第7章-量子光学

第七章 量 子 光 学

量子光学理论的出现与发展推动了整个量子科 学的不断前进，同时在应用上，量子光学推动很多 关键技术的发展。并且量子光学相关的领域具有深 刻的物理研究价值了广阔的应用潜力！ 教学目的： 1.使得学生能够了解量子光学的发展过程和重要性。 2.使学生初步掌握量子光学的基本假说，基本原理。 3.初步了解量子光学在各个领域中的应用。

§1 普朗克能量子说

1.热辐射 2.黑体辐射 黑体辐射定律

3.普朗克辐射公式和能量子 假说

§1 普朗克能量子说

1. 热辐射

•热辐射体中原子 和分子不发生运动状态变化． •热辐射能量来自物体的热运动. •在任何温度下（只要不是绝对零度）辐射连续 光谱． (1)单色辐射出射度 r ( λ , T ) :

λ ~ λ + dλ ,

§1 普朗克能量子说

(2)辐射出射度 (简称辐出度) R(T)

λ : 0 ~ ∞.

温度为T的热辐射体,单 位面积, 向2π立体角辐射出 的所有波长的功率.

∞

dλ = 1

温度为T的热辐射体, 单 位面积，向2π立体角辐射出的、 波长在λ附近单位波长间隔 （dλ＝１)的辐射功率.

ds = 1

R (T ) = ∫ r ( λ , T )d λ .

0

ds = 1

§1 普朗克能量子说

(3) 吸收本领 α(λ,T) 入射到物体上的辐射通量 , 一 部分被物体散射或反射(对透明物体, 还会有一部分透射), 其余的为物体 所吸收. 吸收本领定义为:

吸收

§1 普朗克能量子说

(4)基尔霍夫定律: 物体的单色辐出度和吸收本领的比值 与物体性质无关, 对于所有物体, 这个比 值是波长和温度的函数.用数学式子表示:

r (λ , T ) = f ( λ , T ). α (λ , T )

上式是基尔霍夫定律的数学表达式．

α (λ , T ) =

r ′( λ , T ) . r (λ , T )

入射

f (λ , T ) 是与物体性质无关的普适函数.

§1 普朗克能量子说

2. 黑体辐射

(1) 黑体 能够在任何温度下全部吸收任何波长的辐 射的物体称绝对黑体，简称黑体.

§1 普朗克能量子说

所以有

黑体辐射定律

f ( λ , t ) = r0 ( λ , T ).

黑体辐射的单色辐出度与物体 热辐射普适函数有相同的形式.

α 0 ≡ 1.

由基尔霍夫定律，对黑体也应有

r0 ( λ , T )

α0

= f ( λ , T ),

人们研究热辐射，需要找出这个普适函数的 数学形式，研究黑体辐射，是寻找普适函数 的有效途径．

§1 普朗克能量子说

(2)黑体辐射实验曲线.

r0

1646 k 1460 k

黑体在不 同温度下 光谱能量 分布曲线

§1 普朗克能量子说

(3)黑体辐射实验定律 (a) 斯特藩—玻耳兹曼定律 黑体辐射的辐射出射度Ｒ与绝 对温度的四次方成正比，即

904 k

793 k

0

R = ∫ r0 ( λ , T )d λ = σ T 4 .

0

∞

式中 σ

= 5.67 × 10 −8 W / m 2 k 4 ,

称为斯特藩—玻耳兹曼常数.

1

2

3

4

5

6

λ (× 10 −4 cm )

Ｒ在数值上等于黑体辐射曲线下面积.

§1 普朗克能量子说

(b) 维恩定律:

任何温度下，黑体辐射曲线都有一个极大 值，这极大值对应的波长与温度成反比，即

§1 普朗克能量子说

3.普朗克辐射公式和能量子假说

黑体辐射辐出度 r0(λ,Τ)等于普适函 数, 因此要解释实验得出的黑体辐射能量 曲线, 归根结底就是确定普适函数的形式. 然而, 所有想从经典理论中得出这一 函数的正确形式的尝试都遭到了失败. (1) 维恩公式和瑞利-金斯公式 维恩假设分子辐射频率与分子热运动 动能成正比.因此按频率的能量分布与按速 度的麦克斯韦分布类似,由此得出光谱分布 函数的解析式：

λ b T = b.

r0

1600 k

色温

上式中温度Ｔ称为色温.

−3

0 2 3 λb 5 6

且式中 b = 2.9 × 10 mk . 由维恩定律 , 可以根据物体 的颜色确定其温度 , 天体的 λ (× 10 −4 cm ) 温度就是这样确定的.

