三角函数图像

1.5 函数y ＝A sin(ωx＋φ) 的图象(一)

自主学习

知识梳理

用“图象变换法”作y ＝A sin(ωx＋φ) (A >0，ω>0)的图象 1．φ对y ＝sin(x ＋φ) ，x ∈R 的图象的影响

y ＝sin(x ＋φ) (φ≠0) 的图象可以看作是把正弦曲线y ＝sin x 上所有的点______(当φ>0时) 或________(当φ

2．ω(ω>0)对y ＝sin(ωx＋φ) 的图象的影响

函数y ＝sin(ωx＋φ) 的图象，可以看作是把y ＝sin(x ＋φ) 的图象上所有点的横坐标________(当ω>1时) 或______(当0

3．A (A >0)对y ＝A sin(ωx＋φ) 的图象的影响

函数y ＝A sin(ωx＋φ) 的图象，可以看作是把y ＝sin(ωx＋φ) 图象上所有点的纵坐标________(当A >1时) 或________(当0

4．函数y ＝sin x 的图象到函数y ＝A sin(ωx＋φ) 的图象的变换过程．

y ＝sin x 的图象

向左(φ>0)或向右(φ

平移|φ|个单位

纵坐标变为原来的A (A >0)倍

横坐标不变

――→

__________的图象−−−−−−−−→

____________的图象．

横坐标变为原来的

1

(w >0)倍w

纵坐标不变

____________的图象

自主探究

――→

π

2x －的图象． 如何由函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝sin ⎛3⎝

对点讲练

知识点一 周期、振幅变换的应用

312

例1 由函数y ＝sin 的图象经过怎样的变换得到y ＝sin x 的图象，试写出这一过

223

程．

回顾归纳 研究y ＝sin x 与y ＝A sin x (A >0且A ≠1) ，y ＝sin ωx(ω>0且ω≠1) 的图象间伸缩关系，要明确伸缩的方向是横向还是纵向及伸还是缩的倍数．

x

变式训练1 叙述函数y ＝2sin x 的图象如何由y ＝sin 的图象得到？

2

知识点二 相位变换的应用

π

x －⎫的图象( ) 例2 要得到函数y ＝sin x 的图象，只需将函数y ＝cos ⎛⎝3⎭

ππ

A ．向右平移 B

63ππ

C ．向左平移 D ．向左平移

36

回顾归纳 已知两个函数的解析式，判断其图象间的平移关系的步骤：

(1)将两个函数解析式化简成y ＝A sin ωx与y ＝A sin (ωx＋φ) ，即A 、ω及名称相同的结构．

(2)找到ωxωx＋φ，变量x “加”或“减”的量，即平移的单位． (3)明确平移的方向．

变式训练2

π

x ＋的图象，只需将函数y ＝sin x 的图象( ) 为得到函数y ＝cos ⎛⎝3ππ

A ．向左平移 B

665π5π

C ．向左平移 D ．向右平移

66

知识点三 图象变换的综合应用

π

例3 把函数y ＝f (x ) 的图象上各点向右平移个单位，再把横坐标伸长到原来的2倍，

6

1π2

再把纵坐标缩短到原来的y ＝2sin ⎛⎝2x ＋3，求f (x ) 的解析式． 3

回顾归纳 已知函数f (x ) 图象的伸缩变换情况，求变换前后图象的解析式．要明确伸缩的方向及量，然后确定出A 或ω即可．

1

变式训练3 将y ＝f (x ) 2

π1

沿x 轴向右平移得到的曲线与y ＝sin x 图象相同，则y ＝f (x ) 的函数解析式为( )

221π⎫π11⎛x － 2x A ．y ＝sin ⎛ B ．y 22⎝22⎭2⎝1π⎫π11⎛＋ 2x C ．y ＝sin ⎛ D ．y 22⎝22⎭2⎝

1．由y ＝sin x 到y ＝sin(x ＋φ) 的图象变换称为相位变换，由y ＝sin x 到y ＝sin ωx图象的变换称为周期变换；由y ＝sin x 到y ＝A sin x 图象的变换称为振幅变换．

2．由y ＝sin x 的图象，通过变换可得到函数y ＝A sin(ωx＋φ) 的图象，其变化途径有两条：

(1)y ＝sin x ――→y ＝sin(x ＋φ) ――→y ＝sin(ωx＋φ) ――→y ＝A sin(ωx＋φ) ．

(2)y ＝sin x ――→y ＝sin ωx――→y ＝sin(ωx＋φ) ――→y ＝A sin(ωx＋φ) ．

注意：两种途径的变换顺序不同，其中变换的量也有所不同：(1)是先相位变换后周期

|φ|

变换，平移|φ|个单位．(2)是先周期变换后相位变换，平移ω

应特别注意．

3．类似地y ＝A cos(ωx＋φ) (A >0，ω>0)的图象也可由y ＝cos x 的图象变换得到.

