第三章习题答案 二维随机变量及其概率分布

第三章 二维随机变量及其概率分布

习题一

一、（1）于任意实数x,y，有0≤F(x,y)≤1；

(2) F(x,y)对x,y分别是单调不减的；

(3) 对于任意实数x,y有 F(-∞,y)=limF(x,y)=0,

x→-∞

F(x,-∞)=limF(x,y)=0,

y→-∞

F(-∞,-∞)=limF(x,y)=0, F(+∞,+∞)=limF(x,y)=1

x→-∞

y→-∞

x→+∞y→+∞

(4) F(x,y)对任意x,y分别是右连续的； （5） 对任意x1≤x2,y1≤y2有

F(x2,y2)-F(x1,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1)≥0,

二、FX(x)=P(X≤x)=P(X≤x,Y≤+∞)=F(x,+∞)=limF(x,y)

y→+∞

FY(x)=P(Y≤x)=P(X≤+∞,Y≤y)=F(+∞,y)=limF(x,y)

x→+∞

习题二 一、

随机变量ξ与η不独立．

二、解： X的取值为1，2，3，Y的取值为2，3，4，故(X,Y)的联合分布率为

三、解：由

1+c++=1

得c= 习题三

+∞

一、解：因为

⎰

-∞

x2c

p(x,y)dxdy=dxcy(1-x)dy=c(1-x)⋅dx==1， ⎰-∞⎰0⎰0⎰0

224

+∞

1

x

1

所以c=24；

x2⎧⎪⎰24y(1-x)dy0≤x≤1⎧12x(1-x)0≤x≤1

pX(x)=⎰p(x,y)dy=⎨0=⎨；

-∞

其它 ⎪0其它⎩0⎩

+∞

12⎧⎪⎰24y(1-x)dx0≤y≤1⎧12y(1-y)

pY(y)=⎰p(x,y)dx=⎨y=⎨

-∞

⎪0其它⎩0⎩

+∞

0≤y≤1其它

二、解：(1)

⎰⎰

由

+∞+∞

-∞-∞

+∞

p(x,y)dxdy=⎰

+∞

+∞

⎰

+∞

02

A

dxdy22

(1+x)(1+y)

=A⎰

得 A=

dxdyπ

=A=141+x2⎰01+y2

4

π2

，

（2）F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)=

⎰⎰

-∞

xy

-∞

p(u,v)dudv

⎧4

⎪arctanxarctanyx>0,y>0=⎨π2 ⎪0其它⎩

⎧2

⎪arctanxx>0

； FX(x)=F(x,+∞)=⎨π

⎪x≤0⎩0⎧2

⎪arctanyy>0

FY(y)=F(+∞,y)=⎨π

⎪y≤0⎩0

⎧1-e-0.5x

三、解：（1）FX(x)=F(x,+∞)=limF(x,y)=⎨

y→+∞

⎩0

⎧1-e-0.5yy≥0

FY(y)=⎨

0其它⎩

-0.5(x+y)

x≥0,y≥0∂2F⎧0.25e

=⎨（2） p(x,y)= ∂x∂y⎩0其它

x≥0其它

，

⎧0.5e-0.5x

而pX(x)=⎰p(x,y)dy=⎨

-∞

⎩0

+∞

x≥0其它

⎧0.5e-0.5y

或pY(y)=FY'(y)=⎨

⎩0

（3） P(X≥0.1,Y≥0.1)=

y≥0其它

⎰⎰

0.1

+∞+∞

0.1

p(x,y)dxdy=e-0.1

四、解：（1） 区域D的面积为 S(D)=

⎰⎰

2

2x-x2

dxdy=3

⎧0≤x≤2,0≤y≤2x-x24 从而p(x,y)=⎨

⎩0其它

2x-x232⎧+∞⎧0≤x≤2⎪⎰dy0≤x≤24(2x-x)（2） pX(x)=⎰p(x,y)dy=⎨0， =⎨4-∞

其它⎩0⎪0其它⎩

⎧1+3+∞-y0≤y≤1⎪⎰⎪dy0≤y≤1⎧ pY(y)=⎰p(x,y)dx=⎨1--y4=⎨2

-∞

⎪其它⎪⎩00其它⎩

(3) P(X≤Y)=

x≤y

⎰⎰p(x,y)dxdy=⎰dx⎰

1

2x-x2

x

4

1dy=

8

习题五

一、解：习题1，2，3都不独立．

二、解：习题1，4不独立；习题2，3独立． 三、解：

⎧1⎧e-yy≥0⎪0

pY(y)=⎨pX(x)=⎨2

它⎩0其⎪其它⎩0

⎧1-y⎪e0

p(x,y)=pX(x)pY(y)=⎨2

⎪其它⎩0

（1）P(-1

12-y1-2

edy=(1-e)； ⎰02⎰0

2

1

（2）P(X+Y>1)=P(Y>1-X)=1-P(Y≤1-X)

