高中数学必修三

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高中数学必修三

第二章、统计

2.1随机抽样

1、简单随机抽样

（1）简单随机抽样的概念

一般地，设总体中有N 个个体，从中逐个不放回地抽取n 个个体作为样本（n ≦N ），如果每次抽取时总体内的各个个体被抽到的机会均等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样。这样抽取的样本，叫做简单随机样本。 （2）简单随机抽样的特点

a. 要求被抽取的样本的总体个数有限。这样便于通过随机样本对总体进行分析 b. 从总体中逐个地进行抽取的，这样便于在抽样实践中进行操作

c. 它是一种不放回抽样，这样避免了重复抽取个体，便于进行有关的分析和计算 d. 它是一种等概率抽样 （3）简单随机抽样的方法 ①抽签法

②随机数表法

用随机数表法抽取样本的步骤：

a. 将总体的所有个体编号（每个号码位数一致）； b. 在随机数表中任选一个数作为开始； c.

从选定的数开始按一定的方向读下去，得到的数码若不在编号中，则跳过；若在编号中则取出，得到的数码在前面已经取出，也跳过。如此进行下去，直到取满为止； d. 根据选定的号码抽取样本

例题（13江西文）总体编号为01，02，„19，20的20个个体组成。利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取

A.08 B.07 C.02 D.01

解：从第5列和第6列选出的两位数依次为65，72，08，02，63，14，07，02，43，69，97，28，01，98，但编号必须不大于20的且不和前面重复的只能是08，02，14，07，01，选D

2. 系统抽样

（1）系统抽样的概念

当总体中的个数比较多时，讲总体分成均衡的几个部分，然后按照预先定出的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需要的样本，这样的抽样叫做系统抽样。 （2）系统抽样的步骤

从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本的步骤：

a. 编号（在保证编号的随机性的前提下，可以直接利用个体所带的编号）；

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b. 分标（确定分段间隔k ，当

N N 为整数时，取k=）； n n

c. 确定个体起始编号（在第1段采用简单随机抽样来确定）；

d. 按照事先确定的规则抽取样本（通常是将l 加上k ，得到第2个编号，第3个编号l+2k,

第4个编号l+3k，以此类推，第n 个编号为l+（n-1）k ） （3）系统抽样的特征

a. 适用于总体容量较大的情况；

b. 剔除多余个体及第一段抽样都用简单的简单随机抽样，因而与简单随机抽样有密切联

系； c.

等可能抽样，每个个体被抽到的可能性相等。

例题：（10湖北文）将参见夏令营的600名学生编号为：001，002，003，···，600. 采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽到的号码为003。这600个学生分住在三个营区，从001到300在第一营区，从301到495在第二营区，从496到600在第三营区，三个营被抽取的人数依次为 （ ）

A.25，17，8 B.25，16，9 C.26，16，8 D.24，17，9

解：答案A ，总体数为600，样本容量是50，所以k=600÷50=12，因此每隔12个号抽到一

名，由于随机抽得的第一个号码为003，按照系统抽样的步骤在第一营区应抽到25人，在第二营区抽到17人，在第三营区抽到8人。

3、分层抽样

（1）分层抽样的概念

当总体的个数由差异明显的几个部分组成时，常将总体分成几个部分，然后按照各个部分所占的比例进行抽样，这种抽样方法叫做分层抽样。抽样过程中每个个体被抽取到的概率相等，为

n

（其中n 为样本容量，N 为总体中个体总数） N

（2）分层抽样的步骤

① 将总体按一定标准进行分层；

② 计算各层的个体数占总体的比；

③ 按各层的个体数占总体的比确定各层应抽取的样本容量； ④ 在每一层进行抽样（可用简单随机抽样或者系统抽样） （3）分层抽样的特点 a.

适应于总体由差异明显的几部分组成的情况； b. 更充分地反映了总体的情况； c.

等可能抽样，每个个体抽取的可能性都是

N 。 n

例题（11湖北文）某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家．为掌握各

类超市的营业情况，现按分层抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取中型超市（ ）家

解： 大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家. 共有超市200+400+1400=2000

按分层抽样方法抽取一个容量为100样本，每个个体被抽到的概率是

1001

，中型200020

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超市要抽取400×

高考真题选讲：

1

=20家. 20

1. （13湖南文）某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120

件，80件，60件。为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n 的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n=（ ）

A . 9 B . 10 C . 12 D . 13

2. （12四川文）交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查。假设四个社区驾驶员的总人数为N ，其中甲社区有驾驶员96人。若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N 为（ ）

A 、101 B 、808 C 、1212 D 、2012 3．（12福建文）某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有30名，高二年级有40名。现

用分层抽样的方法在这70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了6

名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为 A ．6 B ．8 C ．10 D ．12

4. （12浙江文）某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本中男生人数为____________.

