七年级数学下册期末考试试卷

七年级下册期末数学试卷

一、选择题 1.(4分)下列是二元一次方程的是( ) A .3x ﹣6=x B .3x=2y

C .x ﹣=0 D .2x ﹣3y=xy

2.(4分)下列计算正确的是( )

[1**********]4A .a •a=a B .a +a =a C .(﹣a )=a D .(a b )=ab 3.(4分)已知

是方程2mx ﹣y=10的解,则m 的值为( )

A .2 B .4 C .6 D .10 4.(4分)下列运算正确的是( )

22222

A .(x ﹣1)=x﹣2x ﹣1 B .(a ﹣b )=a﹣b

22

C .(a +m )(b +n )=ab+mn D .(m +n )(﹣m +n )=﹣m +n 5.(4分)下列图形中,轴对称图形的个数是( )

A .1 B .2 C .3 D .4

2222

6.(4分)下列从左到右的变形:(1)15x y=3x•5xy;(2)(a +b )(a ﹣b )=a﹣b ;(3)a ﹣2a +1=(a ﹣1);(4)x +3x +1=x(x +3+)其中是因式分解的个数是( ) A .0个 B .1个 C .2个 D .3个 7.(4分)如图所示,在边长为a 的正方形中,剪去一个边长为b 的小正方形(a >b ),将余下部分拼成一个梯形,根据两个图形阴影部分面积的关系,可以得到一个关于a 、b 的恒等式为( )

2

2

A .(a ﹣b )=a﹣2ab +b B .(a +b )=a+2ab +b

222C .a ﹣b =(a +b )(a ﹣b ) D.a +ab=a(a +b ) 8.(4分)点P 是直线l 外一点,A 、B 、C 为直线l 上的三点,PA=4cm,PB=5cm,PC=2cm,则点P 到直线l 的距离( )

A .小于2cm B.等于2cm C.不大于2cm D .等于4cm 9.(4分)下列叙述中,正确的是( ) A .相等的两个角是对顶角

B .过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C .垂直于同一条直线的两直线平行

2

2

2

2

2

2

D .从直线外一点到这条直线上的各点连结的所有线段中,垂线段最短 10.(4分)有19位同学参加歌咏比赛,所得的分数互不相同,取得前10位同学进入决赛.某同学知道自己的分数后,要判断自己能否进入决赛,他只需知道这19位同学的( ) A .平均数 B .中位数 C .众数 D.方差 11.(4分)若一列数据x 1,x 2,x 3,…,x n ,的平均数是3,方差是2,则数据x 1+5,x 2+5,…,x n +5的平均数与方差分别是( ) A .8,7 B.5,5 C.3,2 D.8,2

12.(4分)在同一平面内,有8条互不重合的直线,l 1,l 2,l 3…l8,若l 1⊥l 2,l 2∥l 3,l 3⊥l 4,l 4∥l 5…以此类推,则l 1和l 8的位置关系是( ) A .平行 B.垂直 C.平行或垂直 D .无法确定

二、填空题

13.(4分)已知(a ﹣2)

2

3

2

+y=1是一个二元一次方程,则a 的值为.

14.(4分)(﹣3ab )•(a b )= .

2

15.(4分)若代数式x +mx +9是完全平方式,那么m= . 16.(4分)如图,直线AB 与直线CD 相交于点O ,OE ⊥AB ,垂足为O ,∠EOD=40°,则∠BOC= .

17.(4分)△ABC 与△DEF 关于直线m 对称,AB=4,BC=6,△DEF 的周长是15,则AC= 18.(4分)一组数据2,4,x ,2,4,7的众数是2,则这组数据的平均数是.

22

19.(4分)若a +b=2,ab=1,则a +b =

222

20.(4分)观察下列等式:1﹣3×1=1×(1﹣3);2﹣3×2=2×(2﹣3);3﹣3×3=3×

2

(3﹣3);4﹣3×4=4×(4﹣3);…则第n 个等式可表示为 .

