20**年湖北普通专升本高等数学真题汇总

： ---------------------------------

2012年湖北普通专升本高等数学真题一

一. 选择题（每个小题给出的选项中，只有一项符合要求：本题共有5个小题，每小题4分，共2０分）

1. 函数f (x )=x 2+1cos x 是（ ）.

()

(A )奇函数 (B )偶函数 号--证---考---准---- -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- ：---名---姓---_--_--_-_--_--_--_-_--_--__线__封__密_--_--_-_--_--_-_--：---业---专---考---报---_--_--_-_--_--_-_--_--_-_--_--_-_--_--_-_--_--_ -_ --_ --_-_--：---校---学---考---报-----------(C )有界函数 (D )周期函数

2. 设函数f (x )=x ，则函数在x =0处是（ ）.

(A )可导但不连续 (B )不连续且不可导

(C )连续且可导 (D )连续但不可导

3. 设函数f (x )在[0, 1]上, d 2f

dx

2

>0，则成立（ ）. (A )df dx >

df dx >f (1)-f (0) (B )df >f (0)-f (1)>

df

x =1

x =0dx x =1dx x =0

(C )df

>f (1)-f (0)>

df dx (D )f (1)-f (0)>df df

x =1

dx >x =0dx x =0dx x =1

4. 方程z =x 2

+y 2

表示的二次曲面是（ ）.

(A )椭球面

(B )柱面

(C )圆锥面 (D )抛物面

5. 设f (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导, f (a )=f (b ), 则在(a , b )内，曲线y =f (x )上平

行于x 轴的切线（ ）.

(A )至少有一条 (B )仅有一条

(C ). 不一定存在 (D ). 不存在

二. 填空题:(只须在横线上直接写出答案, 不必写出计算过程, 每小题4分, 共40分)

1x

1. 计算lim x →0x sin 2

=_________________

2. 设函数f (x )在x =1可导, 且

df (x )=1, 则 dx x =0

lim

x →0

f (1+2x )-f (1). =

__________. x

df (x ) =

________________________. dx

3. 设函数f (2x )=ln x , 则

4. 曲线y =x 3-3x 2-x 的拐点坐标_____________________.

5. 设arctan x 为f (x )的一个原函数, 则f (x )=_____________________. 6.

d 2

f (t )dt =⎰x _________________________. dx

7. 定积分

⎰(x

π

-π

2

+x dx =

)

________________________.

8. 设函数z =cos x +y 9. 交换二次积分次序

(

22

∂z

=), 则∂

_______________. x __________

⎰

10

dx ⎰f (x , y )dy =__________________________.

x

10. 设平面∏过点(1, 0, -1)且与平面4x -y +2z -8=0平行，则平面∏的方程为

_____________________.

三. 计算题:(每小题6分, 共60分)

e x -1

1. 计算lim .

x →0x

2. 设函数f (x )=e , g (x )=cos x , 且y =f

x

⎛dg ⎫dy

⎪, 求. ⎝dx ⎭dx

3. 计算不定积分

⎰

⎰

dx x 1+x +∞

.

4. 计算广义积分

xe -x dx .

5. 设函数f (x )=⎨

1⎧cos x , x ≥0, 求f (x )dx . 4⎰-2

⎩x , x

6. 设f (x )在[0, 1]上连续，且满足f (x )=e +2

x

⎰f (t )dt ，求f (x ).

1

-------------

d 2y dy x

+=e 7. 求微分方程的通解. 2

dx dx

--------------------------------------------------------------------------------------线封密-------------------------------------------------------- - -- ---------8. 将函数f (x )=x 2ln (1+x )展开成x 的幂级数. 9. 设函数f (x , y )=x -y

x +y

, 求函数f (x , y )在x =0, y =2的全微分. 10. 计算二重积分,

⎰⎰(x

2

+y 2)

dxdy ，其中D :x 2+y 2≤1.

