[高中数学]计数原理(1)

【高中数学】计数原理(1)

1. 分类计数原理---加法原理

如果完成一件工作有两类不同的方案，由第1类方案中有m 种方法，在第2类方案中有n 种不同的方法，那么，完成这件工作共有m +n 种不同的方法.

【例1】一件工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这项工作，不同选法的种数是 .

2. 分步计数原理---乘法原理

完成一件工作需要两个步骤，完成第1步有m 种不同的方法，完成第2步有n 种不同的方法，那么，完成这件工作共有m ⨯n 种不同方法。

【例2】用前六个大写的英文字母和1～9九个阿拉伯数字，以A 1, A 2, ⋅⋅⋅, B 1, B 2, …的方式给教室的座位编号，总共能编出多少种不同的号码？

【例3】从A 村去B 村的道路有3条，从B 村去C 村的道路有2条，从A 村经B 村去C 村，不同的路线有 条.

小结：加法原理针对的是分类问题，其中的各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事.

【例4】书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书，

(1)从书架上任取1本书，有多少种不同的取法？

(2)从书架的第1、2、3层各取1本书，有多少种不同的取法？

【例5】要从甲，乙，丙3副不同的画中选出2副，分别挂在左，右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的选法？

小结：在解决实际问题中，要分清题意，正确选择加法原理和乘法原理，乘法原理针对的是分步问题，其中的各步骤相互依存，只有各个步骤都完成才算完成这件事.

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1. 某班有男生30人，女生20人，现要从中选出男，女各1人代表班级参加比赛，共有.

2. 乘积(a 1+a 2+⋅⋅⋅+a n )(b 1+b 2+⋅⋅⋅+b n )展开后，共有 项.

3. 要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有种不同的选法.

4. 一种号码拨号锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，

这4个拨号盘可以组成个四位数号码.

2. 如图，一条电路从A 处到B 处接通时，可有多少条不同的线路？

3. 两个原理的应用

【例6】核糖核酸（RNA ）分子是生物细胞中发现的化学成分。一个RNA 分子是一个有着数百个甚至数千个位置的长链，长链中每一个位置上都由一种称为碱基的化学成分所占据. 总共有4中不同的碱基，分别是A , C , G , U 表示。在一个RNA 分子中，各种碱基能够以任意次序出现，所以在任意位置上的碱基与其他位置的碱基无关。假设有一类RNA 分子有100个碱基组成，那么能有多少种不同的RNA 分子？

【例7】电子元件很容易实现电路的通与断，电位的高与低等两种状态，而这也是最容易控制的两种状态。因此，计算机内部就采用了每一位只有0或1两种数字的计数法，即二进制。为了使计算机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字符可以用一个或两个字节来表示，其中字节是计算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由8个二进制位构成. 问：

(1)一个字节（8位）最多可以表示多少个不同的字符？

(2)计算机汉字国标码包含了6763个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？

【例8】随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，汽车牌照号码需要扩容. 交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有3个不重复的英文字母和3个不重复的阿拉伯数字，并且3个字母必须合成一组出现，3个数字也必须合成一组出现。那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？

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1. 从5名同学中选出正，副组长各一名，共有种不同的选法.

2. 某电话局管辖范围内的电话号码由8位数字组成，其中前4位的数字是不变的，后4位数字都是0到9之间的一个数字，那么这个电话局最多有 个.

3. 用1，5，9，13中的任意一个数作分子，4，8，12，16中任意一个数作分母，可以构成个不同的分数，可以构成 个不同的真分数.

4. 在平面直角坐标系内，横坐标与纵坐标均在集合｛0，1，2，3，4，5｝内取值的不同点共有个.

5. 有4名同学分别报名参加学校的足球队，篮球队，乒乓球队，每人限报其中的一个运动队，不同的报名种数是.

6. 某商场有6个门，如果某人从其中的任意一个门进入商场，并且要求从其他的门出去，共有多少种不同的进出商场的方式？

7. 由数字0，1，2，3，4可以组成多少个三位数？（各位上的数允许重复）

*8. 设x, y ∈N ，x +y ≤4，则在直角坐标系中满足条件的点M (x, y )共有个.

9. 在在平面直角坐标系内，斜率在集合B=｛1，3，5，7｝，y 轴上的截距在集合C=｛2，4，6，8｝内取值的不同直线共有 条.

10. 有3个班的同学分别从5个风景点中选择一处游览，不同选法种数是.

11. 在1～20共20个整数中取两个数相加, 使其和为偶数的不同取法共有种.

5. 用1，2，3三个数字，可组成个无重复数字的自然数.

