20**年不等式复习讲义.doc

不等式期末复习讲义

一、 知识点

1．不等式性质

实数的运算性质与大小顺序之间的关系

用途：a 、比较两个实数的大小

b 、证明不等式的性质 c 、证明不等式和解不等式

比较大小方法：（1）作差比较法（2）作商比较法

不等式的基本性质

①对称性：a > b⇔b > a

②传递性: a > b, b > c⇔a > c

③可加性: a > b ⇒a + c > b + c

④可积性: a > b, c > 0⇒ac > bc；

a > b, c

⑤加法法则: a > b, c > d ⇒ a + c > b + d

⑥乘法法则：a > b > 0, c > d > 0 ⇒ ac > bd

⑦乘方法则：a > b > 0, ⇒ an > bn (n∈N)

⑧开方法则：a > b > 0, ⇒a >b (n ∈N )

2．算术平均数与几何平均数定理：

（1）如果a 、b ∈R, 那么a 2 + b2 ≥2ab （当且仅当a=b时等号）

a +b ≥ab （当且仅当a=b时等号） （2）如果a 、b ∈R ＋, 那么2

推广：

22⎛a +b ⎫a +b 如果a , b 为实数，则ab ≤ ⎪≤2⎝2⎭2

重要结论

1）如果积xy 是定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P ；

（2）如果和x ＋y 是定值S ，那么当x ＝y 时，和xy 有最大值S 2/4。

条件为“一正二定三相等” 一正：各项都是正数 二定：求和积定，求积和定 三相等：等号能成立 当等号不成立时，利用下列函数求最值。 a 函数f(x)=x +(a>0) 在(0,a ] x

上递增，在[a , +∝) 上递减。

3．证明不等式的常用方法： ••••• 比较法：比较法是最基本、最重要的方法。当不等式的两边的差能分解因

式或能配成平方和的形式，则选择作差比较法；当不等式的两边都是正数且

它们的商能与1比较大小，则选择作商比较法；碰到绝对值或根式，我们还

可以考虑作平方差。

综合法：从已知或已证明过的不等式出发，根据不等式的性质推导出欲证

的不等式。综合法的放缩经常用到均值不等式。

分析法：不等式两边的联系不够清楚，通过寻找不等式成立的充分条件，

逐步将欲证的不等式转化，直到寻找到易证或已知成立的结论。

a +m a 结论：已知a 、b 、m 都是正数，且a b +m b

4．不等式的解法

（1） 不等式的有关概念

同解不等式：两个不等式如果解集相同，那么这两个不等式叫做同解不

等式。

同解变形：一个不等式变形为另一个不等式时，如果这两个不等式是同

解不等式，那么这种变形叫做同解变形。

提问：请说出我们以前解不等式中常用到的同解变形

去分母、去括号、移项、合并同类项

（2） 不等式ax > b的解法

①当a>0时不等式的解集是{x|x>b/a}；

②当a

③当a=0时,b

（3） 一元二次不等式与一元二次方程、二次函数之间的关系

（4）绝对值不等式

｜x ｜＜a （a ＞0）的解集是｛x ｜－a ＜x ＜a ｝

－a 0 a

｜x ｜＞a （a ＞0）的解集是｛x ｜x ＜－a 或x ＞a ｝，几何表示为：

－a 0 a

小结：解绝对值不等式的关键是—去绝对值符号（整体思想，分类讨论）转化为不含绝对值的不等式，通常有下列三种解题思路：

（1）定义法：利用绝对值的意义，通过分类讨论的方法去掉绝对值符号；

（2）公式法：| f(x) | > a ⇔f(x) > a或f(x)

（3）平方法：| f(x) | > a(a>0) ⇔f 2(x) > a2；| f(x) | 0) ⇔ f 2(x)

