高数II填空题

一：

1、

2、二重积分

22ln(x +y ) dxdy 的符号为 ⎰⎰|x |+|y |≤1

3、由曲线y =ln x 及直线x +y =e +1，y =1所围图形的面积用二重积分表示

为 ，其值为 。 4、设曲线L 的参数方程表示为⎨

⎧x =ϕ(t )

⎩y =ψ(t )

(α≤x ≤β), 则弧长元素ds = 。

5、设曲面∑为x 2+y 2=9介于z =0及z =3间的部分的外侧，则

22

（x +y +1) ds = 。 ⎰⎰∑

6、微分方程

dy y y

=+tan 的通解为。 dx x x

7、方程y (4) -4y =0的通解为 8、级数答案：

2222

1、当01时，x +y ≥1；

1

的和为 。 ∑n (n +1) n =1

∞

2、负号； 3、

⎰⎰d σ=⎰

D

10

dy ⎰

e +1-y e

y

dx ;

； 4、'2(t ) +ψ'2(t ) dt ；

5、180π； 6、sin

y

=Cx ； x

2x

7、y =C 1cos 2x +C 2sin 2x +C 3e

二、

+C 4e -

2x

； 8、1；

1、设2sin(x +2y -3z ) =x +2y -3z ，则

∂z ∂z += ∂x ∂y

2、lim

y →0

3-9+xy

=

x →0xy

3、设I =

⎰

20

dx ⎰

2x x

f (x , y ) dy ，交换积分次序后，I =

4、设f (u ) 为可微函数，且f (0) =0, 则lim +

t →0

1

πt 3

x 2+y 2≤t 2

⎰⎰f (

x 2+y 2) d σ=

5、设L 为取正向的圆周x 2+y 2=4，则曲线积分

L

y (ye x +1) dx +(2ye x -x ) dy =。

2

→

2

→

2

→

6、设A =(x +yz ) i +(y +xz ) j +(z +xy ) k ，则div A = 。 7、通解为y =c 1e x +c 2e -2x 的微分方程是。 8、设f (x ) =⎨答案：

1、1； 2、-1/6； 3、

⎧-1, ⎩1,

-π≤x

，则它的Fourier 展开式中的a n =

0

20

y y /2

4

2y /2

⎰dy ⎰f (x , y ) dx +⎰dy ⎰

2

f (x , y ) dx ； 4、

2

f '(0) ； 3

5、-8π； 6、2(x +y +z ) ； 7、y ''+y '-2y =0； 8、0； 三、

1、设u =

⎰

yz xz

e dt ， 则

t 2

∂u

= ∂z

2、函数f (x , y ) =xy +sin(x +2y ) 在点（0，0）处沿=(1, 2) 的方向导数

∂f ∂l

(0, 0)

22

3、设Ω为曲面z =1-x -y , z =0所围成的立体，如果将三重积分

I =⎰⎰⎰f (x , y , z ) dv 化为先对z 再对y 最后对x 三次积分，则

Ω

4、设f (x , y ) 为连续函数，则I =lim +

t →0

1

πt 2

⎰⎰f (x , y ) d σ=其中

D

D :x 2+y 2≤t 2。

5、

L

(x 2+y 2) ds =，其中L :x 2+y 2=a 2。

6、设Ω是一空间有界区域，其边界曲面∂Ω是由有限块分片光滑的曲面所组成，如果

函数P (x , y , z ) ，Q (x , y , z ) ，R (x , y , z ) 在Ω上具有一阶连续偏导数，则三重积分与第二型曲面积分之间有关系式： ， 该关系式称为 公式。

7、微分方程y ''-6y '+9y =x -6x +9的特解可设为y =。

2

*

(-1) n -1

8、若级数∑发散，则p 。 p

n n =1

∞

答案： 1、ye

y 2z 2

-xe

x 2z 2

； 2、5； 3、

⎰

1-1

dx ⎰

1-x 2-1-x 2

dy ⎰

1-x 2-y 20

f (x , y , z ) dz ；

4、f (0, 0);

