20**年高考文科数学解析分类汇编:概率(逐题详解)

2012年高考文科数学解析分类汇编:概率

一、选择题

1 .(2012年高考(辽宁文))在长为12cm 的线段AB 上任取一点

C . 现作一矩形, 邻边长

分别等于线段AC,CB 的长, 则该矩形面积大于20cm 的概率为 A .

( )

2

1

6

B .

1 3

C .

2 3

D .

4 5

D .在区域

2 .(2012年高考(北京文))设不等式组⎨

⎧0≤x ≤2

表示的平面区域为

⎩0≤y ≤2

D 内随机取一个点, 则此点到坐标原点的距离大于2的概率是 ( ) A .

π 4

B .

π-2

2

C .

π 6

D .

4-π

4

3 .(2012年高考(安徽文))袋中共有6个除了颜色外完全相同的球, 其中有1个红球,2个

白球和3个黑球, 从袋中

任取两球, 两球颜色为一白一黑的概率等于 A .

( )

1 5

B .

2 5

C .

3 5

D .

4 5

二、填空题

4 .(2012年高考(浙江文))从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中, 随机(等可能) 取

两点, 则该两点间的距离为

的概率是___________. 2

5 .(2012年高考(上海文))三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛. 若每人只选择一

个项目, 则有且仅有

两人选择的项目完全相同的概率是______(结果用最简分数表示).

三、解答题

6 .(2012年高考(重庆文))(本小题满分13分,(Ⅰ)小问7分,(Ⅱ)小问6分)

甲、乙两人轮流投篮, 每人每次投一球, 约定甲先投且先投中者获胜, 一直每人都已投球3次时投篮结束, 设甲每次投篮投中的概率为

11

, 乙每次投篮投中的概率为, 且各次投32

篮互不影响. (Ⅰ)求乙获胜的概率;(Ⅱ)求投篮结束时乙只投了2个球的概率.

7 .(2012年高考(天津文))某地区有小学21所, 中学14所, 大学7所, 现采取分层抽样的

方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查. (I)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目.

(II)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析, (1)列出所有可能的抽取结果;

(2)求抽取的2所学校均为小学的概率.

8 .(2012年高考(四川文))某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统) A 和B ,

系统A 和系统B 在任意时刻发生故障的概率分别为

1

和p . 10

49

(Ⅰ)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为, 求p 的值;

50

(Ⅱ)求系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率.

9 .(2012年高考(陕西文))假设甲乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等, 为

了解他们的使用寿命, 现从两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试, 结果统计如下

:

(Ⅰ)估计甲品牌产品寿命小于200小时的概率;

(Ⅱ)这两种品牌产品中,, 某个产品已使用了200小时, 试估计该产品是甲品牌的概率.

10.(2012年高考(山东文))袋中有五张卡片, 其中红色卡片三张, 标号分别为1,2,3; 蓝色卡

片两张, 标号分别为1,2.

(Ⅰ)从以上五张卡片中任取两张, 求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率; (Ⅱ)现袋中再放入一张标号为0的绿色卡片, 从这六张卡片中任取两张, 求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率.

11.(2012年高考(课标文))某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花, 然后

以每枝10元的价格出售. 如果当天卖不完, 剩下的玫瑰花做垃圾处理.

(Ⅰ)若花店一天购进17枝玫瑰花, 求当天的利润y (单位:元) 关于当天需求量n (单位:枝, n ∈N) 的函数解析式.

(i)假设花店在这100天内每天购进17枝玫瑰花, 求这100天的日利润(单位:元) 的平均数;

(ii)若花店一天购进17枝玫瑰花, 以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率, 求当天的利润不少于75元的概率. 12.(2012年高考(江西文))如图, 从

A 1(1,0,0),A2(2,0,0),B1(0,1,0,)B2(0,2,0),C1(0,0,1),C2(0,0,2)这6个点中随机选取3个点.

(1) 求这3点与原点O 恰好是正三棱锥的四个顶点的概率; (2) 求这3点与原点O 共面的概率.

13.(2012年高考(湖南文))某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息, 安排一名员工

(Ⅰ)确定x,y 的值, 并估计顾客一次购物的结算时间的平均值; (Ⅱ)求一位顾客一次购物的结算时间不超过...2分钟的概率.(将频率视为概率)

14.(2012年高考(大纲文))乒乓球比赛规则规定:一局比赛, 双方比分在10平前, 一方连续

发球2次后, 对方再连续发球2次, 依次轮换. 每次发球, 胜方得1分, 负方得0分. 设在甲.

乙的比赛中, 每次发球, 发球方得1分的概率为0.6, 各次发球的胜负结果相互独立, 甲、乙的一局比赛中, 甲先发球.