三、解答题 21.(10分)解方程: (1)

(2).

22.(10分)因式分解

33

(1)a b ﹣ab

222

(2)(x +4)﹣16x .

2

23.(7分)先化简,再求值:a (a ﹣2b )+2(a +b )(a ﹣b )+(a +b ),其中a ,b 满足|a +|+(b ﹣1)=0. 24.(8分)如图,已知:AD ⊥BC 于D ,EG ⊥BC 于G ,∠E=∠1.求证:AD 平分∠BAC .

2

25.(10分)为了鼓励市民节约用水,某市居民生活用水按阶梯式水价计费,表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分信息:(水价计费=自来水销售费用+污水处

91元. (1)求a ,b 的值.

(2)小王家6月份交水费184

元,则小王家6月份用水多少吨? (2)若老师计算学生的学期总评成绩按照如下的标准:单元测验1占10%,单元测验2占10%,期中考试占

30%,期末考试占50%.请你通过计算,比较谁的学期总评成绩高? 27.(10分)如图,已知直线l 1∥l 2,直线l 和直线l 1、l 2交于点C 和D ,在C 、D 之间有一点P ,A 是l 1上的一点,B 是l 2上的一点.

(1)如果P 点在C 、D 之间运动时,如图(1)问∠PAC ,∠APB ,∠PBD 之间有何关系,并说明理由.

(2)若点P 在C 、D 两点的外侧运动时(P 点与点C 、D 不重合),在图(2),图(3)中画出图形并探索∠PAC ,∠APB ,∠PBD 之间的关系又是如何?并选择其中一种情况说明理由.

七年级(下)期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共12小题,每小题4分,满分48分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.下列是二元一次方程的是( ) A .3x ﹣6=x B .3x=2y

C .x ﹣=0 D .2x ﹣3y=xy

【分析】二元一次方程满足的条件:含有2个未知数,未知数的项的次数是1的整式方程. 【解答】解::A 、3x ﹣6=x是一元一次方程; B 、3x=2y是二元一次方程; C 、x ﹣=0是分式方程;

D 、2x ﹣3y=xy是二元二次方程 故选:B .

【点评】主要考查二元一次方程的概念,要求熟悉二元一次方程的形式及其特点:含有2个未知数,未知数的项的次数是1的整式方程. 2.(4分)(2016春•祁阳县期末)下列计算正确的是( )

[1**********]4A .a •a=a B .a +a =a C .(﹣a )=a D .(a b )=ab

【分析】根据合并同类项法则,同底数幂的乘法,幂的乘方和积的乘方分别求出每个式子的值,再判断即可.

【解答】解:A 、结果是a ,故本选项错误;

2

B 、结果是2a ,故本选项错误;

6

C 、结果是a ,故本选项正确;

42

D 、结果是a b ,故本选项错误; 故选C .

【点评】本题考查了合并同类项法则,同底数幂的乘法,幂的乘方积的乘方的应用,能灵活运用知识点进行计算是解此题的关键

3.(4分)已知

是方程2mx ﹣y=10的解,则m 的值为( )

5

A .2 B .4 C .6 D .10

【分析】把x=1,y=2代入方程得到一个关于m 的方程,求出方程的解即可 【解答】解:把x=1,y=2代入方程2mx ﹣y=10得:2m ﹣2=10, 解得:m=6, 故选:C .

【点评】本题主要考查对解一元一次方程,二元一次方程的解等知识点的理解和掌握,能得到方程2m ﹣2=10是解此题的关键. 4.(4分)下列运算正确的是( )

2

2

2

2

2

A .(x ﹣1)=x﹣2x ﹣1 B .(a ﹣b )=a﹣b

22

C .(a +m )(b +n )=ab+mn D .(m +n )(﹣m +n )=﹣m +n

【分析】分别利用完全平方公式以及平方差公式和多项式乘法运算法则化简求出答案.