5. （11山东文）某高校甲、乙、丙、丁四个专业分别有150、150、400、300名学生，为了解学生的就业倾向，用分层抽样的方法从该校这四个专业共抽取40名学生进行调查，应在丙专业抽取的学生人数为 .

6. 【2012高考浙江文11】某个年级有男生560人，女生420人，用分层抽样的方法从该年级全体学生中抽取一个容量为280的样本，则此样本男生人数为____________

7. （2012•山东）采用系统抽样方法从960人中抽取32人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2，„，960，分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为9．抽到的32人中，编号落入区间[1，450]的人做问卷A ，编号落入区间[451，750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C ．则抽到的人中，做问卷B 的人数为（ ） A．7 B．9 C．10 D．15

8. （10安徽文) 某地有居民100000户，其中普通家庭99 000户, 高收入家庭1 000户．从普通家庭中以简单随机抽样方式抽取990户，从高收入家庭中以简单随机抽样方式抽取l00户进行调查，发现共有120户家庭拥有3套或3套以上住房，其中普通家庭50户，高收人家庭70户．依据这些数据并结合所掌握的统计知识，你认为该地拥有3套或3套以上住房的家庭所占比例的合理估计是 .

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2.2. 用样本估计总体

1、频率分布直方图

（1）频率分布直方图的概念

反映样本频率分布规律的直方图，称为频率分布直方图，简称频率直方图。 （2）画频率直方图的主要步骤

a) 求极差（即一组数据中最大值与最小值的差）

b) 决定组距与组数（组距，指每个小组的两个端点的距离），为了方便，组距的选择应力

求“取整”。组数=c) 将数据分组 d) 列频率分布表

落在各个小组内的数据的个数叫做频数，每小组的频数与数据总数的比值叫做这一小组的频率。算出各小组的频率，填入表中：

e) 画频率直方图

图中每个小长方形的面积表示相应各组的频率，即小长方形的面积=组距⨯各小长方形的面积之和等于1. 3. 频率直方图的重要结论

① 小长方形的面积=组距⨯

极差

频率

=频率 组距

频率

=频率； 组距

② 各小长方形的面积之和等于1，各组的频率之和等于1； ③ 小长方形的高=

频率1

，所有小长方形的高的和为

组距组距

例题：女生身体健康问题抽样70名女生身高数据，画频率分布图。

167

154

159

166

169

159

156

166

162

158

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159 160 158 162 158 162 1、求极差

156 156 158 162 160 162

166 166 153 159 165 159

160 160 158 154 158 157

164 164 164 165 163 159

160 160 158 166 163 149

157 157 163 157 162 164

156 156 158 151 161 168

157 157 153 146 154 159

161 161 157 151 165 153

极差＝最大值－最小值＝169－146＝23 2、分组 组数＝

极差232

=7⇒8 ＝

33

3、决定分点

[146，149） [158，161）

4、列频率分布表

分组 [146，149） [149，152） [152，155） [155，158） [158，161） [161，164） [164，167） [167，170）

[149，152） [161，164）

[152，155） [164，167）

[155，158） [167，170）

频数 2 2 6 20 16 13 9 2

频率 0.028571 0.028571 0.085714 0.285714 0.228571 0.185714 0.128571 0.028571

频率/组距 0.009524 0.009524 0.028571 0.095238 0.07619 0.061905 0.042857 0.009524

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3. 茎叶图

统计中还有一种被用来表示数据的图叫做茎叶图。茎指的是中间的一列数，叶是指从茎的旁边生长出来的数。

当数据较少时，用茎叶图表示数据的效果较好，制作两位数茎叶图的方法是将所有两位数的十位数字作为“茎”，个位数字作为“叶”，茎相同者共用一个茎，茎按照从小到大的顺序从上往下列出，共茎的叶在同一行列出。

例题：（10年天津理）甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如下图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这10天甲、乙两人日加工零件的平均数分别为 24 和 23 。

