摭谈"耐克函数"教学的三个层次与几个细节

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数学教学研究第３４卷第２期２９１５年２月

摭谈“耐克函数＂教学的三个层次与几个细节

缪选民

（江苏省泰州市海陵区教育局教研室２２５３００）

众所周知，函数ｙ＝ｚ＋兰（口＞ｏ）的图像。

形似“耐克”商标，因而被人们形象地称为“耐克函数”，有时也叫做“双钩函数”．因其在求函数的值域、最值及不等式中的广泛应用，特别是多次以不同形式呈现在全国及各地高考试卷中，所以它越来越受到人们的重视——苏教版高中数学教材叫（必修１）习题中有３处涉及该模型（第４３页练习第６题、第４５页习题第１０题、第５５页本章测试第１４题）．但在实际教学中，老师们往往在高一年级的函数中讲述这一内容，高二、高三年级讲得很

少，且在教学时几乎“一步到位”，忽略了“螺

旋上升”，这就使得其教学价值与应用价值打了折扣．本文就如何进行该内容的教学谈点

想法．

笔者以为，介绍“耐克函数”重在系统，高中３个年级都应“点到”，且各个年级侧重点与层次性应有所不同．高一年级应着重从讨论函数单调性方面考虑，并将“耐克函数”的性质向同类函数迁移；高二年级着重从不等式与“耐克函数”的联系这一角度考虑，且在导数教学中插人讨论“耐克函数”单调性这一内容，以巩固高一的知识；高三年级着重从

“耐克函数”的综合应用加以考虑．

层次一：通过讨论函数的单调性了解“耐克函数”

高一年级学习了函数的奇偶性、单调性

１

这两概念后，便可从讨论函数ｙ＝ｚ＋÷的单

收稿日期：２０１４・１０—２０

万方数据

调性让学生了解“耐克函数”．此时教学的重点应突出讨论函数单调性的一般方法与过程，使学生确实理解增区间与减区间的分界点是如何产生的，而不仅仅是僵硬记住结论．

例１讨论函数厂（ｚ）一ｚ＋｛单调性．

所谓突出“讨论函数单调性的一般方法”，是指出示这个基本例题后，不应忙于“作差”，而是分层次地向学生提出这样的问题：

问题１是否要在整个定义域内讨论单调性？能否缩小讨论范围？

（讨论单调性时，如果函数有奇偶性的话，只要考虑“一半’’即可，从而简化讨论，要让学生养成这样的习惯）

有了上面的思考，讨论限定在（ｏ，＋。。）内便是自然的事了．不妨设ｚ，＞ｚ。＞Ｏ，则

１

１

厂（ｚ，）一厂（ｚｚ）一ｚ・＋÷一ｚｚ一去

：ｚ，一ｚ。＋土一上

Ｚ１

Ｚ２

＝（ｚ，一ｚ。）＋等≥

一！兰！二兰２２１兰！兰！二１２

。

Ｚ１２２

这里ｚ１一ｚ２的符号已经确定，又ｚ，，ｚｚ的符号也已确定，故只要确定ｚ，ｚｚ一１的符

号即可．接下来的问题是：

问题２ｚ，，ｚｚ在哪个区间内能保证

ｚｌｚ２—１＞０７

学生的回答可能不尽相同，如：在（２，

第３４卷第２期２０１５年２月数学教学研究

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＋ｏ。）内、在（３，１０）等，如果出现这种答案，继续追问，区间能否再扩大一点？如果出现