22

【解答】解:A 、(x ﹣1)=x﹣2x +1,故此选项错误;

222

B 、(a ﹣b )=a﹣2ab +b ,故此选项错误; C 、(a +m )(b +n )=ab+mn +an +mb ,故此选项错误; D 、(m +n )(﹣m +n )=﹣m +n ,正确. 故选:D .

【点评】此题主要考查了整式的混合运算,正确掌握乘法公式是解题关键. 5.(4分)下列图形中,轴对称图形的个数是( )

2

2

A .1 B .2 C .3 D .4

【分析】关于某条直线对称的图形叫轴对称图形.

【解答】解:中间两个图形是轴对称图形,轴对称图形的个数是2,故选B . 【点评】本题考查轴对称图形概念的理解,判断一个图形是不是轴对称图形的关键是能不能找到一条直线,沿这条直线对折,直线两旁的部分能够完全重合.

6.(4分)(2016春•祁阳县期末)下列从左到右的变形:(1)15x y=3x•5xy;(2)(a +b )(a ﹣b )=a﹣b ;(3)a ﹣2a +1=(a ﹣1);(4)x +3x +1=x(x +3+)其中是因式分解的个数是( )

A .0个 B .1个 C .2个 D .3个

【分析】因式分解就是把多项式分解成几个整式积的形式,根据定义即可进行判断. 【解答】解:(1)不是对多项式进行变形,故错误; (2)多项式的乘法,故错误; (3)正确;

(4)结果不是整式,故错误. 故选B .

【点评】本题主要考查了因式分解的定义,因式分解是整式的变形,并且因式分解与整式的乘法互为逆运算. 7.(4分)(2010•达州)如图所示,在边长为a 的正方形中,剪去一个边长为b 的小正方形(a >b ),将余下部分拼成一个梯形,根据两个图形阴影部分面积的关系,可以得到一个关于a 、b 的恒等式为( )

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

A .(a ﹣b )=a﹣2ab +b B .(a +b )=a+2ab +b

222C .a ﹣b =(a +b )(a ﹣b ) D.a +ab=a(a +b )

【分析】可分别在正方形和梯形中表示出阴影部分的面积,两式联立即可得到关于a 、b 的恒等式.

【解答】解:正方形中,S 阴影=a﹣b ;

梯形中,S 阴影=(2a +2b )(a ﹣b )=(a +b )(a ﹣b );

故所得恒等式为:a ﹣b =(a +b )(a ﹣b ). 故选:C . 【点评】此题主要考查的是平方差公式的几何表示,运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键. 8.(4分)(2016春•祁阳县期末)点P 是直线l 外一点,A 、B 、C 为直线l 上的三点,PA=4cm,PB=5cm,PC=2cm,则点P 到直线l 的距离( )

A .小于2cm B.等于2cm C.不大于2cm D .等于4cm

【分析】点P 到直线l 的距离为点P 到直线l 的垂线段,结合已知,因此点P 到直线l 的距离小于等于2.

【解答】解:∵根据点到直线的距离为点到直线的垂线段(垂线段最短), 2<4<5,

∴点P 到直线l 的距离小于等于2,即不大于2, 故选:C .

【点评】此题考查的知识点是垂线段最短,关键是要明确点P 到直线l 的距离为点P 到直线l 的垂线段. 9.(4分)下列叙述中,正确的是( ) A .相等的两个角是对顶角

B .过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C .垂直于同一条直线的两直线平行

D .从直线外一点到这条直线上的各点连结的所有线段中,垂线段最短 【分析】分别根据对顶角的性质、平行线的判定与性质及垂线段最短的知识对各选项进行逐一分析即可.

【解答】解:A 、对顶角相等,但是相等的两个角不一定是对顶角,故本选项错误; B 、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行,故本选项错误; C 、同一平面内,垂直于同一条直线的两直线平行,故本选项错误; D 、从直线外一点到这条直线上的各点连结的所有线段中,垂线段最短,符合垂线段的定义,故本选项正确. 故选D .