解析：

1

⨯（19+18+20+21+23+22+20+31+31+35）=2410 1乙=⨯（19+17+11+21+24+22+24+30+32+30）=23

10甲=

4. 用样本的数字特征估计总体的数字特征 （1）总体特征数

能反映总体某些特征的量称为总体特征数 （2）平均数

如果有n 个数x 1,x 2,...,x n ，那么x =（3）中位数

将一组数据按大小依次排列，把处在中间位置的一个数据（或中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数。 （4）众数

在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。 5. 众数、平均数、中位数的异同点

① 众数、平均数、中位数都是描述一组数据集中趋势的量，其中平均数是最重要的量； ② 平均数的大小与一组数据都有关系，任何一个数据的变动都会引起平均数的变动； ③ 众数考察各数据出现的频率，大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中x 1+x 2+... +x n

叫做这几个数的平均数

n

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有较多数据重复出现时，其众数往往更能反映问题；

④ 中位数仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对它是没有影响的。当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其集中趋势；

⑤ 实际问题中的平均数、众数和中位数都应该带上单位 6. 标准差

考察样本数据的分散程度的大小，最常用的统计量是标准差。标注差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s 表示。 S=

1

[(x 1-x ) 2+(x 2-x ) 2+... +(x n -x ) 2] n

2

标准差的平方S 叫做方差

2

S =[(x 1-x ) +(x 2-x ) +... +(x n -x ) ]

1n

222

（1）方差和标准差

它们都是用来描述一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小。方差较大的数据波动较大，方差较小的数据波动较小； （2）平均数与方差

平均数反映了样本中所有数据的平均水平，而方差反映了样本中全体数据的波动程度。当两组样本的平均数相差无几时，就要用方差来衡量两组样本的波动（离散）程度，从而对样本得到全面认识。

例题：（10年陕西文）如图，样本A 和B 分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为

x A 和x B , 样本标准差分别为s A 和s B , 则 x A ＞x B ，s A ＞s B x A ＜x B ，s A ＞s B x A ＞x B ，s A ＜s B x A ＜x B ，s A ＜s B

(A) (B) (C)

（D)

解析：B ，离散程度越大方差越大

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高考真题选讲

1. （10湖北）有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布

直方图估计，样本数据落在区间[10, 12) 内的频数为 A ．18 B ．36 C ．54 D ．72

2.(2013辽宁) 某班的全体学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．若低于60分的人数是15，则该班的学生人数是( ) ．

A ．45 B ．50 C ．55 D ．60

2 4 6 8 10 12

样本数据

3. （2014山东）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图， 数据的分组一次为20,40), 40,60), 60,80),820,100). 若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是

（A ）45 （B ）50 （C ）55 （D ）60

4.(2013四川，文) 某学校随机抽取20个班，调查各班中有网上购物经历的人数，

[[[[

所得数据的茎叶图如图所示，以组距为5将数据分组成[0,5)，[5,10)，„，[30,35)，[35,40]时，所作的频率分布直方图是( ) ．

5.(13重庆) 下图是某公司10个销售店某月销售某产品数量（单位：台）的茎叶图，则数据落在区间[20,30）内的概率为

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（A ）0.2 （B ）0.4 （C ）0.5 （D ）0.6

6. 将选手的9个得分去掉1个最高分和一个最低分，7个剩余分数的平均数为91. 现场做的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示： 8 7 7

9 4 0 1 0 x 9 1 则7个剩余分数的方差为（ ）

1 2 3

8 1 0

9 2 0

2 3

7

9

题（5）图

A .

16366 B . C . 36 D . 977

7. （2011重庆）从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下(单位：克) ： 125 120 122 105 130 114 116 95 120 134 则样本数据在[114.5,124.5]内的频率为

(A)0.2 (B)0.3 (C)0.4 (D)0.5

8. （2012年山东）在某次测量中得到的A 样本数据如下：82，84，84，86，86，86，88，88，88，88. 若B 样本数据恰好是A 样本数据都加2后所得数据，则A ，B 两样本的下列数字特征对应相同的是