D

四. 综合题:(本题共30分, 其中第1题12分，第2题12分，第3题6分) 1. 设平面图形由曲线y =e x 及直线y =e , x =0所 围成,

(1)求此平面图形的面积;

(2)求上述平面图形绕x 轴旋转一周而得到的

旋转体的体积.

2. 求函数y =x 3-3x 2-1的单调区间、极值及曲线的凹凸区间.

x

3. 求证:当x >0时, ⎛ 1⎫

⎝1+x ⎪⎭

：______________________报考专业：______________________姓名： 准考证号：

2012年湖北普通专升本高等数学真题二

一. 选择题（每个小题给出的选项中，只有一项符合要求：本题

共有5个小题，每小题4分，共2０分）

x 2

1. 当x →0时, sec x -1是的（ ）.

2

A . 高阶无穷小 B . 低阶无穷小 C . 同阶但不是等阶无穷小 D . 等阶无穷小

2. 下列四个命题中成立的是（ ）.

A . 可积函数必是连续函数 B . 单调函数必是连续函数 C . 可导函数必是连续函数 D . 连续函数必是可导函数 3. 设f (x )为连续函数, 则

d

f (x )dx 等于( ). ⎰dx

A . f (x )+C B . f (x )

C .

df (x )df (x )+C D .

dx dx

4. 函数f (x )=x 3sin x 是（ ）.

A . 偶函数 B . 奇函数

C . 周期函数 D . 有界函数

5. 设f (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导, f (a )=f (b ), 则在(a , b )内，曲线y =f (x )上平

行于x 轴的切线（ ）.

(A )不存在 (B )仅有一条 (C ). 不一定存在 (D ). 至少有一条

二. 填空题:(只须在横线上直接写出答案, 不必写出计算过程, 每小题4分, 共40分)

⎧e x , x ≤0

1. 设函数f (x )=⎨在x =0处连续，则

⎩a +x , x >0a =__________.

2. lim

x →1

sin 2(1-x )

x -1x +32

=

___________________.

x -x 2+x +1

3. lim =x →-∞___________________________. x

4. 设函数f (x )在点x =1处可导，且

df (x )=1，

dx x =1

则lim

x →0

f (1+2x )-f (1) =

_______. x

df (x ) =

____________________. dx

5设函数f (2x )=ln x ，则

x

6. 设e 为f (x )的一个原函数，则f (x )=___________________.

--------------------------------------------7.

d dx

⎰2

x f (t )dt =_________________________. 8.

⎰

+∞x 0

e -dx =

_________________________.

9.

⎰π

(x

2

-π

+x )

dx =

________________________.

∞

10. 幂级数

∑

(x -2)n

的收敛半径为__________

n =0

n

2

______. 三. 计算题:(每小题6分, 共60分) 1. 求极限x lim

→+∞

a +x b +x -a -x b -x ).

2. 求极限lim

2n +3n +7n

n →∞

-5n

+7

n

.

3. 设y =e

sin (ax +b )

，求dy .

4. 设函数y =xe x

，求

d 2y

dx 2

.

x =0

5. 设y 是由方程sin (xy )-

1y -x =1所确定的函数, 求(1).y x =0; 6. 计算不定积分⎰

x

2

x 3+1dx .

7. 设函数f (x )=⎧⎨x 2, 0≤x ≤1

22x , 1

，求定积分⎰f (x )dx .

⎩0

8. 计算lim

⎰x (e

t

-t 0

+e -2)

dt

x →0

1-cos x

.

9. 求微分方程

d 2y dx 2+dy

dx

=0的通解.

(2).dy

dx . x =0

考证号：

10. 将函数f (x )=x 2ln (1+x )展开成x 的幂级数. 四．综合题：（每小题10分，共30分）

1. 设平面图形由曲线y =e x 及直线y =e , x =0所围成, (1)求此平面图形的面积;

(2)求上述平面图形绕x 轴旋转一周而得到的旋转体的体积. 2. 求过曲线y =xe -x 上极大值点和拐点的中点并垂直于x =0

的直线方程。（注：由使函数取极大值的点x 0和函数的极大值f (x 0)所构成的一对数组

(x 0, f (x 0))称为曲线y =f (x )上的极大值点）.