6、⎰⎰⎰(5、2πa 3；

Ω

∂P ∂Q ∂R

++) dv =Pdydz +Qdzdx +Rdxdy ，

∂x ∂y ∂z ∂Ω+

Gauss 公式； 7、Ax 2+Bx +C 8、P ≤0。

四

1、由方程xyz +

x 2+y 2+z 2=2所确定的隐函数z =z (x , y ) 在点（1，0，-1）处

的全微分dz = 。

2、椭球面x 2+2y 2+3z 2=6在点（1，1，1 ）处的切平面方程是 3、设D 是由曲线y =x 2, y =x +2所围成，则二重积分I =

⎰⎰(1+x

D

2

) dxdy =4、设Ω是由x 2+y 2=4, z =0, z =4所围成的立体域，则三重积分

I =⎰⎰⎰(x 2+y 2) dv 。

Ω

5、设∑是曲面z =

x 2+y 2介于z =0, z =1之间的部分，则曲面积分

I =⎰⎰(x 2+y 2) ds =。

∑

6、

⎧x 2+y 2+z 2=a 2

⎨x +y +z =0⎩

x

2

ds =。

7、已知曲线y =y (x ) 上点M(0,4)处的切线垂直于直线x -2y +5=0，且y (x ) 满足微分方程y ''+2y '+y =0，则此曲线的方程是 。 8、设f (x ) 是周期T=2π的函数，则f (x ) 的Fourier 系数为 答案：

1、dx -2dy ；2、x +2y +3z =6； 3、

-x

6、πa ； 7、y =2(2+x ) e ；

1532

π； ； 4、32π； 5、

202

2

3

3

8、a 0= b k = 五、

π⎰π

-

1

π

f (x )

12

dx ；a k =

π2

⎰πf (x ) cos kxdx

-

π

k =1, 2, n ,

f (x ) s i n k x d x ⎰ππ

-

1

π

k =1, 2, n ,

1、设z =f (x , y ) 是由方程z -y -x +xe z -y -x =0所确定的二元函数，则

dz =

⎧x 2+y 2+z 2-3x =0

２、曲线⎨在点（１，１，１）处的切线方程是 。

2x -3y +5z -4=0⎩

３、设Ω是由x 2+y 2+z 2≤1，则三重积分

⎰⎰⎰e dv ＝ 。

Ω

z

４、设f (x ) 为连续函数，a , m 是常数且a >0，将二次积分

化为定积分为 。 ５、曲线积分

⎰

a 0

dy ⎰e m (a -x ) ⋅f (x ) dx

y

⎰

L (AB )

Pdx +Qdy 与积分路径L (AB ) 无关的充要条件为。

６、设∑为z =

a 2-x 2-y 2，则⎰⎰(x 2+y 2+z 2) ds =

∑

７、方程y '+3y =e 2x 的通解为 ８、设级数答案：

a x -1y -1z -1dx +(1+xe z -y -x ) dy

==1、；2、；3、2π；4、⎰e m (a -x ) f (x )(a -x ) dx ； z -y -x 0169-11+xe

∑a

n =1

∞

n

收敛，

∑b

n =1

∞

n

发散，则级数

∑(a

n =1

∞

n

+b n ) 必是

5、对任意闭曲线l ，Pdx +Qdy =0或

l ∂P ∂Q

=或∃u (x , y ), 使得du =Pdx +Qdy ； ∂y ∂x

4

6、2πa ； 7、y =ce

-3x

1

+e 2x ； 8、发散 5

六、

１、设f (x +y , ) =x -y ，则f (x , y )

y x

22

r a d f ２、设f (x , y , z ) =x +2y +3z +xy +3x -2y -6z ，则g

３、设I =

222

(1, 1, 1) =。

⎰

10

dx ⎰

e 2x e x

f (x , y ) dy ，交换积分次序后，则I= 。

４、设Ω:0≤x ≤a ; 0≤y ≤b ; 0≤z ≤c ，则三重积分

⎰⎰⎰xyzdv =。

Ω

５、设曲面∑的方程为z =z (x , y ), (x , y ) ∈D ，则∑的面积元素为ds = 。

x 2y 2z 2 ６、设∑为2+2+2=1，内侧，则积分xdydz +ydzdx +zdxdy =。

a b c ∑

７、设y 1, y 2, y 3是y ''+p (x ) y '+q (x ) y =f (x ) 的三个不同的解，且

数，则该方程的通解为y = 。

８、函数y =答案：

e ln y e 21x 2(1-y )

