高中物理[解题手册]专题4 速度关联问题

专题四 速度关联问题

[重点难点提示]

运动物体间速度关联关系，往往是有些命题的切入点. 而寻找这种关系则是学生在学习中普遍感觉的难点。对于绳联问题，由于绳的弹力总是沿着绳的方向，所以当绳不可伸长时，绳联物体的速度在绳的方向上的投影相等。求绳联物体的速度关联问题时，首先要明确绳联物体的速度，然后将两物体的速度分别沿绳的方向和垂直于绳的方向进行分解，令两物体沿绳方向的速度相等即可求出。求相互接触物体的速度关联问题时，首先要明确两接触物体的速度，分析弹力的方向，然后将两物体的速度分别沿弹力的方向和垂直于弹力的方向进行分解，令两物体沿弹力方向的速度相等即可求出。

分运动与合运动的关系

1. 一物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，各自产生效果（v 分、s 分）互不干扰，即：独立性.

2. 合运动与分运动同时开始、进行、同时结束，即：同时性.

3. 合运动是由各分运动共同产生的总运动效果，合运动与各分运动总的运动效果可以相互替代，即：等效性. [

]

求解绳联物体的速度问题

如图所示，汽车甲以速度v 1

求v 1∶v 2

分析与解答：如图所示，

甲、乙沿绳的速度分别为v 1和v 2cos α，两者应该相等，所以有v 1∶v 2=cosα∶1

变式1 如图所示，在一光滑水平面上放一个物

体，人通过细绳跨过高处的定滑轮拉物体，使物体在水平面上运动，人以大小不变的速度v 运动. 当绳子与水平方向成θ角时，物体前进的瞬时速度是多大？

分析与解答：解法一:应用微元法

设经过时间Δt ，物体前进的位移Δs 1=BC ，如图5-5所示. 过C 点作CD ⊥AB ，当Δt →0时，∠BAC 极小，在△ACD 中，可以认为AC =AD ，在Δt 时间内，人拉绳子的长度为Δs 2=BD ，即为在Δt 时间内绳子收缩的长度.

由图可知：BC =

BD

cos θ

由速度的定义：物体移动的速度为v 物=人拉绳子的速度v =解之：v 物=

∆s 1BC

= ∆t ∆t

∆s 2BD

= ∆t ∆t

v cos θ

解法二:应用合运动与分运动的关系

绳子牵引物体的运动中，物体实际在水平面上运动，这个运动就是合运动，所以物体在水平面上运动的速度v 物是合速度，将v 物按如图所示进行分解.

其中:v=v物cos θ，使绳子收缩.

v ⊥=v物sin θ, 使绳子绕定滑轮上的A 点转动. 所以v 物=

v

cos θ

解法三：应用能量转化及守恒定律

由题意可知：人对绳子做功等于绳子对物体所做的功.

人对绳子的拉力为F ，则对绳子做功的功率为P 1=Fv ；绳子对物体的拉力，由定滑轮的特点可知，拉力大小也为F ，则绳子对物体做功的功率为P 2=Fv 物cos θ，因为P 1=P 2所以

v 物=

v

cos θ

变式2 如图所示，杆OA 长为R ，可绕过O 点的水平轴在竖直平面内转动，其端

点A 系着一跨过定滑轮B 、C 的不可伸长的轻绳，绳的另一端系一物块M 。滑轮的半径可忽略，B 在O 的正上方，OB 之间的距离为H 。某一时刻，当绳的BA 段与OB 之间的夹角为α时，杆的角速度为ω，求此时物块M 的速率V m .

分析与解答：杆的端点

A 点绕O 点作圆周运动，其速度V A 的方向与杆OA 垂直，在所考察时其速度大小为：

V A =ωR

对于速度V A 作如图6所示

的正交分解，即沿绳BA 方向和

垂直于BA 方向进行分解，沿绳BA 方向的分量就是物块M 的速率V M ，因为物块只有沿绳方向的速度，所以V M =VA cosβ

sin(

由正弦定理知，

π

H

+β)

=

sin α

R

由以上各式得V M =ωHsinα.

变式3 如图，在竖直平面内有一半径为R 的半圆形圆柱截面，用轻质不可伸长

的细绳连接的A 、B 两球，悬挂在圆柱面边缘两侧，A 球质量为B 球质量的两倍，现将A 球从圆柱边缘处由静止释放，已知A 始终不离开球面，且细绳足够长，圆柱固定. 若不计一切

摩擦. 求:

(1)A 球沿圆柱截面滑至最低点时速度的大小； (2)A 球沿圆柱截面运动的最大位移.