（去，＋。ｏ），（ｏ，３）之类的答案，则追问：该区

间内的每一对ｚｌ，ｚ２都能保证ｚｌｚ２—１＞ｏ？这个环节的主要目的是让学生真正去“悟”：

什么样的区间能保证当ｚ，＞ｚｚ时厂（ｚ・）一

，（ｚ。）＞Ｏ一定成立？经过思考与探求，由于ｚ，，ｚ：的任意性，当它们都无限接近某个区

间的端点时也应该有鱼［］宅掣＞

ｏ，即当ｚ１与ｚ２无限接近时ｚｌｚ２—１＞ｏ仍成立，从而悟出方程ｚ２—１＝ｏ的解为单调区间的一个端点，明白为什么“界点是１”．由此

得到单调递减区间是（ｏ，１），单调递增区间是

（１，＋∞），最后得到各个单调区间：（一。。，

一１），（一ｌ，Ｏ），（Ｏ，１），（１，＋ｏ。）．

为了体现“例ｌ”的价值，教学时还应当提出如下系列问题：

问题３若函数，（ｚ）＝ｚ＋詈，则厂（ｚｔ）

一，（ｚ２）一？

（让学生熟悉确定厂（ｚ，）一，（ｚｚ）符号的

方法，即作差后变形的常用方法：通分、因式分解、配方等）

弛１）－化。）一亟鼍拶．

学生经过模仿便可得到，因为在后续学习中，还会遇到

厂（ｚ）＝ｆ＋｛

诸如此类函数的单调性，到时就不难得出

厂（∽一，（动＝塑！攀掣

这种变形结果．实际上，在高三复习阶段，大部分学生对这种变形是不熟练的．

问题４，（ｚ）＝ｚ＋兰（口＞ｏ）的单调区

间是什么？

万方数据

有了上面的铺垫，在（ｏ，＋。。）内得出分

界点石已不是什么难事了．

问题ｓ如何画出厂（ｚ）＝ｚ＋詈（口＞ｏ）

的草图？

经过上面的一系列讨论，不难得到其草图如图１所示，这样，“耐克函数”的讨论基本

另外，在单调性讨论的后续课程中，还应

＝ｚ＋÷是完全一样的，就连“作差”后变形

设ｚ１，ｚ２∈（０，＋ｏ。）且ｚ１＞ｚ２，则

ｇ（ｚ１）一ｇ（ｚ２）

２

．

２

。ｚ１一石一ｚ２十云

：（ｚ，一规）＋壑鱼二型

・Ｌ１０２

：！兰！二兰２２１兰！垄±；２．

’

ＺｌＺ２

●

．ｒ

‘洒Ｏ

沙

厢

－蕊ｉ

工

／／

／＾

／

．ｒ

ｘ

图１

图２

层次：：加强不等式与“耐克函数”的联系

完成．

让学生模仿求函数ｇ（ｚ）＝ｚ一÷的单调区

间．将讨论“耐克函数”的方法迁移到此例，再合适不过了，因为其定义域、奇偶性与，（ｚ）

的方法、结果、结论也相似：

由假设知ｇ（ｚ１）一ｇ（ｚ２）＞０，所以ｇ（ｚ）在

（Ｏ，＋。ｏ）内是增函数，在（一∞，ｏ）内也是增函数．这个结论推广到一般就是：ｇ（ｚ）一ｚ一

导（口＞ｏ）的单调递增区间是（一∞，ｏ），（ｏ，＋

∞）．有趣的是它的零点与，（ｚ）＝ｚ＋导（口＞

ｏ）的拐点都是石，其图像如图２所示．

８数学教学研究第３４卷第２期２０１５年２月

在高二不等式的教学中，部分学生对“ｚ

＋三≥２（ｚ＞Ｏ）或ｚ＋土≤一２（ｚ＜０）”这一

Ｚ

ｏ

结论总有记忆障碍，尤其是时间久了，好多学

１

生总习惯记住ｚ＋÷≥２（如果ｚ没有限制）．

１

产生这一现象原因之一是在Ｉｚ＋专ｌ≥２这“１

个问题的教学中，我们大多采用分类讨论法来讲授，即：“当ｚ＜ｏ时，则一ｚ＞ｏ，（一ｚ）＋

１

１

丁兰孬≥２，所以ｚ＋专≤一２（ｚ＜ｏ）”，有的

学生对这种方法没有完全理解（有点象初一学生理解“如果ｎ是负数那么一口是正数”那般困难）．如果用上述方法的同时再联系“耐克函数”的知识，让学生联想到图１，那么记住“ｚ＋三≥２（ｚ＞ｏ）或ｚ＋土≤一２（ｚ＜ｏ）”ｏｏ这一结论就容易多了，也能理解为什么要分ｚ＞ｏ和ｚ＜ｏ来讨论，同时对取等条件“ｚ＝

±１”的理解就更深刻．对于“ｚ＋旦≥２厄（ｚｏ＞ｏ）或ｚ＋詈≤一２厄（ｚ＜ｏ）（ｎ＞ｏ）”同样

如此．当然，若能结合３，＝，（ｚ）与ｙ＝Ｊ，（ｚ）Ｉ

１

的图像关系来说明不等式ｌｚ＋÷Ｉ≥２，那就

“Ｉ

更完美了．

在高二阶段，经常遇到不等式等号不成立的情况，如“求ｓｉｎ

ｚ＋盎”的取值范围．

。

对于这类问题，一个有效的方法是利用“耐克函数”求解．一来教给学生应对这类问题的常用方法，二来巩固基础知识．笔者在教学时，曾给学生这样小结：“遇到用基本不等式求范围时等号不成立，务必尝试‘耐克函数’’’，话虽然偏颇，但教者与学生均感到“管用”．

高二的教学内容中，还有一个与“耐克函数”可联系的知识点就是利用导数求函数的

万方数据

单调区间．如讨论函数ｙ—ｚ＋兰（ｎ≠ｏ）的单

调区间，求导数后得ｙ７一等孑，要确定ｙ７的

正负自然会遇到讨论口的符号问题，它是对

“层次一”讨论ｙ—ｚ＋兰单调性ｎ＞ｏ与口＜

ｏ两种情况的综合，也是站在另一个角度考

虑“耐克函数”的单调性，这里不再赘述．

层次三：“耐克函数”的综合运用

到了高三复习阶段，关于“耐克函数”的教学主要有两点，一是复习基础知识时不能将高一有关知识简单地重复一遍，而要有所变化与提高；二是要恰当地将考题中涉及“耐克函数”的问题穿插在复习课中，达到举一反