义。

(5)分式不等式的解法

f (x ) f (x ) >0⇔f (x ) g (x ) >0,

(6)一元高次不等式的解法

数轴标根法

把不等式化为f(x)＞0（或＜0）的形式（首项系数化为正），然后分解因式，再把根按照从小到大的顺序在数轴上标出来，从右边入手画线，最后根据曲线写出不等式的解。

（7）含有绝对值的不等式

定理：|a| － |b|≤|a+b|≤|a| + |b|

• |a| － |b|≤|a+b|

中当b=0或|a|>|b|且ab

• |a+b|≤|a| + |b|

中当且仅当ab ≥0等号成立

推论1：｜a 1 + a2 + a3| ≤｜a 1 | +| a2 | + | a3|

推广：｜a 1 + a2 +…＋ a n | ≤｜a 1 | +| a2 | +…+ | an |

推论2：|a| － |b|≤|a－b|≤|a| + |b|

二、常见题型专题总结：

专题一：利用不等式性质，判断其它不等式是否成立 1、a 、b ∈R, 则下列命题中的真命题是（ C ）

A 、若a>b，则|a|>|b| B 、若a>b，则1/a

C 、若a>b，则a 3>b3 D 、若a>b，则a/b>1

2、已知a

A 、a>ab>ab2 B 、ab 2>ab>a

C 、ab>a>ab2 D 、ab>ab2>a

3、当0

A 、(1―a) 1/b >(1―a) b B 、(1+a)a >(1+b)b

C 、(1―a) b >(1―a) b/2 D 、(1―a) a >(1―b) b

4、若log a 3>logb 3>0，则a 、b 的关系是（ B ）

A 、0a>1

C 、02222a b 5、若a>b>0，则下列不等式①1/ab；③lg(a+1)>lg(b+1)；④2>2中成立

的是（ A ）

A 、①②③④ B 、①②③ C 、①② D 、③④

（二）比较大小

1、若0

A 、a ＜b B 、a ＞b C 、ab ＜1 D 、ab ＞2

n n n －1n －12、a 、b 为不等的正数，n ∈N ，则(ab+ab) －(a+b) 的符号是（ C ）

A 、恒正 B 、恒负

C 、与a 、b 的大小有关 D、与n 是奇数或偶数有关

22223、设1＜x ＜10，则lg x,lgx ,lg(lgx)的大小关系是lgx >lgx>lg(lgx)

4、设a>0,a≠1, 比较log a t/2与log a (t+1)/2的大小。

5、比较b

a 与a

b 的大小。

6、若a ≥1，比较M =a +1a 与N =a －a －1的大小。

a +b 2a 2+b 2

7、设a 、b 是不相等的正数，A ＝，G ab ，H ＝，Q 21/a+1/b2试　比较A 、G 、H 、Q 的大小　。

分析：要比较大小的式子较多，为避免盲目性，可先取特殊值估测各式大小关系，然后用比较法（作差）即可。

（三）利用不等式性质判断P 是Q 的充分条件和必要条件

1、设x 、y ∈R, 判断下列各题中，命题甲与命题乙的充分必要关系

⑴命题甲：x>0且y>0， 命题乙：x+y>0且xy>0 充要条件

⑵命题甲：x>2且y>2， 命题乙：x+y>4且xy>4 充分不必要条件

2、已知四个命题，其中a 、b ∈R

22222222①a

22与(a－b) 异号；④a

_ 。

3、“a+b>2c”的一个充分条件是（ C ）

A 、a>c或b>c B 、a>c或b ＜c C 、a>c且b>c D 、a>c且b ＜c

（四）范围问题

1、设60＜a ＜84, －28＜b ＜33, 求：a+b,a－b,a/b的范围。

2、若二次函数y=f(x)的图象过原点，且1≤f(―1) ≤2,3≤f(1)≤3，求f(―2) 的范围。

（五）均值不等式变形问题

1、当a 、b ∈R 时, 下列不等式不正确的是（ D ）

A 、a 2+b2≥2|a|•|b| B、(a/2+b/2)2≥ab

C 、(a/2+b/2)2≤a 2/2+b2/2 D 、log 1/2(a2+b2) ≥log 1/2(2|a|•|b|)