课时作业

一、选择题

x π⎫x

的图象，只要将函数y ＝sin ( ) 1．要得到y ＝sin ⎛⎝23⎭2ππ

A ．向左平移 B

332π2π

C ．向左平移 D ．向右平移

33

ππ

2x －的图象向右平移个单位，所得图象对应的函数是( ) 2．把函数y ＝sin ⎛4⎝8

A ．非奇非偶函数 B ．既是奇函数又是偶函数 C ．奇函数 D ．偶函数

π

3．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平行移动10

坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变) ，所得图象的函数解析式是( )

π⎛2x －π⎫ 2x －⎫ A ．y ＝sin ⎛ B ．y ＝sin 10⎭5⎭⎝⎝1π⎛1－π⎫ －⎫ C ．y ＝sin ⎛ D ．y ＝sin ⎝210⎭⎝220⎭

ππ

4．为了得到函数y ＝sin (2x －的图象，只需把函数y ＝sin(2x ＋) 的图象( )

36

π

A ．向左平移

4π

B ．向右平移

4π

C ．向左平移

2π

D ．向右平移

2

π

5．把函数y ＝3sin(ωx＋φ) (ω>0，|φ|≤π) 的图象向左平移个单位，再将图象的所有点的

6

横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变) ，所得图象的解析式为y ＝3sin x ，则( )

周期变换

相位变换

振幅变换

相位变换

周期变换

振幅变换

π

A ．ω＝2，φ＝

6

1π

C ．ω＝，φ

26

二、填空题

π

B ．ω＝2，φ＝－

3

1π

D ．ω，φ＝－23

ππ

2x ＋的图象向左平移，所得函数的解析式为____________． 6．将函数y ＝sin ⎛6⎝6

7．为得到函数y ＝cos x 的图象，可以把y ＝sin x 的图象向右平移φ个单位得到，那么φ的最小正值是________．

8．某同学给出了以下论断

π

①将y ＝cos x y ＝sin x 的图象；

2

②将y ＝sin x 的图象向右平移2个单位，可得到y ＝sin(x ＋2) 的图象； ③将y ＝sin(－x ) 的图象向左平移2个单位，得到y ＝sin(－x －2) 的图象；

ππ

2x ＋⎫的图象是由y ＝sin 2x 的图象向左平移个单位而得到的． ④函数y ＝sin ⎛3⎭⎝3

其中正确的结论是______(所有正确的结论的序号都要填上) ．

三、解答题

π

2x ＋⎫＋2的图象间的变换关系． 9．请叙述函数y ＝cos x 的图象与y ＝－2cos ⎛6⎭⎝

π

2x ⎫ (x ∈R ). 10．已知函数f (x ) ＝sin ⎛⎝3⎭

(1)求f (x ) 的单调减区间；

(2)经过怎样的图象变换使f (x ) 的图象关于y 轴对称？(仅叙述一种方案即可) ．

§1.5 函数y ＝A sin(ωx＋φ) 的图象(一)