分析与解答： (1)设A 球沿圆柱面滑至最低点时速度的

大小为v ，则根据机械能守恒定律可得

B

2mgR -2mgR =

112

⋅2mv 2+mv B

22

又v B =v cos 450 解得 v =2

2-2

gR 5

(2)当A 球的速度为零时，A 球沿圆柱面运动的位移最大，设为S ，则根据机械能 守恒定律可得2mgh -mgS =0

由几何关系

2R

=S

S S 2-h 2

得h =

S

4R 2-S 2 2R

解得 S =3R

变式4 一轻绳通过无摩擦的定滑轮在倾角为30°的光滑斜面上的物体m 1连接，另

一端和套在竖直光滑杆上的物体m 2连接. 已知定滑轮到杆的距离为3m. 物体m 2由静止从

AB 连线为水平位置开始下滑1 m时，m 1、m 2恰受力平衡如图5-10所示. 试求： （1）m 2在下滑过程中的最大速度.

（2）m 2沿竖直杆能够向下滑动的最大距离.

分析与解答：（1）由图可知，随m 2的下滑，绳子拉力的

竖直分量是逐渐增大的，m 2在C 点受力恰好平衡，因此m 2从B 到C 是加速过程，以后将做减速运动，所以m 2的最大速度即出

现在图示位置. 对m 1、m 2组成的系统来说，在整个运动过程中只有重力和绳子拉力做功，但绳子拉力做功代数和为零，所以系统机械能守恒. ΔE 增=ΔE 减，即

11

m 1v 12+m 22v 2+m1g （A C -A B ）sin30°=m 2g·B C 22

又由图示位置m 1、m 2受力平衡，应有： Tcos ∠ACB=m2g,T=m1gsin30°

又由速度分解知识知v 1=v2cos ∠ACB ，代入数值可解得v 2=2.15 m/s,

（2）m 2下滑距离最大时m 1、m 2速度为零，在整个过程中应用机械能守恒定律，得： ΔE 增′=ΔE 减′

即:m 1g （H 2+AB 2-AB ）sin30°=m2gH 利用（1）中质量关系可求得m 2下滑的最大距离H=

4

3

3m=2.31 m

变式5 一辆车通过一根跨过定滑轮的绳PQ 提升井中质量为m 的物体，如图5-12

所示. 绳的P 端拴在车后的挂钩上，Q 端拴在物体上. 设绳的总长不变，绳子质量、定滑轮的质量和尺寸、滑轮上的摩擦都忽略不计. 开始时，车在A 点，左右两侧绳都已绷紧并且是竖直的，左侧绳绳长为H . 提升时，车加速向左运动，沿水平方向从A 经B 驶向C. 设A 到B 的距离也为H ，车过B 点时的速度为v B . 求在车由A 移到B 的过程中，绳Q 端的拉力对物体做的功

.

分析与解答：以物体为研究对象，开始时其动能E k1=0.随着车的加速运动，重物上

升，同时速度也不断增加. 当车子运动到B 点时，重物获得一定的上升速度v Q ，这个速度也就是收绳的速度，它等于车速沿绳子方向的一个分量，如图即v Q =v B 1=v B c os45°=于是重物的动能增为 E k2 =

2

v B 2

11

mv Q 2=mv B 2 24

在这个提升过程中，重物受到绳的拉力T 、重力mg ，物体上升的高度和重力做的功分别为

h =2H-H=（2-1）H W G =-mgh =-mg （2-1）H

于是由动能定理得 W T +W G =ΔE k =E k2-E k1

1

mv B 2-0 4

1

所以绳子拉力对物体做功W T =mv B 2+mg （2-1）H

4

即WT -mg （2-1）H =

面接触物体的速度问题的求解

一根长为L 的杆OA ，O 端用铰链固定，另一端固定着一个小球A ，靠在一个质量为M ，高为h 的物块上，如图5-7所示，若物块与地面摩擦不计，试求当物块以速度v 向右运动时，小球A 的线速度v A （此时杆与水平方向夹角为θ）.

分析与解答：选取物与棒接触点B

为连结点. （不直接选A 点，因为A 点与物块速度的v 的关系不明显）. 因为B 点在物块上，该点运动方向不变且与物块运动方

向一致，故B 点的合速度（实际速度）也就是物块速度v ；B 点又在棒上，参与沿棒向A 点滑动的速度v 1和绕O 点转动的线速度v 2. 因此，将这个合速度沿棒及垂直于棒的两个方向分解，由速度矢量分解图得：v 2=v sin θ. 设此时OB 长度为a ，则a =h /sinθ.