2、x 、y ∈(0,+∞) ，则下列不等式中等号不成立的是（ A ）

A 、x +1+x

C 、(x+y)(1/x+1/y)≥4 D 、(lgx/2+lgy/2)2≤lg 2x/2+lg2y/2

3、已知a>0,b>0,a+b=1，则(1/a2―1)(1/b2―1) 的最小值为（ D ）

A 、6 B 、7 C 、8

4、已知a>0,b>0,c>0，a+b+c=1，求证：1/a+1/b+1/c≥9

5、已知a>0,b>0,c>0,d>0,求证：

（六）求函数最值

1、若x>4,函数y =-x +11(x+) ⋅(y+) ≥4 ≥2 B 、1x y x +x 1ad +bc bc +ad +≥4 bd ac 1，当x =____时，函数有最＿值是_____。 4-x

5、大、－6

2、设x 、y ∈R, x+y=5，则3x +3y 的最小值是（ ）D

A 、10 B 、63 C 、46 D 、

3、下列各式中最小值等于2的是（ ）D

A 、x/y+y/x B 、x 2+5

x 2+4 C 、tan α+cotα D、2x +2x －

4、已知实数a 、b 、c 、d 满足a+b=7,c+d=5,求(a+c)2+(b+d)2的最小值。

5、已知x>0,y>0,2x+y=1,求1/x+1/y的最小值。

（七）实际问题

1、98（高考）如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2cm 的无盖长方体沉淀箱，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出，设箱体的长度为am ，高度为bm ，已知流出的水中该杂质的质量分数与a 、b 的乘积ab 成反比，现有制箱材料60m 2，问当a 、b 各为多少米时，沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A 、B 孔的面积忽略不计）。

解一：设流出的水中杂质的质量分数为y ，

由题意y=k/ab，其中k 为比例系数(k>0)

据题设2×2b+2ab+2a=60(a>0,b>0) ∴b =30-a 2+a 由a>0,b>0可得0

∴y =k k = ab 30a -a 2

2+a

令t=2+a，则a=t－2 从而

30a -a 230(t -2) -(t -2) 234t -t 2-646464===34-(t +) ≤34-2t ⋅=18 2+a t t t t 当且仅当t=64/t，即t=8,a=6时等号成立。∴y=k/ab≥k/18

当a=6时,b=3，

综上所述，当a=6m,b=3m时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。

解二：设流出的水中杂质的质量分数为y ，由题意y=k/ab，其中k 为比例系数(k>0) 要求y 的最小值，即要求ab 的最大值。

据题设2×2b+2ab+2a=60(a>0,b>0)，即a+2b+ab=30

a +2b ≥22ab (当且仅当a =2b 时等号成立）

∴ab +22ab ≤30，解得－52≤ab ≤32

即0

即a=6,b=3时，ab 有最大值，从而y 取最小值。

综上所述，当a=6m,b=3m时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。

2、某工厂有旧墙一面长14米, 现准备利用这面旧墙建造平面图形为矩形，面积为126 米2的厂房，工程条件是：①建1米新墙的费用为a 元；②修1米旧墙的费用为a/4元；③拆去1米旧墙用所得材料建1米新墙的费用为a/2元. 经过讨论有两种方案：⑴利用旧墙的一段x(x

解：设总费用为y 元，利用旧墙的一面矩形边长为x 米，则另一边长为126/x米。

⑴若利用旧墙的一段x 米(x

当且仅当x ＝12时等号成立，∴x ＝12时y min =7a(6－1)=35a。

⑵若利用旧墙的一段x 米(x≥14) 为矩形的一面边长，则修旧墙的费用为x •a/4元，建新墙的费用为(2x+ 2•126/x－14) •a 元，故总费用

a 2527126x +a (2x +-14) =a +2a (x +-7) 4x 2x 126 x +≥2, 当x =

设f(x)=x+126/x, x2>x1≥14，则f(x2) －f(x1)= x2+126/x2－(x1+126/x1)

=(x2―x 1)(1―126/x1x 2)>0∴f(x)=x+126/x在［14，＋∞) 上递增，∴f(x)≥f(14)

∴x=14时y min =7a/2+2a(14+126/14－7)=35.5a

综上所述，采用方案⑴，即利用旧墙12米为矩形的一面边长，建墙费用最省。

（八）比较法证明不等式

1、已知a 、b 、m 、n ∈R +, 证明：a m+n+bm+n≥a m b n +an b m

变：已知a 、b ∈R +, 证明：a 3/b+b3/a≥a 2+b2

2、已知a 、b ∈R +,f(x)=2x2+1,a+b=1,证明：对任意实数p 、q 恒有a •f(p)+b•f(q)≥f(ap+bq)