(Ⅰ)求开始第4次发球时, 甲. 乙的比分为1比2的概率; (Ⅱ)求开始第5次发球时, 甲得分领先的概率. 15.(2012年高考(安徽文))若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过1mm 时, 则视

为合格品, 否则视为不合格品. 在近期一次产品抽样检查中, 从某厂生产的此种产品中, 随机抽取5000

件进行检测, 结果发现有50件不合格品. 计算这50件不合格品的直径长与标准值的差(单位:mm), 将所得数据分组, 得到如下频率分布表:

(Ⅰ)将上面表格中缺少的数据填在答题卡的相应位置;

(Ⅱ)估计该厂生产的此种产品中, 不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3]内的概率;

(Ⅲ)现对该厂这种产品的某个批次进行检查, 结果发现有20件不合格品. 据此估算这批产品中

的合格品的件数.

2012年高考文科数学解析分类汇编:概率参考答案

一、选择题 1. 【答案】C

【解析】设线段AC 的长为x cm, 则线段CB 的长为(12-x )cm, 那么矩形的面积为

x (12-x ) cm 2,

由x (12-x ) >20, 解得2

2

2

, 故选C 3

【点评】本题主要考查函数模型的应用、不等式的解法、几何概型的计算, 以及分析问题的能力, 属于中档题. 2. 【答案】D

⎧⎪0≤x ≤2

【解析】题目中⎨表示的区域表示正方形区域, 而动点D 可以存在的位置为正

⎪⎩0≤y ≤2

1

2⨯2-π⨯22

4-π方形面积减去四分之一的圆的面积部分, 因此p =, 故选D =

2⨯24

【考点定位】 本小题是一道综合题, 它涉及到的知识包括:线性规划, 圆的概念和面积公

式、概率.

3. 【解析】选B 1个红球,2个白球和3个黑球记为a 1, b 1, b 2, c 1, c 2, c 3

从袋中任取两球共有

a 1, b 1; a 1, b 2; a 1, c 1; a 1, c 2; a 1, c 3; b 1, b 2; b 1, c 1; b 1, c 2; b 1, c 3b 2, c 1; b 2, c 2; b 2, c 3; c 1, c 2; c 1, c 3; c 2, c 3

62= 155

15种;

满足两球颜色为一白一黑有6种, 概率等于

二、填空题 4. 【答案】

2 5

【命题意图】本题主要了以正方形中某些点为背景的随机事件的概率问题. 【解析】若使两点间的距

离为

1C 442==. 2

C 5105

, 则为对角线一半, 选择点必含中心, 概率为5. [解析] 设概率p=k , 则n =C 3⋅C 3⋅C 3

n

111

=27, 求k , 分三步:①选项目相同的二人, 有C 32

1

1

种;②确定上述二人所选相同的项目, 有C 3种;③确定另一人所选的项目, 有C 2种. 所211以k =C 3. =2⋅C 3⋅C 2=18, 故p=18273

三、解答题 6. 【答案】:(Ⅰ)

134(Ⅱ) 2727

独立事件同时发生的概率计算公式知p (D ) =p (A 1B 1A 2B 2) +p (A 1B 1A 2B 2A 3)

=p (A 1) p (B 1) P (A 2) P (B 2) +p (A 1) p (B 1) P (A 2) P (B 2) p (A 3)

212114

=() 2() 2+() 2() 2= 3232327

7. 解:(1)从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3,2,1

(2)①在抽取到的6年学校中,3所小学分别记为A 1, A 2, A 3,2所中学分别记为A 4, A 5, 大学记为

A 6, 则抽取

2所学校的所有可能结果为

{A 1, A }2{, A , {A 3, 1}}A {1, A 4}, {A 1, }A 5,

A 1, A 6

, ,

{A 2, A 3}, {A 2, A 4}, {A 2, A 5}, {A 2, A 6}, {A 3, A 4}, {A 3, A 5}{A 3, A 6}, {A 4, A 5}, {A 4, A 6}, {A 5, A 6}, 共15种.

②从6年学校中抽取的2所学校均为小学(记为事件B ) 的所有可能结果为

{A 1, A 2}, {A 1, A 3}, {A 2, A 3}, 共3种, 所以P (B ) =15=5.

8. [解析](1)设:“至少有一个系统不发生故障”为事件C, 那么

31

1-P(C)=1-

1491

P= ,解得P=6 分 10505

(2)设“系统A 在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数”为

事件D,

111972243⨯(1-) 2+(1-) 3== [1**********]50

243

答:检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率为 .

250

2

那么P(D)=C 3

[点评]本小题主要考查相互独立事件, 独立重复试验、互斥事件等概念及相关计算, 考查运用概率知识与方法解决实际问题的能力.

9.