3. 设函数y =f (x )在点x 0处可导，证明它在点x 0处一定连续，并举例説明其逆不真.

2012年湖北普通专升本高等数学真题三

一、

填空题（每小题3分共15分）

1 .y =arccos x 2 则y /(0) =_________.

2. 设f (x ) =arctan e x , 则df (x ) =_______________. 3:⎰

10

-x 2dx =____________

4:微分方程3ydy+3x2dx=0的阶是______________

5. 当k =________ 时, lim x →∞(1+k

x

) x =e

二、 单选题（每小题3分共15分）

1. 必为函数f(x)单调区间分界点的是( )

A. 使f /(x ) =0的点 B. f(x)的间断点 C. f /(x ) 不存在的点 D.以上都不对 2:设f(0)=0且lim

f （x ) x →0x 存在，则lim f （x )

x →0x

=( )

A: f(0) B: f /(x) C: f /(0) D: 3:

⎰

+∞

e -x dx =( )

A. ―1 B. 0 C. 1 D. 发散4: 若f(x)的一个原函数是1

x

, 则f /(x ) =( )

A. -121x 2 B. x 3 C. ln x D. x

5:微分方程y //=e -x 的通解为 y=( )

A: e -x +c 1x +c 2 B: -e -x +c 1x +c 2 C: e -x D: 三、

求极限（每小题6分, 共42分）

1：x lim →∞

(x 2+3x -x )

2：lim ∞(1-2

x

) 2x x →

3：求y =x sin 2x -

ln x

x

+4π的dy 4：求隐函数方程y 3=xy+2x2+y2确定y=y(x)的

dy dx

-e -x

5：⎰

1

dx x ln x

1

x

6：⎰e

dx

⎧t 2

d y ⎪x =

7: 设函数y =y (x ) 由参数方程⎨2确定，求。

d x ⎪y =1-t

⎩四、微积分应用题(第1，2题各9分，第3题10分，共28分)

1. 求y /+y=x的通解

2. 求微分方程y ''+5y '-6y =0满足初始条件y (0) =-4，y '(0) =-30的特解． 3. 求曲线y =x （0≤ x ≤2） 绕x 轴一周旋转所围成的体积

2012年湖北普通专升本高等数学真题四

一、填空题（每小题3分共15分）

1 .y =arccos x 2 则y /(0) =_________.

2. 设f (x ) =arctan e x , 则df (x ) =_______________. 3:⎰

10

-x 2dx =____________

4:微分方程3ydy+3x2dx=0的阶是______________

5. 当k =________ 时, lim x →∞(1+k

x

) x =e

四、 单选题（每小题3分共15分）

1. 必为函数f(x)单调区间分界点的是( )

A. 使f /(x ) =0的点 B. f(x)的间断点 C. f /(x ) 不存在的点 D.以上都不对 2:设f(0)=0且lim

f （x ) x →0x 存在，则lim f （x )

x →0x

=( )

A: f(0) B: f /(x) C: f /(0) D: 3:

⎰

+∞

e -x dx =( )

A. ―1 B. 0 C. 1 D. 发散4: 若f(x)的一个原函数是1

x

, 则f /(x ) =( )

A. -121x 2 B. x 3 C. ln x D. x

5:微分方程y //=e -x 的通解为 y=( )

A: e -x +c 1x +c 2 B: -e -x +c 1x +c 2 C: e -x D: 五、

求极限（每小题6分, 共42分）

1：x lim →∞

(x 2+3x -x )

2：lim ∞(1-2

x

) 2x x →

3：求y =x sin 2x -

ln x

x

+4π的dy 4：求隐函数方程y 3=xy+2x2+y2确定y=y(x)的

dy dx

-e -x

5：⎰

1

dx x ln x

1

x

6：⎰e

dx

⎧t 2

d y ⎪x =

7: 设函数y =y (x ) 由参数方程⎨2确定，求。

d x ⎪y =1-t

⎩四、微积分应用题(第1，2题各9分，第3题10分，共28分)

3. 求y /+y=x的通解

4. 求微分方程y ''+5y '-6y =0满足初始条件y (0) =-4，y '(0) =-30的特解． 3. 求曲线y =x （0≤ x ≤2） 绕x 轴一周旋转所围成的体积

2012年湖北普通专升本高等数学真题五

一、填空题（每小题3分共15分）

1 .y =arccos x 2 则y /(0) =_________.

