函数对称性问题

简析函数对称性问题

函数图象的对称性体现了数学对称美。函数图象对称问题是函数部分的一个重要问题，也是高考的重点。本文从两方面探讨函数的对称性。

命题1、函数y=f(a+x)与函数y=f(b-x)的图象关于直线x =b -a 对称。 2

特别地，当a=-b时，函数y=f(-b+x)与函数y=f(b-x)的图象关于直线x=b对称。 推论1、 函数y =f (a +ωx ) 与函数y =f (b -ωx ) 的图象关于直线x =b -a 对称 2ω

a b 证明： y =f (a +ωx ) =f [ω(x +)], y =f (b -ωx ) =f [-ω(x -)] ωω

所以 ，将函数y =f (ωx ) 的图象向左平移|

数y =f (-ωx ) 的图象向右平移|a ω|个单位得y =f (a +ωx ) 的图象; 将函b

ω|个单位得函数y =f (b -ωx ) 的图象, 而

y =f (ωx ) 与y =f (-ωx ) 的图象关于 y 轴对称，可得两函数图象关于直线 x =b -a b -a 对称。记忆技巧：令 a +ωx =b ，即对称轴方程。 -ω x ，易得x =2ω2ω

命题2、 若函数y=f(x) 对定义域中任意x 均有f(a+x)=f(b-x)，则函数y=f(x)的图象关于直线 x =a +b 对称。反之亦然。 2

推论2、 若函数y=f(x) 对定义域中任意x 均有f(a+mx)=f(b-mx)，(m ≠0) ，则函数

y=f(x)的图象关于直线x =a +b 对称。反之亦然。 2

命题3、 若函数y=f(x)对定义域中任意x 均有f(x+a)+f(b-x)=c，则函数y=f(x)的图象关于点

(a +b c , ) 成中心对称图形。 22

下面举例说明其应用。

[例1] 函数y=f(x+1)与函数y=f(3-x)的图象关于 __________对称

解：由命题1知，两函数图象关于x =3-1=1, 即关于直线x=1对称。 2

[例2] 若方程f(3+2x)=0有三个根，则方程f(1-2x)=0 有_____个根，两方程的所有的根之

和为______

解：设y 1=f (3+2x ), y 2=f (1-2x ) , 由推广1知，两函数图象关于x =1-31=-2⨯22对称，故两函数图象与x 轴交点个数相同，方程f(1-2x)=0也有三个根，这六个跟之和为-1⨯6=-3. 2

*[例3] 函数y=f(x)对一切x 满足f(x+a)=f(b-x) （1） 若方程f(x)=0恰有2n(n ∈N ) 个根，则这些根的和为多少？

（2） 若方程恰2n+1(n ∈N ) 个根，则这些根的和为多少？

解：由命题2知，y=f(x)图象关于x =*a +b 对称。 2

a +b 对称，2（1） 若方程f(x)=0恰有2n 个根时，由于方程的根在x 轴上对应点关于x =

'=a +b , 故S =(a +b ) ⋅所以，x m +x m 2n =n (a +b ) . 2

a +b ，另外2n 个根在x 2

a +b 1(2n +1) ⨯(a +b ) 轴上对应点关于 x = 对称，故S 2n +1=(n +) ⨯(a +b ) =. 222

1-x [例4]函数f (x ) =，（1）证明函数的图象关于(-1,-1)对称。（2）求1+x （2） 若方程f(x)=0恰有2n+1个根时，则方程必有一根为x =

f(-4)+f(-3)+f(-2)++f(0)+f(1)+f(2)的值.

解： 因为f (x ) =1-x 21，由f (x ) =的对称中心（0，0），平移可得=-1+1+x x +1x

f (x ) =1-x 对称中心(-1,-1)，由命题3知，f(x)+f(-x-2)=-2 , 1+x

则 f(-4)+f(-3)+f(-2)++f(0)+f(1)+f(2)=3⨯[f (-2) +f (0)]=3⨯(-2) =-6.