10. 解:(I)从五张卡片中任取两张的所有可能情况有如下10种:红1红2, 红1红3, 红1蓝1, 红

蓝2, 红2红3, 红2蓝1, 红2蓝2, 红3蓝1, 红3蓝2, 蓝1蓝2. 其中两张卡片的颜色不同且标号之和小于4的有3种情况, 故所求的概率为P =

3. 10

(II)加入一张标号为0的绿色卡片后, 从六张卡片中任取两张, 除上面的10种情况外, 多出5种情况:红1绿0, 红2绿0, 红3绿0, 蓝1绿0, 蓝2绿0, 即共有15种情况, 其中颜色不同且标号之和小于4的有8种情况, 所以概率为P =

8. 15

11. 【命题意图】本题主要考查给出样本频数分别表求样本的均值、将频率做概率求互斥事

件的和概率, 是简单题.

【解析】(Ⅰ)当日需求量n ≥17时, 利润y =85; 当日需求量n

∴y 关于n 的解析式为y =⎨

⎧10n -85, n

(n ∈N ) ;

⎩85, n >17,

(Ⅱ)(i)这100天中有10天的日利润为55元,20天的日利润为65元,16天的日利润为75元,54天的日利润为85元, 所以这100天的平均利润为

1

(55⨯10+65⨯20+75⨯16+85⨯54) =76.4; 100

(ii)利润不低于75元当且仅当日需求不少于16枝, 故当天的利润不少于75元的概率为

p =0.16+0.16+0.15+0.13+0.1=0.7

12. 【解析】(1)总的结果数为20种, 则满足条件的种数为2种所以所求概率为

21

=[ 2010

(2)满足条件的情况

(A 1, A 2, B 1) , (A 1, A 2, B 2) , (A 1, A 2, C 1) , (A 1, A 2, C 2) , (B 1, B 2, A 1),(B 1, B 2, A 2) , (B 1, B 2, C 1) ,

(B 1, B 2, C 2) ,, (C 1, C 2, A 1),(C 1, C 2, A 2),(C 1, C 2, B 1),(C 1, C 2, B 2) , 所以所求概率为

123=. 205

13. 【解析】(Ⅰ) 由已知得25+y +10=55, x +y =35, ∴x =15, y =20, 该超市所有顾客

次购物的结算时间组成一个总体, 所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为100的简单随机样本, 顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计, 其估计值为:

1⨯15+1.5⨯30+2⨯25+2.5⨯20+3⨯10

=1.9(分钟).

100

(Ⅱ)记A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”,A 1, A 2, A 3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”, “该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”, “该顾客一次购物的结算时间为2分钟”.将频率视为概率, 得

P (A 1) =

153303251

=, P (A 2) ==, P (A 3) ==. [1**********]004

A =A 1 A 2 A 3, 且A 1, A 2, A 3是互斥事件, ∴P (A ) =P (A 1 A 2 A 3) =P (A 1) +P (A 2) +P (A 3) =

3317

++=. 20104107

故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.

10

【点评】本题考查概率统计的基础知识, 考查运算能力、分析问题能力. 第一问中根据统计表和100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%,知

25+y +10=100⨯55%,x +y =35, 从而解得x , y , 再用样本估计总体, 得出顾客一次

购物的结算时间的平均值的估计值; 第二问, 通过设事件, 判断事件之间互斥关系, 从而求得

一位顾客一次购物的结算时间不超过...2分钟的概率.

14. 【命题意图】本试题主要是考查了关于独立事件的概率的求解. 首先要理解发球的具体

况, 然后对于事件的情况分析, 讨论, 并结合独立事件的概率求解结论. 解:记

A i 为事件“第

i 次发球, 甲胜”,i=1,2,3,则

P (A 1) =0.6, P (A 2) =0.6, P (A 3) =0.4.

(Ⅰ)事件“开始第4次发球时, 甲、乙的比分为1比2”为由互斥事件有一个发生的概率加法公式得

A 1A 2A 3+A 1A 2A 3+A 1A 2A 3

,

P (A 1A 2A 3+A 1A 2A 3+A 1A 2A 3)

=0.6⨯0.4⨯0.6+0.4⨯0.6⨯0.6+0.4⨯0.4⨯0.4

=0.352.

即开始第4次发球时, 甲、乙的比分为1比2的概率为0.352 (Ⅱ)五次发球甲领先时的比分有:3:1,4:0这两种情况 开始第5次发球时比分为3:1的概率为:

2112C 20.62⨯C 20.4⨯0.6+C 20.6⨯0.4⨯C 20.42=0.1728+0.0768=0.2496

开始第5次发球时比分为4:0的概率为:

22C 20.62⨯C 20.42=0.0576

故求开始第5次发球时, 甲得分领先的概率为0.2496+0.0576=0.3072.

【点评】首先从试题的选材上来源于生活, 同学们比较熟悉的背景, 同时建立在该基础上求解进行分类讨论的思想的运用. 情景比较亲切, 容易入手, 但是在讨论情况的时间, 容易丢情况. 15. 【解析】

(Ⅱ)不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3]内的概率为0.5+0.2=0.7 (Ⅲ)合格品的件数为20⨯

5000

-20=1980(件) 50

答:(Ⅱ)不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3]内的概率为0.7 (Ⅲ)合格品的件数为1980(件)


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