=1-⎰dx⎰

11-x

11-y

dy=1- 22e

习题六

一、解：X,Y均为离散型随机变量，(X,Y)是二维随机变量，且

P(X+Y=k)=∑P(X=i)P(Y=k-i)=∑aibk-i k=0,1,2,

i=0

i=0

kk

二、解：p(x)=⎨

⎧10

0

Z的分布函数为FZ(z)=P(X+Y≤z)=

当z≤0,

x+y≤z

⎰⎰p(x,y)dxdy

F(z)=0;当z>2,F(z)=1

当 0

⎰

z

dx⎰

1

z-x

dy=

1

12

z 2

F(z)=1-

12

=1-(2-z) dxp(x,y)dy⎰⎰2z-1z-x

0

⎪

故 p(z)=F'(z)=⎨2-z1

⎪0其它⎩

⎧0z≤0⎪zz-y⎪

⎪⎰⎰3xdxdy0

F(z)=⎰⎰p(x,y)dxdy=⎨

1x三、解：

x+y

dx⎰3xdy1

⎧92

⎪8z0

z2⎪3

pU(z)==F'(z)=⎨(1-)0≤z

4⎪2

其它⎪0⎪⎩

复习题

一、1.（a） 2．（c） 3．（d）

4．解：(X,Y) 关于X,Y的边缘分布律分别为

由因为X与Y相互独立的充分必要条件为对于一切i，j都有

本题选（b）． ,q=15PiPj=Pij，解得p=10

5．（a） 6．（d）

7．解：(X,Y)关于X的边缘概率密度

⎧-x21⎧22

+∞⎪⎰-1-x2dy|x|≤1⎪-x,|x|≤1

PX(x)=⎰f(x,y)dy=⎨=⎨ππ-∞

⎪0|x|>1|x|>1⎪⎩0⎩

类似地，关于Y的边缘概率密度为

⎧22

P∞

f(x,y)dx=⎪⎨-y|y|≤1

Y(y)=⎰

+-∞

⎪π

⎩0

|y|>1⎧4但P⎪

(1-x2)(1-y2)|x|≤1,|y|≤1

X(x)PY(y)=⎨π2

≠f(x,y)

⎪⎩

0其它

所以X与Y不独立，选（c）． 8．

(a) P{a≤x≤b,Y(c) P{0

(i,j)(i,j=0,1,2,3,4,5,i+j≤5)

由于抽取是有放回的，各次抽取相互独立，再一次抽取中的概率为

P=(ij5-i-j

10)(10)(10)

(i+j≤5)

对于取定的i,j，以上这样的事件出现的总数为

Cij5C5-i=

5!

i!j!(5-i-j)!

(i,j=0,1,2,3,4,5,i+j≤5)

因{X=i}={5次独立重复试验中，事件A恰好出现I次}，则X~B(5,3

),P(X=i)=Ci5i75-i

5()()，(i=0,1,2,3,4,5)

类似地，关于Y地边缘分布律为

P{Y=j}=Cj5j(55-j5()) ，(j=0,1,2,3,4,5) 即Y~B(5,5

)

三、解：（1）当x0时，fX(x)=0 当0≤x≤1时

2

fx2+12

X(x)=⎰(xy)dy=2x+2x

故

所以f⎧2x2+2x0≤x≤1X(x)=⎨⎩0

其它

当y2时，fY(y)=0；当0≤y≤2时

1

f21Y(y)=⎰(x+3xy)dx=

3+16

y 所以 f(y)=⎧⎨3+6y0≤y≤2Y0 ⎩其它注意到 f(1

11

,)=,

fX(11

)fY(25

)=

≠f(11,)

故X域Y不独立． （2）P{X+Y≥1}=⎰12

dx⎰

1-x

(x2+3xy)dy=

6572

四、（1） 1=

⎰+∞⎰

+∞

-∞-∞

ϕ(x,y)dxdy=

⎰⎰

C(R-x2+y2)dxdy=1

3πRC x2+y2≤1

（2）当R=2时，

⎧ϕ(x,y)=⎪3⎨8π

(2-x2+y2),x2+y2≤2

2 ⎪⎩0

其它于是 P(x2

+y2

≤1)=

1

2

五、由题中的条件知(X,Y)的联合概率密度为：

p(x,y)=⎧⎨

12e-3x-4y

x>0,y>0⎩0

其它

F(x,y)=FF⎧(1-e-3x)(1-e-4x)x>0,y>0

X(x)Y(y)=⎨

⎩

0其它（2） P(X

)

六、解：由于X与Y相互独立，所以p(x,y)=pX(x)pY(y)，从而

pz)=⎰+∞

⎧⎪z

-x-(z-x)dxz>0⎧ze-zz>0Z(⎰0ee

-∞pX(x)pY(z-x)dx=⎨

=⎪⎨⎩0

z≤0⎩0z≤0F⎧1-e-z-ze-z

七、z>0

Z(z)=⎨

⎩0

z≤0

C=3

πR

3