6. 一个班级有8名教师，30位男同学，20名女同学，从中任选教师代表和学生代表各一名，共有不同的选择种数为.

4. 排列(1)

定义：一般地，从n 个m （）个元素，按照一定的取出 个元素的一个排列.

【例1】写出从4个不同元素中任取2个元素的所有排列.

5. 排列数及其排列数公式

排列数的定义：从个元素中取出（m ≤n ）个元素的的个数，叫做从n 个不同元素取出m 元素的排列数，用符合.

m 排列数公式：从n 个不同元素中取出m （m ≤n ）个元素的排列数A n =.

n 全排列：从n 个不同元素中n 个元素的一个全排列，用公式表示为A n =.

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15 【例2】计算： (1)A (2)A 6

6 (3)A -2A 3

828 A 88(4)6 A 6

m 【例3】若A n =17⨯16⨯15⨯ ⨯5⨯4，则n =，m =

【例4】乘积(55-n )(56-n ) (68-n )(69-n ) 用排列数符号表示 （n ∈N , ）

m m -1【例5】求证：A n =nA n -1

8767【例6】求证：A 8 -8A 7+7A 6=A 7

m m 小结：排列数A n 可以用阶乘表示为A n =.

知识拓展：有9个人坐成一圈，问不同坐法有多少种？

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321. 计算：5A 5+4A 4=12342. 计算：A 4+A 4+A 4+A 4=3. 某年全国足球甲级（A 组）联赛共有14队参加，每队都要与其余各队在主客场分别比赛1次，共进行场比赛.

4. 5人站成一排照相，共有

5. 从1，2，3，4这4个数字中，每次取出3个排成一个3位数，共可得到.

n +1n 2n -16. 求证：A n +1-A n =n A n -1

7. 一个火车站有8股岔道，停放4列不同的火车，有多少种不同的停放方法（假设每股道只能停放1列火车）？

8. 一部记录片在4个单位轮映，每一单位放映1场，有多少种轮映次序？

6. 排列(2)

排列数公式应用的条件

【例7】(1)从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？

(2)从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？

小结：排列数公式只能用在从n 个不同元素中取出m 个元素的的排列数，对元素可能相同的情况不能使用. 解决排列问题的基本方法

【例8】用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？

小结：解排列问题时，当问题分成互斥各类时，根据加法原理，可用分类法；当问题考虑先后次序时，根据乘法原理，可用位置法；这两种方法又称作直接法。当问题的反面简单明了时，可通过求差采用间接法求解；另外，排列中“相邻”问题可以用“捆绑法”；“分离”问题可能用“插空法”等.

【例9】(1) 6男2女排成一排，2女相邻，有多少种不同的站法？

(2) 6男2女排成一排，2女不能相邻，有多少种不同的站法？

(3) 4男4女排成一排，同性者相邻，有多少种不同的站法？

(4) 4男4女排成一排，同性者不能相邻，有多少种不同的站法？

【变式】某小组6个人排队照相留念.

(1) 若排成一排照相，甲、乙两人必须在一起，有多少种不同的排法？

(2) 若排成一排照相，其中甲必在乙的右边，有多少种不同的排法？

(3) 若排成一排照相，其中有3名男生3名女生，且男生不能相邻有多少种排法？

(4) 若排成一排照相，且甲不站排头乙不站排尾，有多少种不同的排法？

(5) 若分成两排照相，前排2人，后排4人，有多少种不同的排法？

【例10】用0，1，2，3，4，5六个数字，能排成多少个满足条件的四位数.

(1) 没有重复数字的四位偶数？

【变式】用0，1，2，3，4，5，6七个数字.

(1) 能组成多少个没有重复数字的四位奇数？

(2) 能被5整除的没有重复数字四位数共有多少个？

(2) 比1325大的没有重复数字四位数？

【例11】从4种蔬菜品种中选出3种，分别种植在不同土质的3块土地上进行实验，有多少种不同的种植方法？

【例12】在3000至8000之间有多少个无重复数字的奇数？

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1. 一个学生有20本不同的书. 所有这些书能够以多少种不同的方式排在一个单层的书架上？

2. 学校要安排一场文艺晚会的11个节目的演出顺序. 除第一个节目和最后一个节目已确定外，4个音乐节目要求排在第2，5，7，10的位置，3个舞蹈节目要求排在第3，6，9的位置，2个曲艺节目要求排在第4，8的位置，求共有多少种不同的排法？

7. 组合(1)

组合的概念：一般地，从个元素中取出(m ≤n )个元素一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.

【例1】从甲，乙，丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？

【例2】试写出集合{a,b,c,d,e }的所有含有2个元素的子集.

小结：组合与元素的顺序关，两个相同的组合需要个条件，是