天津大学线代模拟2

模拟试题2

一、填空题(每小题3分，共15分)

T T T

1. 向量组α1=[1， 1，1，1]，α2=[1，2，3，4]，α3=[2，3，4，5]，α4=[1，-2，

2，-1]

T

的秩为_____，一个极大无关组为______________.

2. 设|A 3⨯3|=1/2，则|(3A 2) -1-2(A *) 2|=______.

⎡1

⎢

3. 设n 阶方阵A =⎢

⎢⎢⎣

11

1⎤⎥1

⎥，则|A |的所有代数余子式之和为_____. 1⎥⎥1⎦

，λn 为B 的n 个特征值，且存在可逆 4. 设A ，B 均为n 阶方阵，λ1，λ2，

n

矩阵P ，使B =P AP -PAP

-1

-1

+E ，则∑λi =_____.

i =1

5. 设二次型f (x 1，x 2，x 3) =x 12+4x 22+2x 32-2tx 1x 2-2x 1x 3是正定的，则t 的 取值范围为___________.

二、选择题(每小题3分，共15分)

⎡1

⎢1⎢1. 设矩阵A 与B =⎢0⎢⎣0

1100

0031

0⎤⎥0

⎥相似，则r (A ) +r (A -E ) +r (A -2E ) =( ). 1⎥⎥3⎦

(A) 7 (B) 8 (C) 9 (D) 10

2. 设|A |=0，α1，α2是AX =0的一个基础解系，A α3=α3≠0，则( ) 不是A 的特征向量.

(A) α1+α2 (B) α1-2α2 (C) α1+3α3 (D) 2α3

3. 设A ，B 均为n 阶方阵，且r (A )

AX =0与BX =0(

).

(A) 没有相同的非零解 (B) 同解

(C) 只有相同零解 (D) 有相同的非零解 4. 设A ∈R n ⨯n ，r(A ) =m

(B) 对任意m 为列向量β，方程组AX =β必有无穷多解 (C) 若m 阶矩阵B ，满足BA =O ，则B =O (D) AA T 为正定矩阵

5. 设矩阵A 与diag (d 1，d 2， ，d n ) 相合，则必有( ). (A) r (A ) =n (B) A 是正定矩阵

(C) d 1，d 2， ，d n 是A 的特征值

(D) 二次型X T AX 有标准形d 1y 12+d 2y 22+ +d n y n 2 三、(10分) 设齐次线性方程组

⎧2x 1+ax 2+x 3=0，

⎪

⎨(a +2) x 1-2x 2+2x 3=0，

⎪4x +(a -1) x +2x =0

23⎩1

有非零解，且三阶矩阵A 的三个特征值为-4，2，2，对应的特征向量为

⎡1⎤⎡a -1⎤⎡a +2⎤

⎥⎢⎥⎢⎥2a ，X 2=a +2，X 3=a +1. X 1=⎢⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎢⎣3⎥⎦⎣a +1⎥⎦⎣1⎥⎦

试确定参数a ，并求矩阵A .

四、(8分) 设A =[α1，α2，α3，α4]，非齐次线性方程组AX =β的通解为

T

[1，1，1，1]

+k [1，-1，0，2]

T

，其中k 为任意常数.

1. α1能否由α2，α3，α4线性表示？说明理由.

2. α3能否由α1，α2，α4线性表示？说明理由.

0，2，3]，α2=[1，1，3，5]，α3=[1，-1，a ，1]，α4 五、(8分) 已知α1=[1，

T

T

T

=[1，2，4，a +6]，β=[1，1，b ，5]

T

T

，问a ，b 取何值时，

1. β不能由α1，α2，α3，α4线性表示；

2. β可由α1，α2，α3，α4线性表示，并写出该表达式.

六、(8分) 设实线性空间V 的一个基为

x 2x 2x

(Ⅰ) ：α1=e x ，α2=x e ，α3=x e ，α4=e .

定义V 的线性变换σ：

σ(f (x )) =f ' (x ) ，∀f (x ) ∈V .

1. 求σ在基(Ⅰ) 下的矩阵A ；

2. 问是否存在V 的基，使得σ在该基下的矩阵为对角矩阵？并说明理由.

⎡1-2 七、(16分) 设A =⎢⎢⎢⎣a

-2-2b

a ⎤

⎥

4实对称，2为A 的特征值. ⎥-2⎥⎦

1. 求a ，b 的值；

2. 求正交矩阵S 及对角矩阵Λ，使得S T AS =Λ；

3. 二次型f (X ) =X T A 2X 是否为正定二次型？

八、(1题6分，2题5分，3题5分，共16分)

1. 设A ，B 均为n 阶正交方阵，n 为奇数，求证A +B 与A -B 至少有一个不可逆；

2. 设AB =E n ，求证A 的行向量组线性无关；

3. 设A ，B ∈R n ⨯n 对称，A 的特征值全大于a ，B 的特征值全大于b ，求证A +B 的特征值全大于a +b .

模拟试题2答案

一、填空题

1. 3，α1，α2，α4(或α1，α3，α4，或α2，α3，α4) ； 2. -3. 1； 4. n ； 5. (-22) .

二、选择题

1. (C)； 2. (C)； 3. (D)； 4. (A)； 5. (D).

三、3⨯3齐次线性方程组有非零解，则系数行列式为0，即

2

a -2a -1

1

2=-(a -2)(a +1) =0， 2

154

；

a +2

4

得a =2或-1.