（九）综合法证明不等式

1、已知a 、b 、c 为不全相等的正数，求证：b +c -a a +c -b a +b -c ++≥3 a b c

2、已知a 、b 、c ∈R ，且a+b+c=1，求证：a 2+b2+c2≥1/3

3、已知a 、b 、c 为不全相等的正数，且abc=1,求证：

a ++c

4、已知a 、b ∈R +，a+b=1,求证：a +1/2+b +1/2≤2

（十）分析法证明不等式

1、已知a 、b 、c 为不全相等的正数，求证：bc/a+ac/b+ab/c>a+b+c

2、已知函数f(x)=lg(1/x－1),x 1、x 2∈(0,1/2)，且x 1≠x 2，求证：

f (x 1) +f (x 2) ⎛x +x 2⎫>f 1⎪ 22⎝⎭

3、设实数x,y 满足y+x2=0,0

（十一）反证法、放缩法、构造法、判别式法、换元法等证明不等式

1、设f(x)=x2+ax+b，求证：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于1/2。

2、若x 2+y2≤1, 求证|x+2xy－y |≤2. 22

114+≥ a -b b -c a -c

a b c ＋+>4、已知a 、b 、c ∈R ，且a+b>c求证：. 1+a 1+b 1+c 3、已知a>b>c,求证：

5、已知a 、b 、c ∈R ，证明：a 2+ac+c2+3b(a+b+c)≥0，并指出等号何时成立。

分析：整理成关于a 的二次函数f(a)=a2+(c+3b)a+3b2+3bc+c2

2∵Δ=(c+3b)－4(3b 2+3bc+c2)=－3(b2+2bc+c2) ≤0

∴f(a)≥0

226、已知：x －2xy + y + x + y + 1＝0，求证：1/3≤y/x≤3

n n n 7、在直角三角形ABC 中，角C 为直角，n ≥2且n ∈N ，求证：c ≥a + b

8、设a n =⋅2+2⋅3+3⋅4+ +n(n+1) (n∈N)

n(n+1) (n+1) 2

（十二）解不等式

123+

a -x >0 2、解关于x 的不等式：2x -x -21、解不等式：

（十三）不等式应用

不等式的应用主要有三个方面：一是能转化为求解不等式（组）的有关问题（如求函数的定义域、讨论一元二次方程的根的分布等）；二是能转化为不等式证明的有关问题（如证明函数的单调性）；三是能转化为重要不等式的极端情形解决的最值问题。

x 2+x ) 的定义域是_____________。 1、已知f(x)的定义域是（0,1］，则函数y =f (lg2

［－5，－2) ∪( 1,4］

22、已知不等式ax 2+bx+c>0的解集是{x|α

2x

3、设f (x ) =(x≥0). ⑴求证：f(x)是减函数；⑵求f(x)的值域。 x 1+4

4、由于对某种商品实行征税，其售价比原价上涨x%，涨价后商品卖出量减少36x %，100已知税率为销售金额的20%.

⑴为实现销售金额和扣除税款的余额y 不比原销售金额少，求上涨率x%的取值范围； ⑵x 为何值时，y 最大？（保留一位小数）

解：设原价为a ，销售量为b ，则

36x 36x %)⨯(1-20%)=ab (1+x %)(1-%)⨯80%100100

36x y ≥ab , ∴(1+x %)(1-%)⨯80%≥1100

16+ 整理得：36(x %)2-64(x %)-25≤0, ∴0≤x %≤18

(2)y =ab (1+x 25-x %)⨯80%=36ab (1+x %)(25-x %)91259y =a (1+x %)⨯b (1-

25⎛⎫1+x %+-x %⎪ 36 ⎪≤ab 125 2⎪ ⎪⎝⎭2

当且仅当1＋x%＝25/9－x%，即x%＝8/9. ∴x ＝88.9时y 最大。

（十四）恒成立问题

1、若不等式a

A 、a ≥1 B 、a ＞1 C 、0＜a ≤1 D 、a ＜1

2、关于x 的不等式2x －1＞a(x－2) 的解集为R ，求实数a 的取值范围。

3、如果关于x 的不等式lg (2ax )

