上海理工大学入学考试[高等数学

2009 上海理工大学专升本入学考试《高等数学》

试题

考生类别（文、理）

一、 选择题（每题3分，共15分）

积的____充分_____条件。

3. 方程

x y '''+2x 2y '+x 3y 4y ''=s i n x

是

_____三_____阶微分方程。

4. 平行于向量

1.

⎛x +1⎫

lim ⎪=____C_____。 x →+∞2x -1⎝⎭

x

m ={6, 7, 6}

的单位向量是

A. 0 B. +∞ C. 不存在

1D. e

2

2. 两个无穷大的和一定是___D____。

A. 无穷大量 B. 常数 C. 没有极限 D. 上述都不对

3. 在抛物线

y =x 2上过____D_______点的切线

与抛物线上横坐标为x 1=1和x 2=3的两点

连线平行。 A.

(1, 1) B. (3, 9) C.

(0, 0) D. (2, 4)

4. 在下列函数中，在[-1, 1]上满足罗尔定理条件的是____C______。 A.

e x

B.

ln |x |

C.

1-x 2 D.

11-x 2

5.

x =0是f (x ) =x sin

1

x

的_____ A ____。 A. 可去间断点 B. 跳跃间断点 C. 无穷间断点 D. 震荡间断点

二、 填空题（每空3分，共15分） 1. ⎰

2

|x -1|dx =___1____ 2.

f (x ) 在[a , b ]上连续是f (x ) 在[a , b ]上可

_

⎧⎨676⎫⎩11, 11, 11⎬⎭

和

⎧⎨⎩-6

11, -711, -6⎫11⎬⎭

________。

5. 若直线

y =x +b 是抛物线y =x 2在某点处

的法线，则b

=_____

3

4

______。

三、 计算题（每题6分，共36分）

2x

+t ) dt

1. lim

⎰0

ln(1x →0

1-cos x

原式=lim

2ln(1+2x ) 2⋅2x →0sin x =lim x

x →0x

=4

2. 设

y =x arcsin

x

+9-x 23

+ln 2，求dy

⎡⎢

⎤

⎥dy =⎢

⎢arcsin x x 1x ⎥⎢3+32-

-x 2⎥dx ⎢1-⎛x ⎫⎥⎣

⎝3⎪⎭⎥⎦

3. 设u

=xf (x 2+y 2, e x sin y ) ，

且f (u , v ) 有二阶连续偏导数，求u y 和u xy

∂u

=x f 1⋅2y +f 2(e x c o s y ) ∂y

[]

L :

x -4y +3z

==的平面方程。 521

∂2u ∂2u

==2yf 1+e x c o s yf 2+ ∂x ∂y ∂y ∂x

思路：在直线找一点P 1(4, -3, 0) ，作PP 1⨯S

得平面的法向量，由点法式方程即得。

五（8分）：求函数

y =2x 3-3x 2-12x 在区间

x 2yf 11⋅2x +2yf 12⋅e x sin y +e x cos yf 2+e x cos y (f 21⋅2x +f 22⋅e x sin y )

[-2, 4]上最大值和最小值。

[]

化简略。

解：

dy 2x -y

4. 设(x +y ) =e ，求

dx

设F (x , y )

y '=6x 2-6x -12=6(x -2)(x +1) =0

∴x =-1, x =2

由

=(x +y ) 2-e x -y

f (-1), f (2), f (-2), f (4) 比较，得

5.

F x dy 2(x +y ) -e x -y =-=-dx F y 2(x +y ) +e x -y

x +1

⎰x ln xdx

max f (x ) =32⇒x =4

式

六（8分）：设可导，且

min f (x ) =-20⇒x =2

原=

f (x ) 在[0, 1]上连续，在(0, 1) 内

f (0) =f (1) =0，记

1⎛1⎫2)1+ln xdx =x ln x -dx +ln xd ln x =x ln x -x +ln x +C ⎪⎰⎝x ⎭⎰⎰M =max 2f (x ) , x ∈[0, 1]。证明：至少存

}

6. 求微分方程 解：r

2

在一点ξ∈(0, 1), 使得f '(ξ) ≥2M

。

y ''-5y '+6y =2e x 的通解。

r =2, 3

证明：设x 0∈(0, 1), f (x 0) =M >0 （若

-5r +6=0

M =0，则f (x ) ≡0显证）

在[0, x 0]f (x ) 满足Lagrange 定理条件

∴齐通解：

y =c 1e 2x +c 2e 3x

非齐一个特解：

y =ae

*x

代入原方程

a =1，

∴通解

四、（8分）：求过点

∃ξ1∈(0, x 0)

y =c 1e 2x +c 2e 3x +e x

在

f '(ξ1) =

f (x 0) -f (0) f (x 0)

=

x 0x 0∃ξ2∈(x 0, 1)

[x 0, 1]

上同样

P (3, 1, -2)

且通过直线

f '(ξ2) =

f (1) -f (x 0) -f (x 0)

=

1-x 01-x 0

∴M

=f (x 0) =x 0f '(ξ1)

原式

1

∴M =f (x 0) =(1-x 0) f '(ξ2)

∴2M

=⎰

s y

y

dy ⎰2dx =⎰(y -y 2)

y

y 1

s y

y

1i

dy =⎰(1-y ) s

ydy =⎰

=x 0f '(ξ1) +(1-x 0) f '(ξ2)

f '(ξ1) ≥f '(ξ2)

讨论：①当 则

=-cos y 0+y cos y 0-⎰cos ydy =-cos 1+1+cos 1-sin y

11

1

1

2M =x 0f '(ξ1) +(1-x 0) f '(ξ2) ≤x 0f '(ξ1) +(1-x 0) f '(ξ1) =f '(ξ1)

1

2. 计算⎰⎰其中D 由曲线dxdy ， 22

D 1+x +y

②当f '(ξ1) ≤f '(ξ2)

x 2+y 2=1, x =0, y =0在第一象限所

则

2M =x 0f '(ξ1) +(1-x 0) f '(ξ2) ≤x 0f '(ξ2) +(1-x 0) f '(ξ2) =f '(ξ2)

⎧x =θ令 ⎨

⎩y =r sin θ

证毕。

七（每题5分，共10分，文科类考生必做）： 1. 设z

原式

=f (x 2+y 2) ，其中f (u ) 二阶连续

rdrd θπ21=⎰⎰=+r )

=ln 2041+r D

可导，求

∂z

。 ∂x ∂y

2

x

∂z

=f '⋅2x ∂x

2.

2

∂2z

=2x f ''⋅(2y ) =4xy f ''∂x ∂y

⎰

-1

xe |x |dx

式

原=

⎰xe

-1

1

|x |

dx +⎰xe dx =⎰xde =xe

1

1

2

x

2

x

x 21

-⎰e dx =2e -e -e

1

2

x 2

x 21

八（每题5分，共10分，理工类考生必做）： 1. 计算

=2e 2-e -e 2+e =e 2

x

⎰

1

dx ⎰

x

x

sin y

dy y