2. 设f (x ) =arctan e x , 则df (x ) =_______________. 3:⎰

10

-x 2dx =____________

4:微分方程3ydy+3x2dx=0的阶是______________

5. 当k =________ 时, lim x →∞(1+k

x

) x =e

二、单选题（每小题3分共15分）

1. 必为函数f(x)单调区间分界点的是( )

A. 使f /(x ) =0的点 B. f(x)的间断点 C. f /(x ) 不存在的点 D.以上都不对 2:设f(0)=0且lim

f （x ) x →0x 存在，则lim f （x )

x →0x

=( )

A: f(0) B: f /(x) C: f /(0) D: +∞

3:

⎰

e -x dx =( )

A. ―1 B. 0 C. 1 D. 发散4: 若f(x)的一个原函数是1

x

, 则f /(x ) =( )

A. -121x 2 B. x 3 C. ln x D. x

5:微分方程y //=e -x 的通解为 y=( )

A: e -x +c x 1x +c 2 B: -e -+c 1x +c 2 C: e -x D: 三、求极限（每小题6分, 共42分） 1：lim x →∞

(x 2+3x -x )

2：lim ∞(1-2

x

) 2x x →

3：求y =x sin 2x -

ln x

x

+4π的dy 4：求隐函数方程y 3=xy+2x2+y2确定y=y(x)的

dy dx

-e -x

5：⎰

1

dx x ln x

1

x

6：⎰e

dx

⎧t 2

d y ⎪x =

7: 设函数y =y (x ) 由参数方程⎨2确定，求。

d x ⎪y =1-t

⎩四、微积分应用题(第1，2题各9分，第3题10分，共28分)

5. 求y /+y=x的通解

6. 求微分方程y ''+5y '-6y =0满足初始条件y (0) =-4，y '(0) =-30的特解． 3. 求曲线y =x （0≤ x ≤2） 绕x 轴一周旋转所围成的体积

2012年湖北普通专升本高等数学真题六

一、填空题：（只需在横线上直接写出答案，不必写出计算过程，本题共有8个空格，每一空格5分，共40分）

⎧sin 4x +e ⎪

1. 若 f (x ) =⎨x

⎪a ⎩

-3ax

-1

, x ≠0x =0

在

x =0连续，则 a =⎧x =1+t 2

2. 曲线⎨3

⎩y =t

在t =2处的切线方程

为 .

3. 设函数y =(2x +1) sin x ，则其导数为. 4.

⎰

2

-2

(1+x cos x ) dx ＝ .

5. 设y =cos(sinx ) ，则dy =dx .

6.

曲线y =x =1，x =3及x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周， 所得旋转体体积为 .

7. 微分方程 y ''-4y '+5y =0的通解为.

8. 若级数

∑n α

n =1

∞

1

3-1

收敛，则α的取值范围是 .

二．选择题. （本题共有5个小题，每一小题4分，共20分，每个小题给出的选项中，只有一项符合要求） 1．lim

x

arctan x =（ ）.

x →-∞x +1

(A)

ππ

(B) - (C) 1 (D) 不存在

22

2

2. 当x →0时，f (x ) =x -sin x 是比 x 的（ ）. (A ) 高阶无穷小 (B ) 等价无穷小 (C ) 同阶无穷小 (D ) 低阶无穷小

3.