三与综合应用的目的．类似于下例这类问题

是高三一轮复习中用来“变化与提高＂的比较

理想的例子：

例２求函数，（ｚ）＝一＋去的单调区

间．

这个问题完全可以模仿讨论“耐克函数”

的方法进行．

解该函数是偶函数且定义域为（一∞，ｏ）Ｕ（０，＋∞），设丑，恐∈（Ｏ，＋ｏ。）且∞＞恐，

，（ｚ１）一厂（ｚ２）

＝ｚ｛＋去一ｚ；一去

砘ｈ４）＋警

：（兰！二兰１２１兰！兰ｌ＝呈２

’

ｚｉｚ｛

当ｚ１，ｚ。∈（拉，＋∞）时，（ｚ。）一厂（ｚ２）＞ｏ，当ｚ，，ｚ２∈（ｏ，粒）时厂（ｚ１）一，（ｚ：）＜ｏ，因此，，（ｚ）一ｚ４＋考的单调区间：递增区间是（花，＋∞），（一粒，ｏ），递减区间是

（一ｏ。，一粒），（ｏ，花）．

第３４卷第２期２０１５年２月数学教学研究

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又如，２００６年上海高考试题（其中一个

０６

小题）：如果函数ｙ＝ｚ＋鲁（ｚ＞ｏ）的值域为

［６，＋。。），求６的值．这些都是高三复阶段巩固“耐克函数”基本模型极好的例子．

例３（２０１２年南京三模试题）在某次水下考古活动中，需要潜水员潜入水深为３０米的水底进行作业．其用氧量包含３个方面：①下潜时，平均速度为础（米／单位时间），单

位时间内用氧量为彬（ｃ为正常数）；②在水

底作业需５个单位时间，每个单位时间用氧

量为ｏ．４；③返回水面时，平均速度为詈（米／

单位时间），单位时间用氧量为ｏ．２．记该潜水员在此次考古活动中，总用氧量为ｙ．

（１）将３『表示为口的函数；

（２）设ｏ＜《５，试确定下潜速度勘，使总

的用氧量最少．

这是１９９７年全国高考试题“运输成本”那一题的翻版（读者可查阅１９９７年全国高考

数学试题）．

这类例题的可取之处在于：一是给学生示

范与“耐克函数’，形式相近的函数如何变形；二是示范分类讨论“界点”的由来．由题不难得ｙ

１ｏ

＝３０∞ｔ筹＋２（ｔ》ｏ），向“耐克函数”靠拢有ｙ

呈

＝３０ｃ（口＋坐）＋２．（在实际教学中，这种变形方法在高一就“一步到位”了．但从“螺旋上升”的角度考虑，高三阶段再作这样的变形比较贴切）又ｏ＜口≤５，而本题中“耐克函数”的“界

点”剐壹，所以讨论的“界点”就由√壹≤５

ｒｉ

ｒｉ

厅ｒ

ｏ

与√壹＞５产生，即最后的讨论是分彦彘与

Ｏ

ｏ＜ｆ＜丧两种情况（解答略）．

复习中还应注意，有些问题乍一看与“耐

万方数据

克函数＂毫无关系，但解答到一半，“耐克函数”就显现了，这类问题不能小视．

，（ｚ）＝￡学（口∈Ｒ），若对于任意的ｚ例４（２０１１年南京二模试题）已知函数∈Ｎ．，，（ｚ）≥３恒成立，ｎ的取值范围是

分析

由竺掣≥３，ｚ∈Ｎ得≯＋

配＋１ｌ≥３ｚ＋３，口≥一ｏ＋兰）＋３，显然只要求在ｚ∈Ｎ．条件下＾（ｚ）＝一（ｚ＋号）＋３的最

大值即可．这方面的例子俯拾即是：

题１

已知口ｎ２赢（，２∈Ｎ．），求数

列｛口。）的最大项；

题２若ｚ２一懈＋４优一１一。在［ｏ，１］

上有解，求ｍ的取值范围．

对于题１，只要作变形：％２—寺丽，求

挖１’ｉ

分母的最小值便可得｛锄）的最大项；

对于题２，将其变形成

ｍ：￡二旱：鱼±兰龃

Ｚ一譬

￡

＝￡＋挈＋８（ｚ一４一ｔ），￡∈［一４，～３］，

综上所述，对于数学中某个综合性较强的层次性，因为“双基’’也是有层次的、渐进的，“一步到位”式教学最容易挫伤对数学感学（必修１）（第４版）［蛔．南京：江苏教育出版

社。２０１２．

再用“耐克函数”求解即得优的取值范围．

知识点的教学，尤其是高考中的“热点”，高中三年应当全盘考虑，且注意各阶段教学目标悟稍差的那部分学生的积极性，这也是人们常说的“教之道在于度”的含义之一．

参考文献

［１］单埠，等，普通高中课程标准实验教科书・数