基于梯度的多元函数牛莱公式

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基于棉度的多元函数牛莱公式

塔里木大学信息工程学院

晁增福

塔里木大学水利与建筑工程学院

邢小宁

[摘要】从梯度的概念出发将牛莱公式推广到了多元函数中,给出了二元函数下的牛莱公式和n元函数下的牛莱公式,并分别举例说明了其应用。

[关键词】牛莱公式微积分基本公式

梯度

曲线积分

牛莱公式即微积分基本公式。该公式将定积分的计算化为求原函数的增量,给出了计算定积分的简便有效的方法,使定积分这一乖要的数学概念实现了从理论阶段到实践阶段的

跨越,在各领域得到广泛的应用。同时,这一公式还揭示了不定积分与定积分的内在联系,因此设誉为微积分基本公式【11。笔者从梯度的概念出发。将牛莱公式推广到了多元函数中。

以二元函数为例,设函数f(x,y)在平面区域G内具有一阶连

.・.曲线积分』。R(x'y)dx+Q(x,y)dy与路径无关.・.f。R(x,y)dx十Q(x,y)dy=u(P,)一u(P2)。

例1

计算}.ysinxdx-cosxdy。其,-p

L为抛物线y_--x2上从A(0,o)

续偏导数,则对于任意x,Y)∈G,都可以定义向量e(x,y)i+‘(x,y)j,

称这个向量为f(x,yJ在(x,y)的梯度,记为gradf(x,Y),即gradf(x.Y)

到B(叮r,,.if2)的一段弧。

解令U------yCosx则

gradu(x,y)=(ysinx,-cosx),由定理l得,

原式=u

k:)’=订2

吐(x,y)i+‘(x,y)j

类似的可以给出n元函数梯度的概念:

Jo

12

定理可以推广到n元函数的形式

定理2设y--fix),x=(x“x2,…,K)定义在区域G内的n元函数,IiIX40:--x∈G,都有伊adf(x)=(P.,Pl,…,P。),则

设函数y=“x),X----(Xl'x:,…,xn)在区域G内具有一阶连续偏导数,则对于每任意x∈G,都可以定义梯度为gradf(x)=(f。.(x),

fI,x),…,f。.(x))

』。P.出。+P矗x才…+P曲轳L妻P丑x产砉LP,dxi爿盂,一r茜)

其中L为区域G内的任意一条分段光滑的曲线,Ⅺ、毪分

别为曲线L的起点和终点;

定理1设G是一单连通区域,如果对任一P(x.Y)∈G,都

有grad

u(x,y)=R(x,y)i+Q(x,y)j,则j。R(x,y)dx+Q(x,y)dy=u(P-)-u《盼。

其中L为区域G内的任意一条分段光滑的曲线,P。、P2分别为曲线L的起点和终点;

证不妨设曲线L的参数方程为y=‘P(t),x=Il,(t),(Or.≤t≤p),

rB

例2

计算』。2xydx+xMy+2zdz,其中L的参数方程为

I。R“。y)dx+Q(x,y)dy=I

IR(Il,(t),‘P(t))ll,‘(t)+Q(Il,(t).‘P(t))‘P’(t)ldt

X=COS|,y=sint,z=t,《0≤t≤丌)。

解令u=xZy+z2.则

睁-arlu(x,Y,z)=(2xy,x2,2z).由定理2得,原式=uf一1,0,百)一L1(1,0,0)=十

基于梯度的多元函数牛莱公式,一方面将多元微积分学中的曲线积分和一元微积分学中的定积分联系了起来,便于理

又gradu(x,y)=R(x’y)i+Q(x,y)j

.‘.du(x,y)=R(x,y)dx+Q(x,y)dy=fR(IlJ(t),‘P(t))巾。(t)十Q(IlI(t),‘p(1))‘P。(t)】dt

解;另一方面也对一类特殊的曲线积分提供了简便有效的计算方法,有利于其应用。

参考文献

【11孙兵微积分基本公式的微分法证明U】.沈阳电力高等专科学校学报.2004.3:76—77.

[21同济大学应用教学系.高等数学(第五版)(下)【Mj.北

京:高等教育出版社,2002:48.

.・.IIR(x,y)d。+Q(xR(x,y)d

・‘

x+

(山(t)・IIJ(t),‘P(t))lP,y)dy:f:du(山(t).‘|00))--u(IIJ(t),‘P(t))l:,y)dy=J。

又u(x,y)在平面区域G内具有一阶连续偏导数

.・.啬=蛊朋等=詈

(上接第447页)进,主要表现在:

(1)相干体技术与频谱分解技术的联合应用提高了地质目标体的分辨率。(2)宋维琪171在本征值结构的基础上,提出了

地震多矢量属性孝H干数据体的计算方法,该算法在属性提取方面,既考虑了方位,又考虑了倾向,即计算地震矢量属性。(3)相干技术的应用向叠前方向延伸。AI—Dossary等提出了一种相干体的新算法等等。

4小结

参考文献

【1】余德平,曹辉.相干数据体及其在三维地震解释中的应

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using

Leading

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1.MAKFUKT

R.LYNNKidin,eta1.3-Dseismic

algorithm.Gco--

Semblnace-based

coherency

通过上面的研究分析,我们可以总结以下几点:

(1)根据多道丰H关理论制作的三维相干数据体用于三维地震资料解释是可行的、有效的。

(2)相干体处理分析技术非常实用,解决断层及特殊地质体边界等问题效果明显ISl。且相干分析技术可以贯穿于整个勘探和开发过程中,它是高级解释人员要必须掌握的基本技术

之一。

physics,1998,63(4):1150—1165

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(1):104—111

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(3)相干体技术前提下的全三维解释思路,在相干体上解

释断层,层位解释以自动追踪为主,可以大大提高解释工作效率和成果精度,无形中从多方面节约勘探成本1”。

(4)与其他地球物理方法一样,棚干处理也有一定的适用条件,其处理效果的主要决定因素是资料的品质状况.其应用

basin[JJ.TheLeadingEdge,1997,16(6):907—909

『61张振渡.利用相干分析技术判断断层和底层特征.中国海上油气(地质),1999,第13卷。第3期

17l宋维琪,刘江华.地震多矢量属性相干数据体计算及应用U1.物理与化探,2003,27(2):128—130

f8l张延章,韩品龙.池永红,牟智全,何滨,刘国权.地震相干技术的应用及效果分析.中国海上油气.2003,17(3)

『9l侯伯刚,王伟,于滨等.地震相干体技术简介及其应用『J1.现代地质.1999,13(1):121~124

效果主要取决于卡H干成果与其他方面的联合研究程度。

(5)相十体是通过同定的算法对三维地震数据体进行计算的结果,避免r主观阏素造成的误差,不但反映断层细节,而且从三维立体多视角反映构造及地层的地震响应特征。

一448一

万方数据

基于梯度的多元函数牛莱公式

作者:作者单位:刊名:英文刊名:年,卷(期):被引用次数:

晁增福, 邢小宁

晁增福(塔里木大学信息工程学院), 邢小宁(塔里木大学水利与建筑工程学院)科技信息(学术版)

SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION2008,""(29)1次

参考文献(2条)

1. 孙兵 微积分基本公式的微分法证明[期刊论文]-沈阳电力高等专科学校学报 2004(03)2. 同济大学应用教学系 高等数学(第五版)(下) 2002

引证文献(1条)

1. 晁增福 探析梯度与导数的关系[期刊论文]-塔里木大学学报 2009(2)

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