级数

为（ ）. n =∞

(A ) 绝对收敛 (B ) 条件收敛 (C ) 发散 (D ) 无法判断

4. 曲线y =x 2与直线y =1所围成的图形的面积为（ ）. (A )

23

(B ) (C ) 344

(D ) 3

1

5. 广义积分

⎰

+∞0

x

dx 为（ ）.

(1+x ) 3

1

(D ) 2

1 2

(A ) -1 (B ) 0 (C ) -

三．计算题：（计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分, 本题共10个小题，每小题6分，共60分） 1.

⎰计算极限 lim

x →0

x 0

tan tdt x

2

.

2．计算函数

y =x

y '. 3 计算由隐函数 e y =x ln y 确定的函数 y =f (x ) 的微分dy . 4.

判别正项级数

n =1

∞

+

1

) 的敛散性. n 2

5. 计算不定积分

n

2n

6. 求幂级数

----------------------------------------------------------------------------

n =0

∑3x

∞

的收敛半径与收敛区间.

7. 计算定积分

⎰

π

x sin 2xdx

dy x (1+y 2)

8. 计算微分方程 满足初始条件 y (0)=1的特解. =

dx y (1+x 2)

9. 计算函数 y =sin(lnx ) 的二阶导数 y ''.

10. 将函数 y =ln x 展成(x -1) 的幂级数并指出收敛区间. 四．综合题： （本题共4个小题，共30分）

1. [本题7分] 设0

n -1

b n -a n

n (b -a )

2．[本题7分]设函数f (x ) =x 2-

⎰

20

f (x ) dx ，求f (x ) 在区间[0,2]上的最大值与最小值.

1⎧α

⎪x sin , x ≠0

3. [本题8分] 设f (x ) =⎨， （α为实数） x

⎪x =0⎩0,

试问α在什么范围时, （1）f (x ) 在点x =0连续； （2）f (x ) 在点x =0可导. 4．[本题8分] 若函数f (x ) =

⎰

x 0

(x -t ) f (t ) dt +e x ，求f (x ) .

2012年湖北普通专升本高等数学真题七

一、填空题：1~5小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中横线上． 1．若f (x +y , x -y )=xy +y 2, 则f (x , y )=

1=

1

x (x -y ) ． 2

x 2s in

2．lim

x →0

s i n x

0．

3．设y =2x 2+ax +3在x =1处取得极小值，则a =-4．

4．设向量a =i -j , b =-2j +3k ， 则a ⋅b =2．

d 5．

dx

⎰

x 20

1+t dt =

2x +x 2

．

二、选择题：6~10小题，每小题4分，共20分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内． 6．函数f (x )=9-x 2+

1x -4

2

的定义域是 [ C ]

（A ）(-∞, -2) (2, +∞)； （B ）(-3, -2) (2, 3)；

（C ）[-3, -2) (2, 3]； （D ）(-∞, -3] (-2, 2) [3, +∞)． 7．曲线y =2x 2+3x -26上点M 处的切线斜率为15，则点M 的坐标是 [ B ] （A ）(3, 15) ； （B ）(3, 1) ； （C ）(-3, 15) ； （D ）(-3, 1) ． 8．设z =cos(x -2y ) ，则

∂z

等于 [ D] ∂y

（A ）-sin(x -2y ) ； （B ）-2sin(x -2y ) ； （C ）sin(x -2y ) ； （D ）2sin(x -2y ) 。

9．下列函数在给定区间上满足拉格朗日中值定理的是 [ D ] （A ）A y =x ，x ∈[-1, 2]； （B ）y =ln(1+x ) ，x ∈[-1, 1]； （C ） y =

1

，x ∈[-1, 1]； （D ）y =ln(1+x 2) ，x ∈[0, 3]. x

10．无穷级数∑(-1)

n =1

∞

n

1n

5/4

[ A ]

（A ）绝对收敛； （B ）条件收敛； （C ）发散； （D ）敛散性不能确定．

三、解答题：11~17小题，共60分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 11．（本题满分7分）