【点评】本题考查的是平行线的判定与性质,点到直线的距离的定义,对顶角相等的性质,垂线段最短的性质,熟记教材中的定义以及性质是解题的关键. 10.(4分)有19位同学参加歌咏比赛,所得的分数互不相同,取得前10位同学进入决赛.某同学知道自己的分数后,要判断自己能否进入决赛,他只需知道这19位同学的( ) A .平均数 B .中位数 C .众数 D.方差

2

2

2

2

【分析】因为第10名同学的成绩排在中间位置,即是中位数.所以需知道这19位同学成绩的中位数.

【解答】解:19位同学参加歌咏比赛,所得的分数互不相同,取得前10位同学进入决赛,中位数就是第10位,因而要判断自己能否进入决赛,他只需知道这19位同学的中位数就可以.

故选:B .

【点评】中位数是将一组数据按照由小到大(或由大到小)的顺序排列,如果数据的个数是奇数,则处于中间位置的数就是这组数据的中位数.学会运用中位数解决问题.

11.(4分)若一列数据x 1,x 2,x 3,…,x n ,的平均数是3,方差是2,则数据x 1+5,x 2+5,…,x n +5的平均数与方差分别是( ) A .8,7 B.5,5 C.3,2 D.8,2

【分析】根据平均数的变化规律可得出数据x 1+5,x 2+5,x 3+5,…,x n +5的平均数是8;根据数据x 1,x 2,x 3,…,x n 的方差为2,即可求出x 1+5,x 2+5,x 3+5,…,x n +5的方差是2. 【解答】解:∵x 1,x 2,x 3,…,x n 的平均数是3, ∴x 1+5,x 2+5,x 3+5,…,x n +5的平均数是3+5=8; ∵x 1,x 2,x 3,…,x n 的方差是2,

∴x 1+5,x 2+5,x 3+5,…,x n +5的方差是2; 故选D .

【点评】本题考查方差与平均数:若在原来数据前乘以同一个数,平均数也乘以同一个数,而方差要乘以这个数的平方,在数据上同加或减同一个数,方差不变.

12.(4分)在同一平面内,有8条互不重合的直线,l 1,l 2,l 3…l8,若l 1⊥l 2,l 2∥l 3,l 3⊥l 4,l 4∥l 5…以此类推,则l 1和l 8的位置关系是( ) A .平行 B.垂直 C.平行或垂直 D .无法确定

【分析】如果一条直线垂直于两平行线中的一条,那么它与另一条一定也垂直.再根据“垂直于同一条直线的两直线平行”,可知L 1与L 8的位置关系是平行. 【解答】解:∵l 2∥l 3,l 3⊥l 4,l 4∥l 5,l 5⊥l 6,l 6∥l 7,l 7⊥l 8, ∴l 2⊥l 4,l 4⊥l 6,l 6⊥l 8, ∴l 2⊥l 8. ∵l 1⊥l 2, ∴l 1∥l 8. 故选A

【点评】灵活运用“垂直于同一条直线的两直线平行”是解决此类问题的关键.

二、填空题(本大题共8小题,每小题4分,满分32分.) 13.(4分)已知(a ﹣2)

+y=1是一个二元一次方程,则a 的值为

【分析】根据方程中只含有2个未知数;含未知数项的最高次数为一次;方程是整式方程,可得答案.

【解答】解:由题意,得 2

a ﹣3=1且a ﹣2≠0, 解得a=﹣2,

故答案为:﹣2.

【点评】本题考查了二次元一次方程,二元一次方程必须符合以下三个条件:方程中只含有2个未知数;含未知数项的最高次数为一次;方程是整式方程.

14.(4分(﹣3ab )•(a b )= . 【分析】根据单项式乘以单项式,即可解答.