(A)众数 (B)平均数 (C)中位数 (D)标准差

9. （2012年陕西）对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，

得到样本的茎叶图（如图所示），则改样本的中位数、众数、极差分别是 （ A ）

A ．46，45，56 B ．46，45，53 C ．47，45，56 D ．45，47，53 10. （2010北京）从某小学随机抽取100名同学，将他 们身高（单位：厘米）数据绘制成频率分布直方图（如图）。 由图中数据可知a= 。若要从身高在

[120，130﹚，[130，140﹚，[140，150]三组内的学生中，

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用分层抽样的方法选取18人参加一项活动，则从身高 在[140，150]内的学生中选取的人数应为 。

11（2012广东）某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：[50,60][60,70][70,80][80,90][90,100]。 （1）求图中a 的值；

（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；

(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数（x ）与数学成绩相应分数段的人数（y ）之比如下表所示，求数学成绩在[50，90）之外的人数。

12. （10湖北）为了了解一个小水库中养殖的鱼有关情况，从这个水库中多个不同

位置捕捞出100条鱼，称得每条鱼的质量（单位：千克），并将所得数据分组，画出频率分布直方图（如图所示）

（Ⅰ）在答题卡上的表格中填写相应的频率；

（Ⅱ）估计数据落在（1.15,1.30）中的概率为多少；

（Ⅲ）将上面捕捞的100条鱼分别作一记号后再放回水库，几天后再从水库的多处不同位置捕捞出120条鱼，其中带有记号的鱼有6条，请根据这一情况来估计该水库中鱼的总条数。

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2.3变量间的相关关系

1. 变量间的关系

变量间的关系常见的两种类型：一类是确定性关系，即函数关系；另一类是变量变量之间虽然确定存在关系，但是却不具有函数关系所要求的确定性，它们的关系带有随机性，具有不确定性，我们把这种关系称为相关关系。 2. 两个变量的线性相关 （1）回归分析

对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析。通俗的讲，回归分析就是寻找相关关系中非确定关系的某种确定性。 （2）散点图

将n 个数据点（x i ,y i ）（i=1,2,3，...,n ）描在平面直角坐标系中，以表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图。 散点图形象地反映了各对数据的密切程度。 （3）正相关、负相关

从散点图可以看出点散布的位置是从左下角到又上角的区域，即一个变量的值由小到大时，另一个变量的值也由小变大，这种相关称正相关。

在散点图中，点散布的位置是从左上角到右下角的区域，即一个变量的值由小变大时，另一个变量的值由大变小，这种相关称为负相关。 4. 最小二乘法求回归直线方程

最小二乘法：设Q （a,b ）是直线y=bx+a与各对对应数据表示的散点在纵轴方向上的距离的平方和，可以用来衡量直线=bx+a与图中各点的接近程度，设法取a,b 的值，使Q （a,b ）达到最小值。这种思想方法叫做最小二乘法。 一般的，设有（x,y ）n 对观察数据如下：

2

2

2

当y =b x +a ，Q=(y 1-b x 1-a ) +(y 2-b x 2-a ) +... +(y n -b x n -a ) 取得最小值时，就称=x +为拟合这n 对数据的线性回归方程，将方程所表示的直线称之为回归直线。 其中：

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=

∑(x -x )(y

i

i =1

i

i

i =1

n

i

-y )

=

2

∑x y

i i =1n

i

-n x y -n x

2

∑(x -y ) ∑x

i =1

2

i

1n 1n

a =y -b x 其中（x , y ）为样本中心，x =∑x i ，y =∑y i ，回归直线方程必过样本

n i =1n i =1

中心（x , y ）

例题1. 下列两个变量之间的关系是相关关系的是（ ） A. 正方形的棱长和体积

B. 单位面积产量为常数时，土地面积和产量 C. 日照时间与水稻的亩产量 D. 电压一定时电压与电阻

2. （10黑龙江）观察下列两个相关变量的如下数据：

则两个变量的回归直线为

A. y =0.5x-1 B. y =x C. y =2x+0.3 D. y =x+1

解析：回归直线方程经过样本点的中心（x , y ），因为x =y =0，所以回归直线方程过（0,0），代入四个选项即可得出答案。

高考真题选讲

1. (2013湖北，文4) 四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得

回归直线方程，分别得到以下四个结论：

①y 与x 负相关且y ＝2.347x －6.423；

②y 与x 负相关且y ＝－3.476x ＋5.648； ③y 与x 正相关且y ＝5.437x ＋8.493； ④y 与x 正相关且y ＝－4.326x －4.578. 其中一定不正确的结论的序号是( ) ． ．．．