§1 普朗克能量子说

§1 普朗克能量子说

曲线

ν 3 − CTν r0 ( λ , T ) = C1 2 e . c

2

可以算出,腔内在ν～ν+dν频率范围内,本征模 数为

维恩公式与实验曲线在短波部分相符, 但在长波 部分与实验曲线偏离. 瑞利-金斯提出,在达到热平衡的空腔内,电 磁辐射场是具有不同频率和不同传播方向的驻波 系统.其中每一种驻波是辐射场中的一种波型, 或称模式.都代表辐射场中的一个稳定的状态.因 此可以称为本征振动的方式或本征模.

8πν 2 dν , c3

瑞利根据热力学中能量均分定理, 认为每一本 征振动的动能和势能各占KT/2.因此在ν～ν+dν 频率范围内的能量为

8πν 2 ρ (ν , T ) d ν = 3 kTdν , c

5

§1 普朗克能量子说

式中ρ(ν,Τ)为黑体腔内的能量密度，K 为玻 耳兹曼常数．可以证明

§1 普朗克能量子说

(2) 普朗克能量子假说

普朗克假说: 黑体是由带电的线性谐振 子所组成,这些谐振子能量不能连续变化,只 能取一些分立的值,这些分立值的是最小能量 ε 0 的 整 数 倍 , 即 0, ε0 , 2ε0 , 3ε0 ,…,n ε0,…,称为谐振子的能级.最小能量 式中

ρ (ν , T ) =

因此有

4 r0 (ν , T ). c

证明

r0 (ν , T ) =

2π 2 ν kT . c2

曲线

上式为瑞利-金斯公式.它在波长相当长时,才 与实验曲线相符,随着波长的减小辐射能量无限大 . 这就是物理学发展史上所谓的紫外灾难．

6

h = 6 .626 × 10 −34 J ⋅ s ,

ε 0 = hν

称为普朗克常数.

上面这个假说,叫做普朗克能量子假说,它与经 典理论能量是连续的理论相矛盾.

7

§1 普朗克能量子说

以这个假说为前提,根据热力学定律,普朗克得出 黑体辐射公式(普朗克公式):

§1 普朗克能量子说

普朗克公式发表于1900年12月14日, 这 一天, 被人们看作为量子论诞生日. 作用量子h是最基本的自然界常数之一, 体现了微观世界的基本特征, 它既是支配电 磁场与物质相互作用的基本量,又是表征原子 结构的重要参数, 是物质世界中的一个重要 角色.由于普朗克常数h的出现,导致了物理学 的一场巨大的革命. 爱因斯坦在1948年4月悼念普朗克的会上,充 分肯定了普朗克常数发现的重大意义：

8 9

2π hν 3 ⋅ r0 (ν , T ) = c2

1 e

hν kT

.

推导 曲线

−1

这个公式与实验曲线符合得很好, 在短波和 长波两种极限的情况下能过度到维恩公式和瑞利金斯公式. 并且由普朗克公式可以导出维恩位移 定律和斯特潘-玻耳兹曼定律.

§1 普朗克能量子说

推导普朗克黑体辐射公式

设黑体腔内是稳定的驻波场,是具有不同频率、不 同传播方向的驻波系统.在腔壁上电场形成波节,磁场形 成波腹.每一驻波代表一种振动模式.

插页

§1 普朗克能量子说

产生驻波的条件为:

插页

m 1 , m 2 , m 3 = 0, 1, 2, LL

其中， m1 =

z

2 L1 cos α

以长方形腔为例.腔内某一 驻波的波矢为:

λ

,

m2 =

2 L2 cos β

λ

,

m3 =

2 L3 cos γ

λ

.

k =k +k +k ,

2 2 x 2 y 2 z

K

L3

L2

L1

因此，谐振腔中可以存在的波矢为:

kx =

2π

λ

cos α , k y =

kz = 2π

2π

y

k x = m1

λ

cos β ,

π , k y = m 2 π , k z = m3 π . L1 L2 L3

k= 2π

λ

cos γ ,

x

λ

=

2π 2πν = , c /ν c

§1 普朗克能量子说

⎡ m m m ⎤ k 2 = π 2 ⎢( 1 ) 2 + ( 2 ) 2 + ( 3 ) 2 ⎥ L2 L3 ⎦ ⎣ L1

因此有

§1 普朗克能量子说

波矢三维空间中的一任意 点,其坐标为

kz

π

L3

ky

( m1

ν=

c c m1 2 m 2 2 m3 2 k= ( ) +( ) +( ) . L2 L3 2π 2 L1

对应一种模式.不同的频率应有不同 不同的

π π π , m 2 , m3 ) L1 L2 L3

注意:驻波波矢有限制.