答案

知识梳理

1．向左 向右 |φ|

1

2．缩短 伸长 不变

ω

3．伸长 缩短 A 倍 [－A ，A ] A －A

4．y ＝sin(x ＋φ) y ＝sin(ωx＋φ) y ＝A sin(ωx＋φ) 自主探究

解 由y ＝sin x 的图象通过变换得到函数

π

2x －⎫的图象有两种变化途径： y ＝sin ⎛3⎭⎝①y ＝sin x π――→ 3向右平移

π纵坐标不变π⎫⎛x －⎫―1y ＝sin 2x －. y ＝sin ⎛―→3⎭⎝3⎭横坐标缩短为倍⎝

2

②y ＝sin x 横坐标缩短为――→1y ＝sin 2x π―→ 2

6

纵坐标不变向右平移

π2x －⎫. y ＝sin ⎛3⎭⎝对点讲练

39

例1 解 由y ＝sin

24

2

得到y ＝sin 的图象；

32112

由y ＝sin x 的图象，横坐标保持不变，把纵坐标缩短到原来的倍，就得到y sin x

3223

的图象．

x

变式训练1 解 y ＝2sin x 的图象可以看作由y ＝sin 2

1

的(纵坐标不变) 得到函数y ＝sin x 的图象，再把该图象上所有点的纵坐标伸长为原来的22

倍(横坐标不变) 而得到．

ππ

x －⎫＝cos －x ⎫ 例2 A [y ＝cos ⎛⎝3⎭3⎭

π向右平移x ＋⎫π＝sin ⎛―→y ＝sin x ．] ⎝6⎭―6

π

x ， 变式训练2 C [∵y ＝sin x ＝cos ⎛⎝2π5ππ

又x －＝＋x ，

263

π5π

x ＋的图象．] ∴只需将y ＝sin x 的图象向左平移y ＝cos ⎛⎝361π纵坐标伸长到原来的2倍

例3 解 y ＝2sin ⎛⎝2x ＋3−−−−−−−→ 1π横坐标缩短为原来的2倍y ＝3sin ⎛⎝2x ＋3→ π⎫向左平移6个单位

⎛→ y ＝3sin ⎝x ＋3⎭−−−−−−

πππ

x ＋＝3sin ⎛x ＋⎫＝3cos x . y ＝3sin ⎛⎝63⎝2⎭∴f (x ) ＝3cos x .

变式训练3 C

课时作业

π

1

3

1．C 2.D

3．C [函数y ＝sin x −−−−−−−→

π横坐标伸长到原来的2倍x －y ＝sin ⎛――→ 纵坐标不变⎝101πx －.] y ＝sin ⎛⎝210向右平移个单位长度π42x ＋⎫−−−−−−−4．B [y ＝sin ⎛→ 6⎭⎝

πππx －⎫＝sin ⎛2x －.] y ＝sin ⎡2⎛3⎝⎣⎝4⎭6向右平移个单位长度

10

π

π

1→y ＝3sin 2x π5．B [y ＝3sin x ――→ 到倍2

6

横坐标压缩向右平移

ππ

x －＝3sin ⎛2x －， y ＝3sin2⎛3⎝6⎝π

∴ω＝2，φ3

6．y ＝cos 2x 3π7. 2

π⎫ππx ＝cos ⎛x －向右平移φ个单位后得y ＝cos ⎛x －φ－⎫， 解析 y ＝sin x ＝cos ⎛2⎭⎝2⎭⎝2⎝ππ

∴φ＋2k π，k ∈Z ，∴φ＝2k π－k ∈Z .

22

3π

∴φ的最小正值是.

2

8．①③

π

2x ＋⎫＋2 9．解 ∵y ＝－2cos ⎛6⎭⎝

7

2x ＋⎫＋2 ＝2cos ⎛6⎭⎝

7

x ＋π⎫＋2 ＝2cos2⎛⎝12⎭

1

先将y ＝cos x 的图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，则得到y ＝cos 2x

2

的图象．

7π

再将y ＝cos 2x 的图象向左平移

12

⎛x ＋7π⎫⎤，即y ＝cos ⎛2x ＋7π的图象，再将y ＝cos ⎛2x ＋7π的图象上各则得到y ＝cos ⎡266⎣⎝12⎭⎦⎝⎝

7π

2x ＋⎫的图象． 点的纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变，即得函数y ＝2cos ⎛6⎭⎝

最后，沿y 轴向上平移2个单位所得图象即是

7π

2x ＋＋2的图象． y ＝2cos ⎛6⎝

π

2x ＋⎫＋2的图象． 即得到函数y ＝－2cos ⎛6⎭⎝

π

2x －. 欲求函数的单调递减区间，只需求 10．解 (1)由已知函数化为y ＝－sin ⎛3⎝

π

2x －⎫的单调递增区间． y ＝sin ⎛3⎭⎝πππ

由2k π－2x 2k π＋ (k ∈Z ) ，

232

π5

解得k π－≤x ≤k π＋π (k ∈Z ) ，

1212

∴原函数的单调减区间为 ⎡k π－πk π＋5π⎤ (k ∈Z ) ．

1212⎦⎣

πππ

2x ⎫＝cos ⎡⎛32x ⎫⎤ (2)f (x ) ＝sin ⎛⎭⎦⎝3⎭⎣2⎝ππ2x ＝cos2⎛x . ＝cos ⎛6⎝⎝12∵y ＝cos 2x 是偶函数，图象关于y 轴对称，

π

∴只需把y ＝f (x ) 的图象向右平移

12