【解答】解:(﹣3ab )•(a b )=(﹣3)•ab •ab=﹣27a b ,

57

故答案为:﹣27a b .

【点评】本题考查了单项式乘以单项式,解决本题的关键是熟记单项式乘以单项式.

15.(4分))若代数式x +mx +9是完全平方式,那么m= ±6 .

【分析】先根据两平方项确定出这两个数,再根据完全平方公式的乘积二倍项即可确定m 的值.

222

【解答】解:∵x +mx +9=x+mx +3, ∴mx=±2×x ×3, 解得m=±6. 故答案为:±6. 【点评】本题主要考查了完全平方式,根据平方项确定出这两个数是解题的关键,也是难点,熟记完全平方公式对解题非常重要. 16.(4分))如图,直线AB 与直线CD 相交于点O ,OE ⊥AB ,垂足为O ,∠EOD=40°,则∠BOC= 130° .

22

3

2

3

36

2

57

2

3

2

57

【分析】运用垂线,对顶角、邻补角的定义计算. 【解答】解:∵OE ⊥AB , ∴∠EOB=90°, ∵∠EOD=40°, ∴∠DOB=90°﹣40°=50°, ∴∠BOC=180°﹣∠DOB=180°﹣50°=130°. 故答案为:130°.

【点评】本题主要考查了垂线,对顶角、邻补角,灵活运用垂线,对顶角、邻补角的定义计算是解题的关键. 17.(4分)(2016春•祁阳县期末)△ABC 与△DEF 关于直线m 对称,AB=4,BC=6,△DEF 的周长是15,则AC=

【分析】首先根据成轴对称的两个三角形的周长相等确定△ABC 的周长,然后减去其他两边的长即可求得第三边的长.

【解答】解:∵△ABC 与△DEF 关于直线m 对称,△DEF 的周长是15,

∴△ABC 的周长为15, ∵AB=4,BC=6,

∴AC=15﹣AB ﹣BC=15﹣4﹣6=5, 故答案为:5.

【点评】本题考查了轴对称的性质,解题的关键是能够根据轴对称的性质确定三角形ABC 的周长,难度不大. 18.(4分)(2016春•祁阳县期末)一组数据2,4,x ,2,4,7的众数是2,则这组数据的平均数是 3.5 .

【分析】根据众数的概念可得x=2,然后根据平均数的计算公式进行求解即可. 【解答】解:∵2,4,x ,2,4,7的众数是2, ∴x=2,

∴该组数据的平均数为(2+4+2+2+4+7)÷6=3.5; 故答案为3.5.

【点评】本题考查了众数和平均数,一组数据中出现次数最多的数据叫做众数;平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数.

19.(4分)(2016春•祁阳县期末)若a +b=2,ab=1,则a +b =

22

【分析】将a +b=2两边平方,利用完全平方公式展开,将ab 的值代入计算即可求出a +b 的值.

【解答】解:∵a +b=2,ab=1,

22222

∴(a +b )=a+b +2ab ,即4=a+b +2,

22

则a +b =2. 故答案为:2

【点评】此题考查了完全平方公式,熟练掌握公式是解本题的关键.

20.(4分)(2016春•祁阳县期末)观察下列等式:1﹣3×1=1×(1﹣3);2﹣3×2=2×(2

222

﹣3);3﹣3×3=3×(3﹣3);4﹣3×4=4×(4﹣3);…则第n 个等式可表示为 n ﹣3n=n(n ﹣3) .

【分析】由于每个等式第一个数值由1的平方到2的平方逐渐增加,接着减去的是3×1、3×2等,等式右边是前面数字的一种组合,由此即可得到第n 个等式.

2

【解答】解:∵1﹣3×1=1×(1﹣3); 2

2﹣3×2=2×(2﹣3); 2

3﹣3×3=3×(3﹣3); 2

4﹣3×4=4×(4﹣3);…

2

∴第n 个等式可表示为n ﹣3n=n(n ﹣3).