一组

m1, m2 , m3

m3

的模式,相同的频率,因k方向不同,也会有不同的模式. 一组 m1, m 2 , 的一个点. 对应一个波矢,对应波矢三维空间中

π kx π 维空间点阵, 8个格点形 L2 成一个长方体元, 每个 L1 格点又属于8个长方体元. 因此,每一格点对应一个长方体元, 有n个格 点，对应n个长方体元, 就有n个振动模式.

m1, m2 , m3 形成三

2π L2

§1 普朗克能量子说

由

§1 普朗克能量子说

π π π π3 体元的体积: V元 = ⋅ ⋅ = . L1 L2 L3 V

其中，V =L1L2L3为谐振腔的体积. 体元数:

k2 = (

2πν 2 2 ) = k x2 + k y + k z2 c

可知，允许存在的波矢数等于在波矢空间内半径为 2πν/c的球体内可以存在的体元数。因m1、m2、m3为 正整数，故对应1/8球体内的体元数：

V球 4 πν 3 = ⋅ V, V元 3 c 3

考虑到两个偏振态:

1 4 2πν 3 4 π 4ν 3 V球 = ⋅ π ( ) = ⋅ 3 , c 8 3 3 c

将上式两边除以V并对ν 微分,得单位体积频率在ν～ dν 范围内的本征模数.

8 πν 3 Nν = ⋅ 3 V . 3 c

§1 普朗克能量子说

8πν dn = 3 d ν , c

2

§1 普朗克能量子说

ε =

m =0

∑ mε e

0 m =0

∞

−

mε

0 kT

普朗克认为,黑体腔器壁是不同频率的线性 谐振子,由能量子假说,这些谐振子取分立的值,

∑e

∞

−

mε 0 kT

= e

ε0 kT

ε0

−1

= e

hν

hν kT

.

−1

ε 0 = hν ,

ε ν − 0 kT

−

按照玻耳兹曼定理,具有能量 0, ε 0 , 2ε 0 ,3ε 0 L 的振动几 率有如下关系:

ε = mε 0 ,

− 3 ε 0ν kT

壁上振子分布应与驻波分布相同, 因此单位体积内频率 范围在 ν ~ dν 内的能量密度为

1: e

5

:e

2 ε 0ν kT

黑体单色辐出度为

8π hν 3 ρ (ν ) dν = ⋅ c3

1

e

hν kT

.

1

hν kT

−1

. 1

:e

所以,平均能量为

L

6

c 2 πh ν 3 r0 (ν , T ) = ρ (ν , T ) = 2 ⋅ 4 c

§1 普朗克能量子说

二 证明关系式

§1 普朗克能量子说

插页

证明： 热辐射以光速c向各 个方向辐射，因此， 在任意一方向上的 立体角dΩ内，频率 为ν的辐出度为

c r0 (ν , T ) = ρ (ν , T ). 4

dΩ

在小孔外２π立体角空间内总辐射能量为

θ

单位面 积小孔 黑体空腔

r0 (ν , T ) =

1 4π

π 2π 2

∫ ∫ cρ (ν, T ) cos θ sin θdθdϕ = 4 ρ(ν, T )

0 0

c

dr0 (ν , T ) =

7

c ρ (ν , T ) cos θd Ω , 4π

8

回

§3 光的粒子性和波粒二象性

1.光电效应实验装置

光束 阳极

•

9

§3 光的粒子性和波粒二象性

2. 实验规律

饱和电流

窗口 阴极

G

im

i

光电流

o − o − −o − − o− o− o−o o o o − − 光电子

V0

截止电压

0

V

V

⋅ ⋅ • •

•

(1) 电压为零时电流不为零, 说明阴极被光照射 后释放出的光电子有一定的动能. 它还可以 靠本身动能达到阳极形成光电流.

§3 光的粒子性和波粒二象性

反向电压值达到截止电压时, 光电流为零,说 明光电子初动能满足

§3 光的粒子性和波粒二象性

ν中

ν大

i

1 2 mv 0 = eV0 . 2

(2)

截止电压大,光 电子初始动能大.

ν小

i

I中 I小

V01V02 V03

0

V

实验证明截止电压(或光电子初始动能)与入射光 的频率有关.

V0

0

V

截止电压与入射光强度无关.

按光的电磁理论, 光照在金属上,金属中的电 子作受迫振动, 光强越大, 电子吸收的能量越 大, 光电子初始动能也越大.但事实是,光电子 初始动能与光强无关,而是与频率成正比.

§3 光的粒子性和波粒二象性

(3) 截止电压与频率成线性关系.

V0

§3 光的粒子性和波粒二象性

ν 0 称作截止频率（红限）.