令棒绕O 点转动角速度为ω，则：ω=v 2/a =v sin 2θ/h . 故A 的线速度v A =ωL=vL sin 2θ/h .

变式1 一个半径为R 的半圆柱体沿水平方向向右以速度V 0匀速运动。在半圆柱体

上搁置一根竖直杆，此杆只能沿竖直方向运动，如图7所示。当杆与半圆柱体接触点P 与柱心的连线与竖直方向的夹角为θ，求竖直杆运动的速度。

分析与解答：设竖直杆运动的速度为

V

1

，

方向竖直向上，

由于弹力方向沿

OP 方向，所以V 0、V 1在OP 方向的投影相等，

即有V 0sin θ=V 1cos θ，解得V 1=V0.tgθ.

变式2 如图所示，将楔木块放在光滑水平面上靠墙边处并用手固定，然后在木块和

墙面之间放入一个小球，球的下缘离地面高度为H ，木块的倾角为θ，球和木块质量相等，一切接触面均光滑，放手让小球和木块同时由静止开始运动，求球着地时球和木块的速度。

分析与解答：此题的关键是要找到球着地时小球和木块的速度的关系。因为小球

和木块总是相互接触的，所以小球的速度V 1和木块 上的投影相等，即:V1Cos θ=V2Sin θ 由机械能守恒定律可得：

mgH=mv1/2+mv2/2

由上述二式可求得： V 1=2gH .sin θ, V2=2gH .cos θ.

2

2

的速度V 2在垂直于接触面的方向

变式3 如图所示，在光滑水平面上放一质量为M 、边长为l 的正方体木块，木块右上

角靠着一长为L 的轻质光滑棒，棒的一端用光滑铰链连接于地面上的O 点，棒可绕O 点在竖直平南非内自由转动，另一端固定一质量为m 的匀质金属小球．开始时，棒与木块均静止，棒与水平面夹角为α．当棒绕O 点逆时针转动到棒与水平面间夹角为β的瞬时，求木块速度的大小．

分析与解答：设棒和水平面成β角时，木块速度为v ，小球

速度为v m ，棒与木块的接触点B 的速度为v B ，因B 点和m 在同一棒上以相同角速度绕O 点转动，所以有：v m ωL L L === v B ωOB l /sin βl sin β

木块与棒接触于B 点时木块的速度水平向左，此速度可看作两速度的合成，即B 点绕O 转动的速度v ⊥= v B 和B 点沿棒方向向m 滑动的速度v ∥，所以v B = v sin β

故v m = v B

L L

sin β=v sin 2β l l

因从初位置到末位置的过程中只有小球重力对小球、轻棒、木块组成的系统做功，所

以在上述过程中机械能守恒：

121

mgL (sinα– sinβ) =mv m +Mv 2

22综合上述得v = l

2mL (sinα-sin β)

． 224

Ml +mL sin β

变式4 在水平光滑细杆上穿着A 、B 两个刚性小球，两球间距离为L ，用两根

长度同为L 的不可伸长的轻绳与C 球连接（如图所示），开始时三球静止二绳伸直，然后同时释放三球。已知A 、B 、C 三球质量相等，试求A 、B 二球速度V 的大小与C

球到细杆的距

离h 之间的关系。

分析与解答：此题的关键是要找到任一位置时，A 、B 球的速度和C 球的速度之间的

关系。在如图所示位置，BC 绳与竖直方向成θ角。因为BC 绳不能伸长且始终绷紧，所以B 、C 两球的速度V B 和V C 在绳方向上的投影应相等，

即 VC .COS θ=VB .Sin θ

由机械能守恒定律，可得：

2

mg(h-L/2)=mvC /2+2(mv

2

/2) B

2222

又因为tg θ =(L-h )/h

2

由以上各式可得：V B =2gh (h -3L /2)

(h +L )

22

.

[解题方法归纳与提升]

1. 选取合适的连结点（该点必须能明显地体现出参与了某个分运动）.

2. 确定该点合速度方向（通常以物体的实际速度为合速度）且速度方向始终不变. 3. 确定该点合速度（实际速度）的实际运动效果从而依据平行四边形定则确定分速度方向. 4. 作出速度分解的示意图，寻找速度关系.