【点评】此题主要考查了因式分解的应用,首先通过观察得到等式隐含的规律,然后利用规律即可解决问题.

三、解答题(本大题共7小题,满分65分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 21.(10分)(2016春•祁阳县期末)解方程: (1)

2

2

2

2

(2).

【分析】(1)方程组利用加减消元法求出解即可;

(2)方程组利用代入消元法求出解即可.

【解答】解:(1)

①×2+②得:7x=14,即x=2,

把x=2代入①得:y=﹣1, 则方程组的解为; ,

(2),

把①代入②得:4y +4﹣5y=5,即y=﹣1,

把y=﹣1代入①得:x=0, 则方程组的解为.

【点评】此题考查了解二元一次方程组,利用了消元的思想,消元的方法有:代入消元法与加减消元法.

22.(10分)(2016春•祁阳县期末)因式分解

(1)a b ﹣ab

222(2)(x +4)﹣16x .

【分析】(1)根据提公因式法,可得平方差公式,根据平方差公式,可得答案;

(2)根据平方差公式,可得完全平方公式,根据完全平方公式,可得答案.

22【解答】解:(1)原式=ab(a ﹣b )=ab(a +b )(a ﹣b );

22(2)原式=(x +4x +4)(x ﹣4x +4)

22=(x +2)(x ﹣2).

【点评】本题考查了因式分解,利用平方差公式得出完全平方公式是解题关键.

23.(7分)(2016春•祁阳县期末)先化简,再求值:a (a ﹣2b )+2(a +b )(a ﹣b )+(a +b )233,其中a ,b 满足|a +|+(b ﹣1)=0. 2

【分析】先算乘法,再合并同类项,求出a 、b 后代入求出即可.

2【解答】解:a (a ﹣2b )+2(a +b )(a ﹣b )+(a +b )

22222=a﹣2ab +2a ﹣2b +a +2ab +b

22=4a﹣b ,

∵|a +|+(b ﹣1)=0,

2

∴a +=0,b ﹣1=0,

a=﹣,b=1,

原式=4×(﹣)﹣1=0.

【点评】本题考查了整式的混合运算和求值,绝对值和偶次方的非负性的应用,能正确根据整式的运算法则进行化简是解此题的关键.

24.(8分)(2016春•祁阳县期末)如图,已知:AD ⊥BC 于D ,EG ⊥BC 于G ,∠E=∠1.求证:AD 平分∠BAC .

22

【分析】根据垂直可得∠ADC=∠EGC=90°,根据同位角相等两直线平行可得AD ∥EG ,根据平行线的性质可得∠1=∠2,∠E=∠3,再利用等量代换可得∠2=∠3,进而得到AD 平分∠BAC .

【解答】证明:∵AD ⊥BC 于D ,EG ⊥BC 于G ,(已知)

∴∠ADC=∠EGC=90°,

∴AD ∥EG ,(同位角相等,两直线平行).

∴∠1=∠2,(两直线平行,内错角相等).

∠E=∠3(两直线平行,同位角相等)

又∵∠E=∠1(已知)

∴∠2=∠3,(等量代换).

∴AD 平分∠BAC .(角平分线的定义)

【点评】本题考查的是平行线的判定与性质,用到的知识点为:同位角相等,两直线平行;两直线平行,内错角相等,同位角相等.

25.(10分)(2016春•祁阳县期末)为了鼓励市民节约用水,某市居民生活用水按阶梯式水价计费,表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分信息:(水价计费=

91元.

(1)求a ,b 的值.

(2)小王家6月份交水费184元,则小王家6月份用水多少吨?

【分析】(1)根据题意和表格可以列出相应的二元一次方程组,从而可以求出a 、b 的值;

(2)根据题意可以列出相应的方程,从而可以求得小王家本月用水量为多少吨.