若a =2，则X 1=X 2，与X 1，X 2是A 的属于不同特征值的特征向量矛盾！故a =-1. 当a =-1时，

X 1=1，-2，3]，X 2=[-2，1，0]，X 3=[1，0，1]，

T

T

T

显然X 2，X 3线性无关，从而X 1，X 2，X 3线性无关.

令S =[X 1，X 2，X 3]，则S 可逆，且S -1AS =diag(-4，2，2) ，因此

⎡3

⎢=-2⎢⎢⎣3

2-26

-1⎤

⎥2. ⎥-1⎥⎦

-1

2，2) S A =S d i a g -(4，

T

四、由题设，知[1，-1，0，2]是齐次线性方程组AX =0的基础解系，则

r (A ) =4-1=3，且α1-α2+2α4=0.

1. α1=α2+0α3-2α4，则α1可由α2，α3，α4线性表示. 2. 设α3可由α1，α2，α4线性表示，则

3=r (α1，α2，α3，α4) =r (α1，α2，α4) ，

因此α1，α2，α4线性无关. 与α1-α2+2α4=0矛盾！故α3不能由α1，α2，α4线性表示.

五、令β=x 1α1+x 2α2+x 3α3+x 4α4，即

⎧x 1+x 2+x 3+x 4=1，⎪

⎪x 2-x 3+2x 4=1，

⎨

⎪2x 1+3x 2+ax 3+4x 4=b ，⎪3x +5x +x +(a +6) x =5.

234⎩1

对其增广矩阵作初等行变换，可得

⎡1

⎢~⎢0

A =

⎢2⎢⎣3

1135

1-1a 1

124a +6

1⎤⎡1⎥⎢10⎥→⎢

⎢0b ⎥⎥⎢5⎦⎣0

~

1100

1-1a -10

120a -1

1⎤

⎥1

⎥. b -3⎥

⎥0⎦

当a =1且b ≠3时，r (A ) =2

α2，α3，α4 线性表示.

当a ≠1时，r (A ) =r (A ) =4，则方程组有唯一解，此时β可由α1，α2，α3，

α4线性表示，且表示法唯一.

x 4=0，x 3=

b -3a -1

x 2=

a +b -4a -1

，x 1=b -3

-2(b -3) a -1

~

α3+0α4

a -1a -1

~

当a =1且b =3时，r (A ) =r (A ) =2

β=

a -1

-2(b -3)

α1+

a +b -4

α2+

可由

α1，α2，α3，α4 线性表示，但表示法不唯一.

x 2=1+x 3-2x 4，x 1=-2x 3+x 4 其中x 3，x 4任意取值，则

β=(-2k 1+k 2) α1+(1+k 1-2k 2) α2+k 1α3+k 2α4，

其中k 1，k 2任意常数.

六、1. 由σ的定义，有

σ(α1) =e =α1，σ(α2) =e +xe

x

2

x

x

x

x

=α1+α2，

2x

σ(α3) =2x e +x e =2α2+α3，σ(α4) =2e =2α4，

从而σ在基(Ⅰ) 下的矩阵为

⎡1⎢0A =⎢

⎢0⎢⎣0

1100

0210

0⎤⎥0⎥. 0⎥2⎦

2. A 的全部特征值为λ1=λ2=λ3=1，λ4=2. 对于三重特征值1，有4-

r (A -E ) =4-3=1≠3，因此A 不能对角化，从而σ不能对角化，即不存在V 的

基，使得σ在该基下的矩阵为对角矩阵.

七、1. 由A 对称，知b =4. 又2是A 的特征值，则

-1

-2-44

a

4=4(a -2) =0， -4

2

|A -2E |=-2

a

得a =2.

2. A 的特征多项式为

⎡λ-1⎢

|λE -A |=2

⎢⎢⎣-2

2

-2⎤

⎥2

-4=(λ-2) (λ+7) ，

⎥λ+2⎥⎦

λ+2-4

则λ1=λ2=2，λ3=7.

A 的对应于特征值2，2，7的特征向量为

X 1=[2，1，2]，X 2=[-2，2，1]，X 3=[1，2，-2].

T

T

T

⎡2

11将X 1，X 2，X 3单位化，得正交矩阵S =⎢⎢3⎢⎣2

-221

1⎤

⎥

2，且 ⎥-2⎥⎦

S T AS =diag(2，2，-7) =Λ

八、 1. 由A ，B 正交，知AA T =E ，B T B =E ，则

T T T

⎧⎪A +B =AB B +AA B =A (A +B ) B ⎨T T T ⎪⎩A -B =AB B -AA B =-A (A -B ) B

于是|A +B ||A -B |=(-1) n |A |2|B |2|A +B ||A -B |(n 为奇数) ，即

(1+|A ||B |) |A +B ||A -B |=0

2

2

因此|A +B ||A -B |=0，故|A +B |=0或|A -B |=0，从而A +B 与A -B 至少有一个不可逆.

2. 由AB =E n ，知r (AB ) =n ≤r (A ) ≤m n i {

n ，s }(s

为A 的列数) ，因此r (A )

=n ，故A 的行向量组线性无关.

3. 实对称矩阵A -a E ，B -b E 的特征值全为正，则A -a E ，B -b E 均正

定，因此(A -a E ) +(B -b E ) =A +B -(a +b ) E 也正定，故A +B 的特征值全大于

a +b .