原不等式等价于lg(2ax)＜lg(a+x),等价于2ax ＜a ＋x ，等价于(1－2a)x ＋a ＞0

设f(x)＝(1－2a)x ＋a ，则f(x)＞0在（1,2］中总成立，故有

3x 2+2x +2

>n (n ∈N ) 恒成立，试求n 的值。 4、设对x ∈R 有

x 2+x +1(3-n ) x 2+(2-n ) x +(2-n )

>0(1) 分析：原不等式等价于2

x +x +1

由题意不等式（1）的解集为R 又x 2+x+1恒大于零，所以不等式（1）等价于(3－n)x 2＋(2－n)x ＋(2－n) ＞0 (2) 故不等式（2）的解集为R ，从而有

所以n ＜2，又n ∈N ，所以n ＝0或1

5、若f(x)=(m2－1)x 2＋(m＋1)x ＋1＞0对于一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围。

x 2+2x +a

6、已知函数f (x ) =

x

⑴当a=1/2时，求函数f(x)的最小值；

⑵若对任意x ∈［1，＋∞）,f(x)＞0恒成立，试求实数a 的取值范围。 （十五）绝对值不等式定理中等号成立的问题 1、解关于x 的不等式|x+log2x|=x+|log2x| 2、证明：|x+1/x|≥2

（十六）绝对值不等式的证明

2

1、设a ∈R ，函数f(x)=ax+x－a(－1≤x ≤1). ⑴若|a|≤1, 求证|f(x)|≤5/4；

⑵若函数f(x)有最大值17/8，求实数a 的值。

2、已知|x－a|＜ε/2a,|y－b|＜ε/2|a|,且0＜y ＜A ，求证：|xy－ab|＜ε 3、

（十七）探索性问题

1、是否存在自然数k ，使得不等式

1111+++ +>2k -5对一切n +1n +2n +33n +1

3n +1

1111112

f (n +1) -f (n ) =++-=+-

3n +23n +33n +4n +13n +23n +43n +3∴

＋2f(n+1)>f(n)，即f(n)在N 上是增函数，∴f(n)的最=>0

3(n +4)(n +2)(n +3) 小值是f(1)

又f(1)=1/2+1/3+1/4=13/12

故对一切正整数n 使得f(n)>2a－5的充要条件是13/12>2a－5，∴a

2、已知抛物线y=f(x)=ax2+bx+c过点（－1,0），问是否存在常数a 、b 、c ，使得不等式x

2

≤f(x)≤(1+x)/2对于一切实数x 都成立？

2

解：假设存在常数a 、b 、c ，使得x ≤f(x)≤(1+x)/2对一切实数x 恒成立，

令x ＝1有1≤f(1)≤1，∴f(1)＝1，即a ＋b ＋c ＝1 ① ∵抛物线过点（－1,0）∴a －b ＋c ＝0 ②

正整数n 都成立，若存在，求出k 的最大值；若不存在，说明理由。 解：令

111

f (n ) =++ +，对任意的n ∈N +

n +1n +2

解①②得：b=1/2,c=1/2－a, ∴f(x)=ax+x/2+1/2－a

222

由x ≤f(x)≤(1+x)/2得2x ≤2ax +x+1－2a ≤1+x

2

∴a=1/4,

三、数学思想与方法

（一）分类讨论的思想：

1、设f(x) = 1+logx 3,g(x)=2logx 2，其中x ＞0且x ≠1，试比较f(x)与g(x)的大小。 2、解关于x 的不等式

x -a

≤0

(x +1)(x -1)

分析：①当a ＜－1时，原不等式的解集为｛x|x≤a 或－1＜x ＜1}

②当－1＜a ＜时，原不等式的解集为｛x|x＜－1或a ≤x ＜

1}

③当a ＞1时，原不等式的解集为｛x|x＜－1或1＜x ≤a} ④当a ＝1时，原不等式的解集为｛x|x＜－1 }

⑤当a ＝－1时，原不等式的解集为｛x|x＜1且x ≠－1}

（二）数形结合的思想

1、关于x 的方程x 2―x ―(m＋1) ＝0只在［－1,1］上有解，则实数a 的取值范围是（ ） A 、［－5/4,+∞) B 、(―5/4,―1) C 、［－5/4，1］ D 、(－∞，1］ 2、设k 、a 都是实数，关于x 的方程|2x―1|=k(x―a)+a对于一切实数k 都有解，求实数a 的取值范围。

3、已知0＜a ＜1，0＜b ＜1. 求证：

+

≥

分析 观察待证式左端，它的每个根式都使我们想到Rt△ABC中的等式a +b=c，激起我们构造平面图形利用几何方法证明这个不等式的大胆想法.