f (x , y ) dx +⎰dy ⎰1f (x , y ) dx ； 1、；2、6+3+0⋅；3、⎰dy ⎰1

0ln y e ln y 1+y 22

y 1-y 2

不是常

y 2-y 3

1

关于x 的幂级数展开式为 2

4+x

4、

12222

'2a b c ； 5、+z 'x (x , y ) +z y (x , y ) dxdy ； 6、-4πabc ；

8

∞

(-1) n 2n

7、c 1(y 1-y 2) +c 2(y 2-y 3) +y 1； 8、∑n +1x ,

n =04

七、

x

１、u =ln(x 2+y 2+z 2) 在M (1, -1, 2) 处的梯度为M =。

1∂2z

２、设z =f (xy ) +y ϕ(x +y ), f 、ϕ具有二阶连续导数，则=

x ∂x ∂y

x 2y 2

３、设D:x +y ≤R , 则⎰⎰(2+2) d σ=

b D a

2

2

2

x 2y 2

+=1, 其周长为a ，则曲线积分(2xy +3x 2+4y 2) ds =。 ４、设Ｌ：

L 43

５、设f (x ) 是周期Ｔ＝２的函数，它在(－１，１) 上定义为

⎧2,

f (x ) =⎨3

⎩x ,

∞

-1

n

，则f (x ) 的Fourier 级数在x ＝１处收敛于。

∞

６、设幂级数

∑a

n =0

n +1

的收敛半径为３，则幂级数的收敛区间为 x na (x -1) ∑n n

n =1

７、方程y '+y tan x =cos x 的通解为 。 ８、方程y ''-4y =0的通解为 。

1→→→

答案：1、(i -j +2k ) ； 2、y f ''(xy ) +ϕ'(x +y ) +y ϕ''(x +y ) ；

3

1411

3、πR (2+2) ； 4、12a ； 5、； 6、(-2, 4) ；

4a b

7、y =(x +c ) cos x ； 8、y =c 1e -2x +c 2e 2x

八、

１、函数u =ln(x 2+y 2+z 2) 在点Ｍ（１，２，－２）处的梯度gradu |M =

⎧3x 2+2y 2=12

２、由曲线⎨绕y 轴旋转一周得到的旋转面在点(0, 3, 2)

⎩z =0

处的指向外侧的单位向量为

３、设Ｄ为xoy 面上的域x 2+y 2≤R 2, x ≥0, y ≥0，则二重积分

⎰⎰

D

R 2-x 2-y 2d σ=dx ⎰dy ⎰

x

y

sin z

⎰0001-z dz =

x y z

++=1位于第一卦限内部分，则５、设∑是平面

234

４、

1

I =⎰⎰(2x +

∑

4

y +z ) ds =_______________ 3

６、设r =

x 2+y 2+z 2，则div (gradr ) |(1, -2, 2) =

７、函数f (x ) 在点x 0处具有任意阶导数，则f (x ) 在x 0处的Taylor 展开式中的Taylor

系数 a n =８、把ln(4-9x ) 展开为x 的幂级数，其收敛半径Ｒ＝答案：

2

211⎫ ⎛ ⎪； 3、πR 3； 4、(1-sin 1)； , 1、(1, -2, 1)； 2、n =0, 962⎪⎝⎭

f (n )(x 0)225、461； 6、； 7、a n =； 8、R =

33n !

