好设计的滚子轴承中, 滚子以整个圆柱面与套圈发生接触。

和轨道速度

, 从而求出滚子受到的离心力。

Ω1c r1c b1　c r1・

Ω2c c b2　c ・

(1)

式中:ω为球的自转角速度; θ为球的行星角速度;

Ω1, Ω2分别为两个套圈的角速度; c b1, c b2为球心到接触点的矢量;

c r1, c r2为套圈中心到接触点的矢量。

未知量为每个滚子的位置, 以及内圈相对于外圈的径向位移Z 。假设有N 个滚子的轴承, 则未知量共有N +1个。相当于求解具有N +1个未知量的非线性方程组。

图2　滚子偏斜示意图

考虑圆柱滚子在承受径向载荷时, 圆柱滚子的直径在滚子轴向上无变化, 故作这样的假设。因为圆柱滚子轴承不受轴向力的作用, 并且不考虑图3中形式的碰撞, 认为滚子, 套圈, 保持架都仅仅具有3个方向的自由度, 分别是沿滚子径向

y, z 两个坐标方向的移动, 以及绕滚子轴向的转

动。滚子的几何碰撞关系也得到了简化。依然定义套圈几何中心到滚子几何中心的矢量

r br =T i r (r b +T i b r bg -r r ) -r rg

′

r

i

′b i r

(3)

i

式中:T i r 为从惯性坐标系向套圈坐标系的转换矩阵; T i b 为从球坐标系向惯性坐标系的转换矩阵; r b 为球几何中心矢量; r bg 为球几何中心到质心的矢量; r r 为套圈几何中心矢量; r rg 为套圈几何中心到

图1　圆柱滚子运行示意图

i

r

b

质心的矢量。

因为是圆柱滚子, 套圈接触面的曲率简化为

R, 即外圈的内径或内圈的外径。而且具有方位角

初始估计滚子和套圈的位置, 提供预测值。计算所有滚子/滚道接触的载荷。考虑运动学, 计算滚子的角速度和行星速度, 计算每个滚子的离心力。最后通过Ne wt on -Raphs on 法解方程, 确定

和接触角坐标系一致的特性, 变形δ简化为

r

δ=r m +d /2-|r br |

薛　峥等:圆柱滚子轴承的动力学分析

r

或δ=(|r br |+d /2) -r out

・3・

(4)

弹性变形量δ。

b =式中:r m 为外圈内径; r out 为内圈外径; d 为球的直径; r 为滚子形心到套圈形心的矢量。

如果δ为正, 则发生接触, 这里认为接触的有效长度为滚子的长度减去倒角的长度。滚子与保持架的碰撞同理, 在由兜孔坐标系可以方便地转换到接触角坐标系, 如图3所示。逆时针转动为

p p

正向, 如果r bp2

r bp2>π/2。转换到相应坐标系后, 评0, 则沿x 轴转动3价变形的大小。

r

br

πΣl ρE 1

2

1-σ+

2

1-σE 2

|)

2

(6)

]

0. 90

δ=0. 391. 4　力矩

4(1-ν)

E 1

2

+

4(1-ν)

E 2

0. 80l

0. 90

(7)

通过几何关系得到后, 通过简化的F , , 0

F κQ

c

(8)

-因为滚子仅仅考虑x 轴向的力矩, 忽略其他方向上的力矩, 由于接触区域为矩形, 可以将力矩简化为作用在接触点中心的合力, 得到如下的形式, 所有的量都统一到接触角坐标系中。这样, 滚子所受力矩为(9) 式, 套圈所受力矩为(10) 式

G =F ×(r

图3　滚子在保持架兜孔碰撞示意图

c

bg

d /) (9)

保持架和套圈的碰撞如图4所示, 其碰撞的方位角可以通过几何中心相对位置矢量的角度来确定。

c

c c br

c rg

G =-F ×(r +r 0

d /)

c

(10)

式中:r bg 为球形心到质心的矢量; r rg 为保持架形心到质心的矢量; r br 为套圈中心到滚子中心的矢量, 在前面的判断接触变形中已给出。保持架与套圈的力矩计算同理。1. 5　数值计算

根据Ne wt on 定律, 用微分方程组的形式来描述滚子的运动, 分别描述滚子质心的运动和绕质

图4　保持架和套圈碰撞示意图

心的转动。通过对上述两个微分方程的积分求得下一个时刻的参数值。

F =m r

・

[8]

1. 3　Hertz 理论

在已知变形的情况下, 采用Hertz 线接触原理求得接触正载荷和接触区的几何关系。

Hertz 线接触可以描述为如下的形式

, 首先

・・

h +Ω×h =G 9t

(11)

是变形的表达式

2

σ12d 11-σ1

δ=((ln ) -) ]+πl E 1b 2(1-σ1) 1-σ2

2

式中:F 为作用力; m 为质量; r 为位移; G 为力矩; h

为角动量, ; t 为时间; Ω为动坐标系自身的角速度。

对于拟静力学非线性方程组的求解, 采用

(5)

πl

E 2

((ln

2d 2

b

) -

σ2

) ]

2(1-σ2)

Ne wt on -Raphs on 迭代法计算。对于微分方程的

非线性方程组的积分, 使用龙格-库塔-芬尔伯格法进行积分。Runge -Kutta 法是解决常微分方程组常用的方法, 它的推导基于Tayl or 展开的方法, 采用变步长的方法缩短时间提高效率, 计算中还需要使用一些对于内部函数的修正。比如模型