如图27-3，作边长为1的正方形ABCD ，分别在AB 、AD 上取AE=a，AG=b，过E 、G 分别作AD 、AB 的平行线，交CD 、BC 于F 、H ，EF 、GH 交于O 点. 由题设条件及作图可知，△AOG、△BOE、△COF、△DOG皆为直角三角形.

∴OC=

再连结对角形AC ，BD ，易知AC=BD=∴

，OA+OC≥AC，OB+OD≥BD，

≥

222

（三）函数与方程的思想

1、函数f(x)=lg(x2+ax+1)的值域为R ，求实数a 的取值范围。

1+2x +3x +4x a

2、已知f (x ) =lg ，若f(x)在（－∞，1］有意义，求实数a 的取值范

4

围。

3、设不等式mx 2―2x ＜m ―1对于满足|m|≤2的一切实数m 都成立，求x 的取值范围。

2

分析：设f(m)=(x―1)m ＋2x ―1，则对于满足|m|≤2的一切实数m 都有f(m)＜0 ∴f(－2) ＜0且f(2)＜0 4、已知x 、y 、z ∈（0,1），求证：x(1－y) + y(1－z) + z(1－x)

f(x) = y(1－z) + z－1 = y + z －1－yz = －yz

当1－y －z ≠ 0时，f(x)为一次函数，又x ∈（0,1），由一次函数的单调性，只需证明f(0)

∴f(0) = y(1－z) + z－1 = (y－1)(z－1)

（四）转化与化归思想

1、关于x 的方程4x +(m－3) •2x +m=0有两个不等的实数根，求实数m 的取值范围。 （五）换元的思想

1、解不等式：2x +5>x +1

变：关于x 的不等式ax +5>x +b 的解集为［－5/2,2），求实数a 、b 的值。 2、

（六）1的代换

1、已知a 、b ∈R +，a+b=1,x、y ∈R, 求证：ax 2+by2≥(ax+by)2

2、已知x 、y 都是正数，a 、b 都是正常数，且a/x + b/y = 1，求证： x +y ≥(a +) 2

3、已知x 、y 都是正数，且x + y = 1,求证：(1 + 1/x)(1 + 1/y)≥9

+

4、已知x 、y ∈R , 且1/x + 9/y = 1，求x + y的最小值。 5、若0＜x ＜1,a ＞0，b ＞0，求a/x + b/(1－x) 的最小值是。 6、已知a,b 是正数，且a + b = 1，求证：(ax + by)(ay + bx)≥xy 分析：∵a,b 是正数，且a + b = 1

∴(ax + by)(ay + bx) = a2xy + abx2 + aby2 + b2xy = (a2 + b2)xy+ ab(x2 + y2) = (1－2ab)xy+ ab(x2 + y2) = xy+ ab(x2 + y2－2xy) = xy + ab(x－y) 2 ≥xy

（七）特殊与一般的思想

1、已知a 、b 、c ∈R, 函数f (x) = ax2 + bx + c, g(x) = cx2+bx + a, 当|x| ≤1时，有|f(x)≤2。 （1）求证：|g(1)| ≤ 2；（2）求证：当|x| ≤ 1时，|g(x)|≤ 4. 证：（1）∵当|x| ≤1时，|f(x)|≤2, ∴|f(1)|≤2 又|f(1)|＝|g(1)| ∴|g(1)|≤2