补充，供参考

1、函数自身对称性

命题1 函数y =f (x ) 的图像关于直线x ＝a 对称的充要条件是f (a +x ) =f (a -x ) 或f (x ) =f (2a -x ) 。证明（略）

推论 函数y =f (x ) 的图像关于y 轴对称的充要条件是f (x ) =f (-x ) 。

命题2 函数y =f (x ) 的图像关于点A （a ，b ）对称的充要条件是f (x ) +f (2a -x ) =2b 证明（略）

推论 函数y =f (x ) 的图像关于原点O 对称的充要条件是f (x ) +f (-x ) =0

偶函数、奇函数分别是命题1，命题2的特例。

命题3 （1）若函数y =f (x ) 的图像同时关于点A （a ，c ）和点B （b ，c ）成中心对

称（a ≠b ），则y =f (x ) 是周期函数，且2a -b 是其一个周期。

证明：函数y =f (x ) 的图像同时关于点A （a ，c ）和点B （b ，c ）成中心对称，则f (2a +x ) +f (-x ) =2c ，f (2b -x ) +f (x ) =2c ，所以f [2(a -b ) +x ]=f ([2a +(-2b +x )]

=2c -f [-(-2b +x )]=2c -f (2b -x ) =2c -[2c -f (x )]=f (x ) ，所以2a -b 是它的一个周期。

（2）、 若一个函数的图象有两条不同的对称轴，分别为x=m，x=n，那么这个函数是周期函数。

证：因为函数的对称轴为x=m，x=n (m≠n) ， 则 f (m +x ) =f (m -x ) (1) ，

f (n +x ) =f (n -x ) (2) ， 分别将x=m-x，x=n-x代入(1) (2)，

则有f (-2m =x ) f ，x f (2n -x ) =f (x ) ，则

f [x +2(m -n )]=f (2m +x -2n ) =

f (2n -x ) =f (x ) ， 所以y =f (x ) 是周期函数，周期为2(m-n)。

（3）若函数y =f (x ) 的图像既关于点A （a ，c ）成中心对称又关于直线x ＝b 成轴对称（a ≠b ），则y =f (x ) 是周期函数，且4a -b 是其一个周期。

证明：因为函数y =f (x ) 的图像关于点A （a ，c ）成中心对称，

所以f (x ) +f (2a -x ) =2c , 用2b -x

代x 得：f (2b -x ) +f [2a -(2b -x ) ]=2c (*)

又因为函数y =f (x ) 的图像关于直线x =b 成轴对称，所以f (2b -x ) =f (x ) 代入（*）得：

f (x ) =2c -f [2(a -b ) +x ](**),用2(a -b ) +x 代x 得

f [2(a -b ) +x ]=2c -f [4(a -b ) +x ]代入（**）得：

f (x ) =f [4(a -b ) +x ], 故y =f (x ) 是周期函数，且4a -b 是其一个周期。

2. 不同函数对称性

命题4 函数y =f (x ) 与y =2b -f (2a -x ) 的图像关于点A (a , b ) 成中心对称。 证明：设点P (x 0, y 0) 是y =f (x ) 图像上任一点，则y 0=f (x 0) 。点P (x 0, y 0) 关于点A (a , b ) 的对称点为P ' (2a -x 0, 2b -y 0) ，此点坐标满足y =2b -f (2a -x ) ，显然点P ' (2a -x 0, 2b -y 0) 在y =2b -f (2a -x ) 的图像上。

同理可证：y =2b -f (2a -x ) 图像上关于点A (a , b ) 对称的点也在y =f (x ) 的图像上。

推论 函数y =f (x ) 与y =-f (-x ) 的图像关于原点成中心对称。

命题5 函数y =f (x ) 与y =f (2a -x ) 的图像关于直线x =a 成轴对称。 证明 设点P (x 0, y 0) 是y =f (x ) 图像上任意一点，则y 0=f (x 0) 。点P (x 0, y 0) 关于直线x =a 的对称点为P ' (2a -x 0, y 0) ，显然点P ' (2a -x 0, y 0) 在y =f (2a -x ) 的图像上。

同理可证：y =f (2a -x ) 图像上关于直线x =a 对称的点也在y =f (x ) 图像上。 推论 函数y =f (x ) 与y =f (-x ) 的图像关于直线y 轴对称。

命题6 ①函数y =f (x ) 与a -x =f (a -y ) 的图像关于直线x +y =a 成轴对称。

②函数y =f (x ) 与x -a =f (y +a ) 的图像关于直线x -y =a 成轴对称。 现证命题6中的②

设点P (x 0, y 0) 是y =f (x ) 图像上任一点，则y 0=f (x 0) 。记点P (x 0, y 0) 关于直线x -y =a 的对称点P ' (x 1, y 1) ，则x 1=a +y 0, y 1=x 0-a ，所以x 0=a +y 1, y 0=x 1-a 代入y 0=f (x 0) 之中得x 1-a =f (a +y 1) 。所以点P ' (x 1, y 1)

在函数x -a =f (y +a ) 的图像上。

同理可证：函数x -a =f (y +a ) 的图像上任一点关于直线x -y =a 的轴对称点也在函数y =f (x ) 的图像上。故命题6中的②成立。

推论 函数y =f (x ) 的图像与x =f (y ) 的图像关于直线x =y 成轴对称。