九

1、z =z (x , y ) 是由方程tan(xy 2) +3e xy sin(zx ) =1 所确定的隐含数，则z 'y 2、若z =f (x , y ) 在点M (x 0, y 0) 处存在一阶、二阶连续偏导数，且f x '(x 0, y 0) =0，

f y '(x 0, y 0) =0，则当 时，M (x 0, y 0) 必是

z =f (x , y ) 的极值点。

3、设D :x ≤2, y ≤1，则

1

d σ= 2⎰⎰1+y D

4、在球面坐标系(θ, ϕ, ρ) 中，立体体积元素dv 5、设L 是以(0, 0), (1, 1), (1, 0) 为顶点的三角形域的边界，则 6、设∑为z =0, x 2+y 2≤R 2的下侧，则积分

∞

⎰

L

ds =⎰⎰dxdy =∑

7、当x

∑x

n =2

2

的和函数s (x ) =

**

8、设Y +y 1是方程y ''+P (x ) y '+Q (x ) y =f 1(x ) 的通解，y 2是y ''+P (x ) y '+Q (x ) y

=f 2(x ) 的一个特解，则方程y ''+P (x ) y '+Q (x ) y =f 1(x ) +f 2(x ) 的通解为 答案：

-3e xy sin(zx ) -2y sec 2(xy 2) 2

''''''1、； 2、f xy (x 0, y 0) -f xx (x 0, y 0) f yy (x 0, y 0)

3e cos xz x 2

3、2π； 4、ρsin ϕd θd ϕd ρ； 5、2+2； 6、-πR 7、；

1-x

2

2

8、y =Y +y 1+y 2 十、

1、设z =x +y +f (x -y ) ，且当y =0时，z =x ，则z =2、设u =() ，则du

2

**

x y

z

(1, 1, 1)

3、累次积分I =

⎰

-a

dx ⎰

2a -x a 2-x 2

f (x , y ) dy 交换积分次序后，I

4、平面2x +3y -6z +6=0与坐标面所围成的图形的体积V =5、设L 是正向圆周x 2+y 2=9，则曲线积分6、设∑是x 2+y 2+z 2=2ax ，则曲面积分

L

(2xy -2y ) dx +(x 2-4x ) dy 2

(x

∑

+y 2+z 2) ds =

7、微分方程(y 2-3x 2) dy =2xydx 的通解为y =

8、幂级数答案：

∑(-1)

n =1

∞

n -1

3n x n

的收敛区间是 n

1、2y +(x -y ) 2； 2、dx -dy +0dz ； 3、

⎰

a 0

dy ⎰

-a 2-y 2-a

f (x , y ) dx +⎰

2a a

dy ⎰

0-a 4

f (x , y ) dx +⎰dy ⎰

2a

3a 2a -y -a

f (x , y ) dx

4、1； 5、-18π； 6、8a π；

7、y 5-5x 2y 3=c ； 8、 - 十一

⎛11⎤

, ⎥ 33⎦⎝

⎧

⎪2

1、函数f (x , y ) =⎨

⎪1⎩

当xy =0时当xy ≠0时

的连续点的集合为D =y x ⎧22

x -y ⎪

x y 2、若f (x , y ) =⎨

⎪0⎩

f y '(0, 0) =

当xy ≠0时当xy =0时

，则f x '(0, 0) =

3

3、设D 是由y =x , y =x 所围成的图形的x ≥0部分, 则

sin x

dxdy = ⎰⎰x D

Ω

2

4、设Ω是由曲面z =0, z =y , y =1及y =x 所围成, 则

⎰⎰⎰xyzdxdydz =

⎰

L

5、设L 是以(0, 0), (1, 0), (1, 1) 为顶点的三角形域的边界, 则6、球面z =

2ds =

a 2-x 2-y 2在柱面x 2+y 2=ax 内部的部分的表面积A=

7、微分方程y ''=

1

的通解为y =2

1+x

1+x ) 的x 幂级数为 8、函数f (x ) =(1+x ) ln(

答案：

1、D =(x , y ) xy ≠0； 2、0, 0； 3、3-2(cos1-sin 1) ； 4、0；

5、4+22； 6、(π-2) a 2； 7、x arctan x -

{}

1

ln(1+x 2) +c 1x +c 2 2

(-1) n -1n +1

8、f (x ) =x +∑x ，x ∈(-1, 1]