2

（2）∵f(x)= ax+bx+c

∴f(1)= a+b+c,f(―1)= a―b+c, f(0)= c

∴a= [f(1)+f(-1) -2f(0)]/2,b= [f(1)-f(-1)]/2

∵|x|≤1时|f(x)|≤2 ∴|f(1)|≤2,|f(-1)|≤2,|f(0)|≤2

2

∴|g(x)|=|cx+bx+a|

2

=|xf(0)+[f(1)-f(-1)]x/2+[f(1)+f(-1)-2f(0)]/2|

2

=|(x－1)f(0)+(x+1)f(1)/2+(x-1)f(-1)/2|

2

≤|(x－1)f(0)|+|(x+1)f(1)/2|+|(x-1)f(-1)/2|

2

≤|(x+1)/2||f(1)| +|(x-1)/2||f(-1)|+|(1－x )||f(0)| ≤x+1+1-x+2 = 4

2

小结：对于二次函数f(x)=ax+bx+c c=f(0)

2a=f(1)+f(－1) －2f(0) 2b=f(1)―f(―1) 2、已知a 、b 、c ∈R, 函数f (x) = ax2 + bx + c, g(x) = ax + b, 当－1≤x ≤1时，有|f(x)≤1。 （1）证明：|c|≤1；（2）证明：当－1≤x ≤1时，|g(x)|≤2；（3）设a ＞0，－1≤x ≤1时，g(x)的最大值为2，求f(x)的解析式。

①证明：∵－1≤x ≤1时，有|f(x)|≤1, ∴当x = 0时，有f (0) = c, 即|c| = |f(0)|≤1, 故|c|≤1。 ②证明：欲证当－1≤x ≤1时，有|g(x)|≤2, 即证－1≤x ≤1时，－2≤g(x)≤2。对a 分类讨论 当a ＞0时，

∵g(x)在[－1,1]上是增函数，∴－a+b≤g(x)≤a+b, ∵a+b = f(1)－c ≤|f(1)| + |c|≤2,

－a +b = －[f(－1) －c]≥－[|f(－1)|+|c|]≥－2， ∴－2≤g(x)≤2，即|g(x)|≤2。 当a ＜0时，

∵g(x)在[－1,1]上是减函数，∴a+b≤g(x)≤－a+b, ∵a+b = f(1)－c ≥－[|f(1)|+|c|]≥－2 ， －a +b = －[f(－1) －c] ≤|f(－1)|+ |c|≤2, ， ∴－2≤g(x)≤2，即|g(x)|≤2。 综上所述，有|g(x)|≤2。

③∵a ＞0，∴g(x)在[－1,1]上是增函数， ∴x ＝1时，g(x)取最大值2，即a+b＝2。 ∴f(1)－f(0)＝a+b＝2，

∴－1≤f(0)＝f(1)－2≤1－2＝－1，即c= f(0)＝－1， ∵－1≤x ≤1时，f(x)≥－1= f(0)， ∴x = 0为函数f(x)图象的对称轴， ∴b = 0, 故a ＝2，所以f(x)＝2x 2－1。

2

②另解：∵f(x)= ax+bx+c

∴f(1)= a+b+c,f(―1)= a―b+c, f(0)= c ∴a= [f(1)+f(-1) -2f(0)]/2,b= [f(1)-f(-1)]/2

∵|x|≤1时|f(x)|≤1 ∴|f(1)|≤1,|f(-1)|≤1,|f(0)|≤1 ∴|g(x)|=|ax+b|

=|[f(1)+f(-1)-2f(0)]x/2+[f(1)-f(-1)]/2| =|(x+1)f(1)/2+(x-1)f(-1)/2-xf(0)|

≤|(x+1)f(1)/2|+|(x-1)f(-1)/2|+|-xf(0)|

≤|(x+1)/2||f(1)| +|(x-1)/2||f(-1)|+|-x||f(0)| ≤(x+1)/2+(1-x)/2+1= 2

3、是否存在满足下列条件的二次函数f(x)：

⑴当|x|≤1时，|f(x)|≤1；⑵f(2)＞7。若存在，求出解析式；若不存在，说明理由。

2

4、设f(x)=x+bx+c(b、c 为常数) ，定义域为［－1,1］，⑴设|f(x)|的最大值为M ，求证：M ≥1/2；⑵求出⑴中当M ＝1/2时，f(x)的表达式。