【解答】解:(1)根据题意可得,

, 解得,,

即a 的值是2.2,b 的值是4.4;

(2)设小王家6月份用水x 吨,

根据题意知,30吨的水费为:17×2.2+13×4.2+30×0.8=116,

∵184>116,

∴小王家6月份计划用水超过了30吨

∴6.0(x ﹣30)+116=184,

解得,x=

吨. 即小王家6月份用水量

【点评】本题考查二元一次方程组的应用,解题的关键是明确题意,列出相应的方程组.

26.(10分)(2016春•祁阳县期末)某班七年级第二学期数学一共进行四次考试,小丽和小

(2)若老师计算学生的学期总评成绩按照如下的标准:单元测验1占10%,单元测验2占10%,期中考试占30%,期末考试占50%.请你通过计算,比较谁的学期总评成绩高?

【分析】(1)先求出两人的平均成绩,根据方差的计算公式求出方差;

(2)利用加权平均数的计算公式计算即可.

【解答】解:(1)小丽的平均数为:×(80+70+90+80)=80,

小明的平均数为:×(60+90+80+90)=80,

小丽的方差为:×[(80﹣80)+(70﹣80)+(90﹣80)+(80﹣80)]=50, 小明的方差为:×[(60﹣80)+(90﹣80)+(80﹣80)+(90﹣80)]=150, 则小丽的成绩比较稳定;

(2)小丽的平均成绩为:80×10%+90×10%+70×30%+80×50%=78,

小明的平均的平均成绩为:60×10%+80×10%+90×30%+90×50%=86,

小明的学期总评成绩高.

【点评】本题考查的是方差的计算、加权平均数的计算,掌握方差的计算公式和加权平均数的计算公式是解题的关键.

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27.(10分)(2016春•祁阳县期末)如图,已知直线l 1∥l 2,直线l 和直线l 1、l 2交于点C 和D ,在C 、D 之间有一点P ,A 是l 1上的一点,B 是l 2上的一点.

(1)如果P 点在C 、D 之间运动时,如图(1)问∠PAC ,∠APB ,∠PBD 之间有何关系,并说明理由.

(2)若点P 在C 、D 两点的外侧运动时(P 点与点C 、D 不重合),在图(2),图(3)中画出图形并探索∠PAC ,∠APB ,∠PBD 之间的关系又是如何?并选择其中一种情况说明理由.

【分析】(1)当P 点在C 、D 之间运动时,首先过点P 作PE ∥l 1,由l 1∥l 2,可得PE ∥l 2∥l 1,根据两直线平行,内错角相等,即可求得:∠APB=∠PAC +∠PBD .

(2)当点P 在C 、D 两点的外侧运动时,由直线l 1∥l 2,根据两直线平行,同位角相等与三角形外角的性质,即可求得:∠PBD=∠PAC +∠APB .

【解答】解:(1)如图1,当P 点在C 、D 之间运动时,∠APB=∠PAC +∠PBD . 理由如下:过点P 作PE ∥l 1,

∵l 1∥l 2

∴PE ∥l 2∥l 1,

∴∠PAC=∠1,∠PBD=∠2,

∴∠APB=∠1+∠2=∠PAC +∠PBD ;

(2)如图2,当点P 在C 、D 两点的外侧运动,且在l 2下方时,∠PAC=∠PBD +∠APB . 理由如下:∵l 1∥l 2,

∴∠PED=∠PAC ,

∵∠PED=∠PBD +∠APB ,

∴∠PAC=∠PBD +∠APB .

如图3,当点P 在C 、D 两点的外侧运动,且在l 1上方时,∠PBD=∠PAC +∠APB . 理由如下:∵l 1∥l 2,

∴∠PEC=∠PBD ,

∵∠PEC=∠PAC +∠APB ,

∴∠PBD=∠PAC +∠APB .

【点评】本题主要考查平行线的性质与三角形外角的性质.解题的关键是掌握:两直线平行,内错角相等与两直线平行,同位角相等,注意辅助线的作法.


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