式中:Q

为载荷; d 1和d 2为两个接触曲面的直径; σ为泊松比; E 为弹性模量。

其中, 接触半宽b 由(6) 式计算得到, 采用Pal m gren 的简化公式(7) 式可更方便地计算得到

・4・《轴承》2009. №. 7

π, 而系统的A rctan 中设定的方位角的范围为0～2

ππ

的范围则为-, 需要对A rctan 的内部函数22

进行修正, 重新编制A rctan 程序, 使之能准确地判断角度的具体位置。另外, 将常用的计算, 比如矩阵的乘法和叉乘写成子程序, 可以随时调用, 并且较为方便。

编写。图5为BA 的程序结构图, 两端为输入输出, 矩形内部为其详细结构。在程序BA 中规定, 选用右手坐标系, 将轴承套圈受力的方向取为轴承的正方向, x 轴代表轴承的轴向, z 轴代表轴承的径向, 而y 轴方向则通过右手法则确定。如图1中所示兜孔的空间位置坐标。另外, 程序中规定

π) ; 规定转动出现的角度都为正值, 范围取～2

, , 、负也是

2　动力学分析包BA

如此。

圆柱滚子轴承的动力学分析包BA 系用

图5　BA 程序结构图

薛　峥等:圆柱滚子轴承的动力学分析・5・

　　BA 提供用户输入输出, 输出以data 文件的形式保存。而绘图通过借助Matlab 软件的程序执行, 或者可以直接通过在Fortran 中调用如Matfor 等程序报的图形库来生成程序自带图形, 也可以通过Matfor 的库函数进一步地实现G U I 的用户界面化程序。

对于动力学分析程序来说, 在各个模块间传递的是零件的物理状态, 如位置, 速度, 角速度, 加速度, 角加速度, 载荷, 接触角等等。进行动力学值。利用公共域设置的Common 出用户想要了解的变量为杂乱,

但是也限制在保持架与引导套圈间隙的

3　图6, 程序可能运行很长时间, 如果过程中出现错误, 可以参考实时显示提前中止程序。3自由度的圆柱滚子轴承的仿真比球轴承要简单, 通过对运动情况的简化处理, 对圆柱滚子轴承的仿真案例如下, 分析6个滚子的NUP2004圆柱滚子轴承的动力学特性, 12000r/min , 承受径向载荷10k N 的情况下受力分布如图7所示。圆柱滚子轴承的拟静力学分析结果与球轴承不同, 由于受径向载荷作用而又不受轴向力的影响, 因此内圈有一个向上的偏移, 则下半部分的滚子不承受施加在轴承上的径向载荷。图8, 图9所示是滚子位置的变化, 与球轴承类似, 这是因为滚子也是在圆形轨道上运行, 是趋于稳定后的位置变化情况

。

图6　程序实时界面

图10所示为滚子在运行过程中对内圈接触

载荷变化, 内圈受到的是向上的径向载荷, 所以滚子运行到上半个圆轨道时对内圈有力的作用, 而滚子下降到下半圆的轨道时, 基本无力作用。图11和图12描述了滚子在运动中速度的变化, 同位置的变化对应, 运行速度逐渐趋于稳定。图13则描述了滚子在运动过程中保持架质心轨迹的变化, 与球轴承相比, 滚子轴承的保持架质心轨迹更

・6・《轴承》2009. №. 7

范围内, 其可能是因为滚子在不受载荷状态下的

自由碰撞引起的

。

4　结论

作为BA 的圆柱滚子轴承分析, 得到了滚子的运动速度, 滚子与内、外圈间的接触载荷与保持架质心的运动轨迹, 作为固体润滑时的情况, 瞬态变化较流体润滑更为剧烈。BA 可以根据客户要求碰撞接触模块, 相信可以更精确地模拟真实的圆, 为轴承的设计提供优化分析软件。参考文献:

[1]　汪久根, 章维明. 滚动轴承噪声的分析[J ].轴承,

2005(9) :39-42.

[2]　汪久根, 王庆九, 章维明. 滚动轴承动力学的研究

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[3]　Gup ta P K . Advanced Dyna m ics of Rolling Ele ments

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[7]　Ghaisas N, W assgren C R, Sadeghi F . Cage I nstability

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[8]　冈本纯三. 球轴承的设计计算[M].黄志强, 译. 北

京:机械工业出版社, 2003.

(编辑:赵金库)

2009亚洲国际动力传动与控制技术展览会轴承及其专用装备展区

2009亚洲国际动力传动与控制技术展览会将于2009年10月26-29日在上海新国际博览中心

举行。预计展览会将达到1, 400家展商, 66, 000m 展出规模, 并将迎来德国、意大利、美国、英国、法国、西班牙、韩国和中国台湾等国家和地区的展团。

展品范围:轴承及其轴承零部件, 轴承生产及加工设备, 相关设备与附件。组织单位:德国汉诺威展览公司, 汉诺威展览(上海) 有限公司。展览场馆:上海新国际博览中心上海市浦东新区龙阳路2345号

上海市浦东新区银霄路393号百安居商务大厦301室　电话:021-50456700转307/357/265联系人:陆雅雯小姐/叶晋熔小姐/张晓燕小姐　　传真:021-50459355/68862355邮箱:m t pe -aisa@hfchina . com 　　　

网址:www . p tc -asia /sub /bearing

2