n (n +1) n =1

∞

十二

1、若z =f (x , y ) 在点P (x 0, y 0) 处的全增量∆z =z =f (x , y ) 在P 处

可微，称 为z =f (x , y ) 在P 处的全微分。

⎧x =x (t ) ⎪

2、空间曲线⎨y =y (t ) 在任意点处的切线的切向量=

⎪z =z (t ) ⎩

3、由数量场u =u (x , y , z ) 产生的梯度场为 4、设D 是由y =x , xy =1及x =2所围成的域，则I =

⎰⎰f (x , y ) d σ的先y 后x 的累次

D

积分为I =

5、空间域Ω在球面坐标中的体积元素为dv =

6、设∑:z =f (x , y ) 在xoy 面上的投影域为D ，则曲面积分可表示为二重积分：

⎰⎰g (x , y , z ) ds =∑

7、f (x ) =arctan x 在x =0处的Taylor 展开式为 8、一曲线过点(e , 1) 且在曲线上任一点的法线的斜率为 答案：

22

1、A (x 0, y 0) ∆x +B (x 0, y 0) ∆y +o ((∆x ) +(∆y ) ) ；A (x 0, y 0) ∆x +B (x 0, y 0) ∆y

x +y ln x

，则此曲线的方程为

x ln x

2、(x '(t ), y '(t ), z '(t )) ； 3、u x i +u y j +u z k ； 4、5、ρsin ϕd θd ϕd ρ； 6、

2

→→→

⎰

21

dx ⎰1f (x , y ) dy ；

x

x

22

g (x , y , f (x , y )) +f +f dxdy x y ⎰⎰D

2n +1

x 3x 5n x +- +(-1) + ，x ∈[-1, 1] 7、arctan x =x -352n +1

8、y =

十三

x

+x ln(lnx ) e

1、设曲线y =y (x ) 上任一点(x , y ) 的切线在坐标轴间的线段长等于常数a (a >0) ，则曲线

所满足的方程为 2、函数z =

x +y

的间断点为 33

x +y

3、设

(ax +by ) dx +(bx +ay ) dy

是某个二元函数的全微分，则m = 22m

(x +y )

4、设函数p (x , y , z ) 在空间有界闭区域Ω上有连续的一阶偏导数，又∑是Ω的光滑边界曲面的外侧，则由Gauss 公式，有

p (x , y , z ) dydz

∑

5、周期为2π的函数f (x ) ，它在一个周期上的表达式为f (x ) =⎨设它的Fourier 级数的和函数为s (x ) ，则s (答案：

⎧-1-π≤x

，

⎩10≤x

5π

) 2

2222

1、(y -x y ') (1+y ') =a y '；2、直线x +y =0上的所有的点；3、m =0；

4、 十四

P (x , y , z ) dxdydz ； 5、1

x V

2

1、函数z =ln(1-x ) +y -x 2+x +y -1的定义域是

∂2z

2、设函数z =z (x , y ) 是由方程xz -y +arctan y =0所确定的隐函数，则

∂x ∂y

3、设F (u , v , w ) 是可微函数，且F u (2, 2, 2) =F w (2, 2, 2) =3 ，F v (2, 2, 2) =6，曲 面F (x +y , y +z , z +x ) =0通过点(1, 1, 1) ，则曲面在这点的法线方程是 答案

x -1y -1z -1y 2

==1、(x , y ) -1

十五

x 2y 2

1、设函数f (x , y ) =4，(x , y ) ≠(0, 0) ，则lim f (x , y ) = x →0x +y 4

y →0

x 2n

2、级数∑(-1) 的和函数为 (2n )! n =0∞n

3、设z =e x 22y ，则dz (1, 1) 4、一阶线性齐次微分方程y '+P (x ) y =Q (x ) 的通解为

5、函数u =ln(xy -z ) +2yz 在点(1, 3, 1) 处沿方向l =(1, 1, -1) 的方向导数

答案：

1、不存在； 2、s (x ) =cos x ； 3、2e (dx +dy ) ；

-P (x ) dx P (x ) dx 34、y =e ⎰； (Q (x ) e ⎰dx +c ) ； 5、-2→∂u ∂l ⎰6