计算定积分⎰(x 2+1) 3x dx ．

01

解： 原式 =

⎰

10

12

(x +1) 3d (x 2+1) 2

1

1

= (x 2+1) 4

8

=

15

8

12．（本题满分7分）

设f (x )=(x 2006-1)g (x ) , 其中g (x ) 在 x =1 处连续，且g (1) =1，求

f '(1) ．

f (x ) -f (1) (x 2006-1) g (x )

=lim 解：f ' (1) =lim

x →1x →1x -1x -1

(x -1)(x 2005+x 2004+ +x +1) g (x ) =lim x →1x -1

=lim(x 2005+x 2004+ +x +1) g (x ) =2006

x →1

13．（本题满分8分）

求抛物线y =-x 2+4x -3及其在点(0, -3) 和(3, 0) 处的切线所围成的平面图形的面积．

解： y '=-2x +4, y '(0)=4, y '(3)=-2

∴在(0,-3) 处的切线方程为y =4x -3 在(3,0)处的切线方程为y =-2x +6

3两条切线的交点为(,3)

2

从而所求平面图形的面积可表示为

S =⎰

320

22

⎡⎣4x -3-(-x +4x -3) ⎤⎦dx +3⎡⎣-2x +6-(-x +4x -3) ⎤⎦dx 7分

2

3

=⎰x 2dx +3(x 2-6x +9) dx

2

320

3

=

9 4

14．（本题满分8分）

求微分方程(y 2-6x ) dy +2ydx =0的通解． 解：原方程可变形为

3

--dy

y

dx 3y

-x =- dy y 2

3

则x =e

⎰

y ⎰-y dy

(⎰-dy +C )

2

3

y 3

=y (⎰-⋅y -dy +C ) =y

2

3

1y 23

+C =+Cy 。

2y 2

15．（本题满分8分）

计算⎰⎰e -y d x d y ，其中D 是以O (0, 0) ，A (1, 1) ，B (0, 1) 为顶点的三角形

D

2

闭区域．

解：原式 =

=

⎰

1

dy ⎰e -y dx

0-y 2

y

2

⎰e

1

y dy =

11-y 22

e dy ⎰02

1

1211-y 2

=-e -y =-⎰de

2200

1

(1-e -1) 2

16．（本题满分8分）

=

求二元函数z =x 2+4xy +9y 2-x -3y 的极值．

⎧∂z

=2x +4y -1=0⎪⎪∂x

解：先解方程组⎨

∂z ⎪=4x +18y -3=0⎪⎩∂y

可得驻点(

31

, ) 1010

∂2z ∂2z ∂2z

分别求二阶偏导数：2=2, =4, 2=18

∂x ∂x ∂y ∂y

31

, ) 处，A =2>0, B =4, C =18，AC -B 2=20>0 1010313

∴z (x , y ) 在点(, ) 处有极小值-．

101010

17．（本题满分7分）

在点(

求微分方程(x -y 3) dy +ydx =0(y >0) 的通解． 解：原方程可变形为

dx 1

+x =y 2 dy y

则微分方程的通解为x =e

-

⎰y dy

1

(⎰y 2e

⎰y dy

1

dy +C )

1114y 3C 2

=(⎰y ⋅ydy +C ) =(y +C ) =+

y y 44y 18．（本题满分7分）

设f (x ) 在[a , b ]上连续，且f (x )

a x

x b

1

dt ，(a ≤x ≤b ) ，f (t )

证明：（1）F '(x ) ≤-2； （2）方程F (x ) =0在(a , b )内有且仅有一个实根。 证明：1．依题意有：F '(x )=f (x )+

1

f x f (x )0

1

∴-F '(x )=-f (x )+≥2

-f x ∴F '(x )≤-2

2．因为F (a )=

⎰

a

b

b 1

dt , F (b )=⎰f (t )dt

a f t b 1

⋅⎰f (t )dt

a f t 所以F (a )⋅F (b )=⎰

a

b

由罗尔定理方程至少有一实根。 又据1结论知F '(x )

故原方程在（a , b ）内有且仅有一个实根。