ν0

V0 = k ν − V a

代入

1 2 mv 0 = eV0 , 2

0

Va

ν

1 2 mv 0 = ekν − eVa , 2

当

ν =ν0 =

Va k

时, V0 = 0,

1 2 mv 0 = 0. 2

当入射光频率小于红限时,光电子动能为零. 按波动理论, 不论入射光频率有多大, 只要 光强足够大, 总可以使电子吸收的能量大于阴极 金属的脱出功, 从而产生光电效应, 但实验表明, 只要入射光频率小于红限, 无论光强多大也没有 光电效应. (4) 光电子释放和光照几乎是同时的,弛豫时间约 为10-9秒, 即使光照很弱也是这样. 按经典理论,光强大时电子能量积累时间短, 光强小时电子能量积累时间长.但实验证明,弛豫 时间与光强无关.

§3 光的粒子性和波粒二象性

3.爱因斯坦的光子假说

1905年, 爱因斯坦在普朗克能量子假说的基 础上,提出了光子假说,很好地解释了光电效应. 当光束和物质相互作用时，其能流并不象波 动理论所想象的那样是连续分布的,而是集中在 一些叫做光子(或光量子)的粒子上. 但对这种粒 子仍保持着频率(及波长)的概念. 光子的能量为

§3 光的粒子性和波粒二象性

光子打在金属表面上, 每个电子一次要么吸收一个 光子.要么不吸收.由能量守恒得

hν =

1 2 mv 0 + A = eV0 + A. 2

上式叫做爱因斯坦方程. 电子吸收到的光子的能量，一部分用于脱出金属表 面的脱出功，剩余部分作为光子的初始动能.

Ε=hν

爱因斯坦认为, 光不仅发射和吸收时能量是 量子化的, 而且光在辐射过程中,能量也是量子化 的,辐射能 集中在一粒一粒的光子上.

5  6

ν

1 2 mv 0 = h ν − A, 2

§3 光的粒子性和波粒二象性

1 2 mv 0 = 0, 2

爱因斯坦方程可表示为 因 所以有

§3 光的粒子性和波粒二象性

电子接受光子是瞬时的,不需要时间的积累. 入射光强大意味着光子流密度大,饱和电流 im=ne，因而饱和电流与光强成正比. 密立根于1910年设计了精美的实验,验证了 爱因斯坦方程,于1914年完成发表. 爱因斯坦和密立根由于在光电效应方面的研 究成果, 分别获得1921年和1923年的诺贝尔 物理学奖.

8

h ν 0 = A,

1 2 mv 0 = h ν − h ν 0 , 2

7

即截止电压 V0 = kν − V a 与频率有关. 爱因斯坦方程解释了红限 ,截止电压与光频 率的正比关系.

1 2 mv 0 , 2 h A V0 = ν − , e e eV0 =

§3 光的粒子性和波粒二象性

§3 光的粒子性和波粒二象性

实验规律

散射物质—石墨

θ = 00

λ 0 = 0.712605 A

。

钼谱线

(1) 散射光中除有原波长成分 外, 还出现了 λ>λ0 的谱线. (2) Δλ=λ−λ0 随 θ 增加而增加; λ的强度随 θ 增加而增加, .

康普段效应 (observed in 1924) 为电磁辐射的量子性提供了额 外的直接证据。

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θ = 450

Δλ

θ = 90 0

θ = 1350

λ0 λ

§3 光的粒子性和波粒二象性

入射线(银谱线) :λ°

0=0. 56267A

(3)

Δλ与散射物质无关;λ的入射线

谱线的强度随散射物质Ca

原子序数的增加而减小;20

λ0的谱线强度随散射物质Cr

24

原子序数的增加而增加.

Fe 26

按照经典理论,散射是一种共振吸收再发射的过程,散28

Ni

射波的频率(波长)应与入射波Cu

相同.上面的实验结果,经典理29

论难以解释.

λ0λ

§3 光的粒子性和波粒二象性

当光子与原子内层电子相碰,由于内层电子

束缚的较紧,形成光子与整个原子相碰.原子质量比电子质量大得多,光子传给原子而使其运动的能量很小,散射波长的变化观察不到.这就是散射光中总有入射光成分的原因.

原子序数越大,被束缚紧的电子越多,因此散射光中波长为λ0的成分强度越大.

5

§3 光的粒子性和波粒二象性

第一类: 规范玻色子.有13种.

光子是规范玻色子.

光子是电磁相互作用的媒介粒子.

第二种: 费米子. 共48种.

电子, 中微子,μ子, τ子, 夸克是费米子.

第三种：希格斯粒子．

光具有波动性质，但它又与实物粒子一样,有能量、动量、质量，因此,它在一定的条件下又表现出粒子性.以此类推,实物粒子,如电子,质子等,是否也具有波动性呢?

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6

§3 光的粒子性和波粒二象性

物质波

德布罗意:

在1911---1919年间,学习了庞加莱、洛仑兹,朗之万, 玻耳兹曼等人的著作（统计力学）.力学中，学习了哈密顿---雅可比的理论.特别是普朗克,爱因斯坦,玻尔的量子著作.

在1924年夏作的博士学位答辩论文提出物质波的概念.

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