A ．①② B．②③ C．③④ D ．①④ 2. （13福建，文）已知x 与y 之间的几组数据如下表：

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ˆx +a 假设根据上表数据所得线性回归直线方程为y 若某同学根据上表中前两组数据ˆ=b ˆ．(1, 0) 和(2, 2) 求得的直线方程为y =b 'x +a '，则以下结论正确的是（ ）

ˆ>b ', a ˆ>b ', a ˆa ' B ．b ˆa ' D ．b ˆ

4. （12湖南，理）设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据(x i , y i ) (i =1, 2, , n ) ，用最小二乘法建立的回归方程为

ˆ=0. 85x -85. 71，则下列结论中不正确的是 y ．．．

A ．y 与x 具有正的线性相关关系 B ．回归直线过样本点的中心(, ) C ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0. 85kg D ．若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重比为58. 79kg

5.

ˆ为9．4，据此模型预报广告费用为6万元时销ˆ+a ˆ=bx ˆ中的b 根据上表可得回归方程y

售额为

A ．63．6万元

B ．65．5万元

C ．67．7万元

D ．72．0万元

6. 从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i （单位：千元）与月储蓄y i （单位：千元）的数据资料，算得

∑x

i =1

10

i

=80，∑y i =20，∑x i y i =184，∑x i 2=720．

i =1

i =1

i =1

101010

（1）求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y =bx +a ； （2）判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；

(3)若该居民区某家庭月收入为7千元, 预测该家庭的月储蓄.

7. （11⋅安徽文）某地最近十年粮食需求量逐年上升，

下表是部分统计数据：

ˆ=bx +a ； (Ⅰ) 利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y

(Ⅱ) 利用（Ⅰ）中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量．

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第三章. 概率 1. 随机现象 （1）确定性对象

在一定条件下，事先就能断定必然会出现某种必然结果的现象称为确定性对象，也称作必然现象。 （2）随机现象

在一定条件下多次观察同一现象，每次观察到的结果不一定相同，事先很难预料哪一种结果会出现的现象称作随机现象。 （3）试验

为了探索随机现象发生的规律，就要对随机现象进行观察和模拟，这种观察和模拟的过程就叫做试验。每让其条件试验一次，就成器进行了一次试验 （4）随机试验

一个试验如果满足下述条件：

① 试验可以在相同的条件下重复进行；

② 试验的所有结果是明确可知的，但不止一个；

③ 每次试验的结果总是出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能确定这次试验会出现哪一种结果。

像这样的一个试验就是一个随机实验。 2. 事件 （1）必然事件

在条件S 下，一定会发生的事件，叫做相对于该条件的必然事件。 （2）不可能事件

在条件S 下，一定不会发生的事件，叫做相对于该条件的不可能事件。 （3）确定事件

必然事件 不可能事件 （4）随机事件

在条件S 下，可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S 的随机事件，简称随机事件。

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（5）事件的表示方法

确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母A,B,C,... 等表示。 3. 频率与概率 (1)频数与频率

在相同条件下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数

n A 为事件

0≤

A 出现的频数，称事件A 出现的比值f n (A ) =

n A

为事件A 出现的频率，且n

n A

≤1。 n

m

总在某个n

（2）概率

对于随机事件A ，在n 次重复进行的试验中，当n 很大时，事件A 发生的频率

常数附近摆动。随着试验次数的增加，摆动幅度越来越小。事件A 发生的频率f n (A ) 稳定在某个常数上，把这个常数记作P(A)，称为事件A 的概率，简称A 的概率。 4. 事件的关系 （1）事件的包含关系

①对于事件A 与事件B ，如果事件A 发生，则事件B 一定发生，称事件B 包含事件A （或称事件A 包含于事件B ），记作B ⊇A (或A ⊆B ) , 如图：

②若A ⊆B 且B ⊆A , 则称事件A 与事件B 相等，记作A=B. 两个相等的时间A,B 总是同时发生或同时不发生。 （2）并事件

由事件A 和事件B 至少有一个发生所构成的事件C ，称为A 与B 的并（或和），记作C=A ⋃B (或A+B).如图：

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注：并事件包含三层含义：①事件A 发生，事件B 不发生；②事件B 发生，事件A 不发生； ③事件A 与事件B 都发生。 （3）交（积）事件

