二次函数典型例题解析

二次函数典型例题解析

关于二次函数的概念

例1 如果函数y =(m -3) x m -3m +2+mx +1是二次函数,那么m 的值为 。

例2 抛物线y =x 2+2x -4的开口方向是 ;对称轴是 ;顶点为 。

2

关于二次函数的性质及图象 例3 函数y =ax 2+bx +c (a ≠0) 的图象如图所示, ∆a +b +c a -b +c 则a 、b 、c ,,,的符号

为 ,

例4 老师给出一个函数y=f(x ), 甲, 乙, 丙, 丁四位同学各指出这个函数的一个性质:甲:函数的图像不经过第三象限。乙:函数的图像经过第一象限。丙:当x <2时,y 随x 的增大而减小。丁:当x <2时,y >0,已知这四位同学叙述都正确,请构造出满足上述所有性质的一个函数—————————————————。

例5 已知二次函数y=x2+bx +c 的图像过点A (c ,0),且关于直线x=2对称,则这个二次函数的解析式可能是(只要写出一个可能的解析式)

例6 已知a -b +c=0 9a +3b +c=0,则二次函数y=ax2+bx +c 的图像的顶点可能在( )

(A ) 第一或第二象限 (B )第三或第四象限 (C )第一或第四象限 (D )第二或第三象限 例7 k

例8 在同一坐标系中,直线y =ax +b 和抛物线y =ax 2+bx +c 的图象只可能是( )

确定二次函数的解析式

2例9 已知:函数y =ax +bx +c 的图象如图:那么函数解析式为(

(A )y =-x 2+2x +3 (B )y =x 2-2x -3

(C )y =-x -2x +3 (D )y =-x -2x -3

22

例10 如图:△ABC 是边长为4的等边三角形,AB 在X 轴上,

点C 在第一象限,AC 与Y 轴交于点D ,点A 的坐标为(-1,0)

(1) 求 B、C 、D 三点的坐标;

(2) 抛物线y =ax 2+bx +c 经过B 、C 、D 三点,求它的解析式;

以二次函数为基架的综合题

例11 二次函数y=ax2+bx+c的图象过点(1,0)(0,3),对称轴x= -1。

① 求函数解析式;

② 若图象与x 轴交于A 、B (A 在B 左)与y 轴交于C, 顶点D ,求四边形ABCD 的面积。

例12 已知:抛物线y =-3x 2-2x +m 与X 轴分别交于A 、B 两点(点A 在B 的左边),点P 为抛物线的顶点,(1)若抛物线的顶点在直线y =3x +1上,求抛物线的解析式; 3

(2)若AP ∶BP ∶AB=1∶1∶2,求抛物线的解析式。

例12 已知二次函数y=x2-(m2+8)x+2(m2+6),设抛物线顶点为A ,与x 轴交于B 、C 两点,问是否存在实数m, 使△ABC 为等腰直角三角形,如果存在求m; 若不存在说明理由。

例13 已知:抛物线y=ax2+bx+c过点A (-1,4),其顶点的横坐标是1/2,与X 轴分别交于B (x 1,0),C (x 2,0)两点(其中x 1

练习题:

21. 已知:抛物线y =mx -(3m +) x +4与X 轴交于两点A 、B ,与Y 轴交于C 点,若△ABC 是等腰4

3

三角形,求抛物线的上解析式。

2. 知抛物线y =ax 2+bx +c 经过P (-2,-2),且与X 轴交于点A ,与Y 轴交于点B ,点A 的横坐标是方程⎧2x -1≥041-=1的根,点B 的纵坐标是不等式组⎨的整数解,求抛物线的解析式。 x x -1⎩4-3x >0

3.抛物线y =ax 2+bx +c 的顶点为A (2,-3),与直线y =-3x +1有一个交点且该交点的横坐标为1。

⑴求它的解析式;

⑵设抛物线对称轴与x 轴交于B 点,抛物线与y 轴交于C 点,求△ABC 的面积。

24.已知:抛物线y =x +mx +6与X 轴相交于点A 、B ,点P 是抛物线的顶点,(1)当△PAB 的面积为

1时,求抛物线的解析式;(2)是否存在实数m ,能使△PAB 为正三角形,若存在,求出m 的值;若不8

存在,说明理由。


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