正弦函数.余弦函数的图象和性质教案

正弦函数、余弦函数的图象和性质

一、学情分析:

1、学习过指数函数和对数函数；

2、学习过周期函数的定义；

3、学习过正弦函数、余弦函数[0, 2π]上的图象。

二、教学目标：

知识目标：

1、正弦函数的性质；

2、余弦函数的性质；

能力目标：

1、能够利用函数图象研究正弦函数、余弦函数的性质；

2、会求简单函数的单调区间；

德育目标：

渗透数形结合思想和类比学习的方法。

三、教学重点

正弦函数、余弦函数的性质

四、教学难点

正弦函数、余弦函数的性质的理解与简单应用

五、教学方法

通过引导学生观察正弦函数、余弦函数的图象，从而发现正弦函数、余弦函数的性质，加深对性质的理解。（启发诱导式）

六、教具准备

多媒体课件

七、教学过程

1、复习导入

(1) 我们是从哪个角度入手来研究指数函数和对数函数的？

(2) 正弦、余弦函数的图象在[0, 2π]上是什么样的？

2、讲授新课

（1）正弦函数的图象和性质（由教师讲解）

通过多媒体课件展示出正弦函数在[-2π, 2π]内的图象，利用函数图象探究函数的性质：

ⅰ 定义域 正弦函数的定义域是实数集R

ⅱ 值域

从图象上可以看到正弦曲线在[-1, 1]这个范围内，所以正弦函数的值域是[-1, 1]

ⅲ 单调性

结合正弦函数的周期性和函数图象，研究函数单调性，即：

ππ⎤⎡在2k , 2 k π +(k 上是增函数； ⎢ π - ⎥ ∈ Z ) 22⎦⎣2k 在 ⎢ π + , 2 k π + ⎥( k ∈ Z ) 上是减函数； ⎣22⎦⎡π3π⎤

ⅳ 最值

观察正弦函数图象，可以容易发现正弦函数的图象与虚线的交点，都是函数的最值点，可以得出结论：

当 x = 2 k π + , k ∈ Z 时， y max = 1 当 x = 2 k π - , k 时， y min = - 1 ∈ Z 2ππ2

ⅴ 奇偶性

正弦函数的图象关于原点对称，所以正弦函数的奇函数。

ⅵ 周期性

正弦函数的图象呈周期性变化，函数最小正周期为2π。

（2）余弦函数的图象和性质（由学生分组讨论，得出结论）

通过多媒体课件展示出余弦函数的图象，由学生类比正弦函数的图象及性质进行讨论，探究余弦函数的性质：

ⅰ 定义域 余弦函数的定义域是实数集R

ⅱ 值域

从图象上可以看到余弦曲线在[-1, 1]这个范围内，所以余弦函数的值域是[-1, 1]

ⅲ 单调性

结合余弦函数的周期性和函数图象，研究函数单调性，即： 在, 2 k π ] (k [2 k π - π ∈ Z ) 上是增函数； [ 2 k π , 2 k π + π ]( k ∈ Z ) 上是减函数； 在

ⅳ 最值

观察余弦函数图象，可以容易发现余弦函数的图象与虚线的交点，都是函数的最值点，可以得出结论：

min 当 x = 2 k π , k ∈ Z 时， y max = 1 当 x = 2 k π + π , k ∈ Z 时， y = - 1

ⅴ 奇偶性

余弦函数的图象关于y 轴对称，所以余弦函数的偶函数。

ⅵ 周期性

余弦函数的图象呈周期性变化，函数最小正周期为2π。

3、例题讲解：

π例：求函数 y = sin( + ) 的单调递增区间。 x 23

分析：采用代换法，利用正弦函数的单调性来求所给函数的单调区间。

1πu 的单调递增区间是 解：令 u = x + . 函数 y = sin 23

[- π + 2 k π , π + 2 k ∈ Z k π ],

π

222- +x ++ 2由 2 k π ≤ ≤ k π , 2321ππ

π π得： 5 -+4k π≤x ≤+4k π, k ∈Z . 33

π⎡5π⎤x π-+4k π, +4k π(k ∈Z ) + ) 的单调增区间是 所以函数 y = sin( ⎢ ⎥3323⎣⎦

4、练习：

= 3求函数 y sin( 2 x + ) 的单调减区间。 4

⎢k π+8, k π+8⎥(k ∈Z )

⎣⎦π 答案： ⎡ π ⎤ π 5

5、小结：

（1）探究正弦函数、余弦函数的性质的基本思路是什么？

（2）求正弦函数、余弦函数的单调区间的基本步骤是怎样的？

6、作业：

习题1.4 第4题、第5题