事件C 发生的前提是事件A 与事件B 都发生，则称事件C 为事件A 与事件B 的交事件（或积事件），记作A ⋂B(或AB). 当A ，B 相互独立时，事件C 发生的概率P(C)=P(A⋂B)=P(A)×P(B)(或者P(C)=P(AB)=P(A)×P(B))。 （4）互斥事件与对立事件

互斥事件：不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件。即事件A 发生，事件B 不发生；事件B 发生，事件A 不发生。

如果事件A 、B 互斥，则事件A 、B 有一个发生的概率P(A+B)=P(A)+P(B)，如果A 1，A 2，A 3，...,A n 彼此互斥，那么P(A1+A2+A3+...+An )=P(A1)+P(A2)+P(A3)+...+P(An )

对立事件：若A ⋂B 为不可能事件，A ⋃B 为必然事件，那么事件A 与事件B 互为对立事件。

如果事件A 、B 对立，且必有一个发生，则P(A)+P(B)=1，即P(A)=1-P(B) 理解：对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件

互斥事件的理解：在一次试验所产生的结果中，除了情况A 和B 外，可能还有情况C,D,... 等多种情况出现，但是每种情况在一次试验中有且只能出现一次，如事件A 发生了，事件B 就不会发生，反之亦然，这个时候我们就称事件A 与事件B 为互斥事件；

对立事件的理解：在一次试验所产生的结果中，只有A,B 两种结果出现，但两种结果又不能同时出现，即只能出现A 或者B, 我们就称事件A 与B 互为对立事件。

例题：1. （10安徽理）甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个

白球和3个黑球，先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐

取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是 （写出所有正确结论的编号）． ①P (B 1) =

2； 55

②P (B |A 1) =；

11

③事件B 与事件A 1相互独立； ④A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件；

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⑤P (B ) 的值不能确定，因为它与A 1，A 2，A 3中究竟哪一个发生有关．

解析：②④

523，P （A 2）=，P （A 3）=，可以判断④是正确的；而101010

5524349

P （B ）=×+×+×=，则①是错误的；由于P （B|A1）

[**************]5⨯

P (A 1B ) 5===，则②是正确的；同时可以判断出③和⑤是错误的；

11P (A 1)

10

根据题意可得P （A 1）=

2. （10上海）从一副混合后的扑克牌（52张）中随机抽取1张，事件A 为“抽得红桃K ”，

事件B 为“抽得为黑桃”，则概率P （A ⋃B ）==高考真题选讲：

1.(10湖北) 投掷一枚均匀硬币和一枚均匀骰子各一次，记“硬币正面向上”为事件A ，“骰子向上的点数是3”为事件B ，则事件A ，B 中至少有一件发生的概率是 A.

7

（结果用最简分数表示） 26

5173 B. C . D.122124

2. （13安徽）若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戌中录用三人，这无人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为 （A ）

2239 (B) (C) （D ） 35510

3.3古典概型 1. 基本事件

试验结果是有限个，且每个事件都是随机事件的事件称为基本事件。所有基本事件构成的集合称为基本事件空间，常用大写字母基本事件的特征：

①基本事件是试验中不能再分的最简单的随机事件，其他事件可以用它们来表示； ②所有的基本事件都是有限个的； ③每个基本事件的发生都是等可能得。 2. 等可能基本事件

若在每一次试验中，每个基本事件都是随机事件且发生的可能性相等，则称这些基本事件为等可能基本事件。

Ω

（读音同w ）表示.

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3. 古典概型

（1）定义：若一个试验有以下特征：

①有限性：在一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即只有有限个基本事件； ②等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的。 我们把这样的试验称为古典概型。 (2)古典概型的求法：

如果一次实验中的基本事件共有n

1

个，那么，每一个基本事件发生的概率为n

，如果某个事

m

件A 包含了其中的m 个基本事件，那么事件A 发生的概率为P(A)=n .

例题：1. （10北京）从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a ，从{1,2,3}中随机选取一个数为b ，则b>a的概率是 D （A ）

3142

(B) （C ） (D )

5555

2.(10天津) 有编号为A 1, A 2, „A 10的10个零件，测量其直径（单位：cm ），得到下面数据：

其中直径在区间[1.48，1.52]内的零件为一等品。

（Ⅰ）从上述10个零件中，随机抽取一个，求这个零件为一等品的概率； （Ⅱ）从一等品零件中，随机抽取2个.

（ⅰ）用零件的编号列出所有可能的抽取结果； （ⅱ）求这2个零件直径相等的概率。 解析：（Ⅰ）解：由所给数据可知，一等品零件共有6个. 设“从10个零件中，随机抽取一个为一等品”为事件A ，则P （A ）=

63

=. 105

（Ⅱ）（i ）解：一等品零件的编号为A 1, A 2, A 3, A 4, A 5, A 6. 从这6个一等品零件中随机抽取2个，所有可能的结果有：{A 1, A 2}, {A 1, A 3}, {A 1, A 4}, {A 1, A 5}, {A 1, A 6}, {A 2, A 3},

{A 2, A 4}, {A 2, A 5}, {A 2, A 6}, {A 3, A 4}, {A 3, A 5}, {A 3, A 6}, {A 4, A 5}, {A 4, A 6}, {A 5, A 6}共

有15种.

(ii)解：“从一等品零件中，随机抽取的2个零件直径相等”（记为事件B

）的所有可

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能结果有：{A 1, A 4}, {A 1, A 6}, {A 4, A 6}，{A 2, A 3}, {A 2, A 5}, {A 3, A 5}，共有6种. 所以P(B)=

62

=. 155

3. （10山东）一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4. （Ⅰ）从袋中随机抽取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率；

（Ⅱ）先从袋中随机取一个球，该球的编号为m ，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n ，求n

3.4几何概型

（1）几何概型的的定义

如果每个事件发生的概率只与构成事件区域的长度、面积或体积成正比，则称这样的概率模型为集合概率模型，简称几何概型。 （2）几何概型的特征

①结果的无限性，即在一次试验中，基本事件的个数可以是无限的； ②等可能性，即每个基本事件发生的可能性是均等的。 （3）几何概型的计算

在几何概型中，事件A 发生的概率如下：

P (A ) =

构成事件A 的区域长度（面积或体积）

1

。 3

例题：1. （10湖南）在区间[-1,2]上随即取一个数x ，则x ∈[0,1]的概率为

2.(2013福建) 利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a ，则事件“3a －1＜0”发生的概率为__________．

3.（13湖南）已知事件“在矩形ABCD 的边CD 上随机取一点P ，使△APB

AD

的最大边是AB ”发生的概率为0.5，则=

AB A.

11 B. D

24

高考真题选讲：

1. （14江西）掷两颗均匀的骰子，则点数之和为5的概率等于（ ）

A .

1111 B . C . D . 189612

2. (14湖北) 随机掷两枚质地均匀的骰子, 它们向上的点数之和不超过5的概率记为p 1, 点数之和大于5的概率记为p 2, 点数之和为偶数的概率记为p 3, 则( ) A.p1

3. (14陕西) 从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为（ ）

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1234A . B . C . D . 5555

4. （14新课标）将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行, 则2本数学书相邻的概率为——

5. （2012·湖北在扇形OAB

6. （2012·北京）设不等式组

表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，

则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ）

π-24-πππ

（A ）4 （B ）2 （C ）6 （D ）4

7. （2012·辽宁）在长为12cm 的线段AB 上任取一点C ，现作一矩形，邻边长分别等于线段AC,CB 的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为( )

112 (A)6 (B)3 (C) 34

(D)5

8. （2012·安徽）袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3

个黑球，从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于( )

1234（A ）5 （B ）5 （C ）5 （D ）5

9. （2012·浙江）从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中，随机（等可能）取两点，则

该两点间的距离为2的概率是___________.

10. （2012·山东）袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1，2，3；蓝色卡片两张，标号分别为1，2.

(Ⅰ) 从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率. (Ⅱ) 现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.

11. （2012·天津）某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从

芜湖启东辅导学校--高考数学一轮复习章节分类汇编 （文|理） 编辑：王玉国 这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查.

（I ）求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目.

（II ）若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析，

（1）列出所有可能的抽取结果；

（2）求抽取的2所学校均为小学的概率.

12. （2012·陕西）假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等，为了解它们的使用寿命，现从两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试，结果统计如下：

（Ⅰ）估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率.

（Ⅱ）这两种品牌产品中，某个产品已使用了200小时，试估计该产品是甲品牌的概率.

水若长流能成河，山以积石方为高 咨询电话：180-107-33448