1.3线段的垂直平分线

线段的垂直平分线课前思考 如图,A、B 表示两个仓库,要在 A、B 一侧的河岸边建造一个码头,使它到两个仓库的 距离相等,码头应建在什么位置?线段垂直平分线的性质: 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等. 已知:如图,直线 MN⊥AB,垂足是 C,且 AC=BC,P 是 MN 上的点. 求证:PA=PB .定理回顾证明:∵MN⊥AB, ∴∠PCA=∠PCB=90° ∵AC=BC,PC=PC ∴△PCA≌△PCB(SAS) ; ∴PA=PB(全等三角形的对应边相等). 你能写出该定理的逆命题吗? 这个逆命题是真命题吗?为什么?请自己写出已知求证,并证明。

总结:当我们写出逆命题时,就想到判断它的真假.如果真,则需证明它;如果假,则需用反例说明. 已知:线段 AB,点 P 是平面内一点且 PA=PB. 求证:P 点在 AB 的垂直平分线上.证明:过点 P 作已知线段 AB 的垂线 PC,PA=PB,PC=PC, ∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL). ∴AC=BC, 即 P 点在 AB 的垂直平分线上. 证法二:取 AB 的中点 C,过 P,C 作直线. ∵AP=BP,PC=PC.AC=CB, ∴△APC≌△BPC(SSS). ∴∠PCA=∠PCB(全等三角形的对应角相等). 又∵∠PCA+∠PCB=180°, ∴∠PCA=∠PCB=∠90°,即 PC⊥AB ∴P 点在 AB 的垂直平分线上. 证法三:过 P 点作∠APB 的角平分线交 AB 于点 C. ∵AP=BP,∠APC=∠BPC,PC=PC, ∴△APC≌△BPC(SAS). ∴AC=BC,∠PCA=∠PCB 又∵∠PCA+∠PCB=180°∴∠PCA=∠PCB=90° ∴P 点在线段 AB 的垂直平分线上. 概念区分垂直平分线的性质:线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等。 垂直平分线的判定:到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。思维点拨:注意“线段”不要记成“直线” ,垂直平分线往往指的是一条直线。

动手做一做你还记得用尺规作图作已知线段的垂直平分线的作法吗?回忆一下,什么叫尺规作图? 尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。 已知:线段 AB. 求作:线段 AB 的垂直平分线. 作法:1.分别以点 A 和 B 为圆心,以大于 AB 的长为半径作弧,两弧相交于点 C 和 D. 2.作直线 CD. A 直线 CD 就是线段 AB 的垂直平分线.B实践操作:2.已知直线 l 和 l 上一点 P,利用尺规作 l 的垂线,使它经过点 P.L P问题解决:如图,A、B 表示两个仓库,要在 A、B 一侧的河岸边建造一个码头,使它到两个仓库的 距离相等,码头应建在什么位置?

问题探究 利用尺规作三角形三条边的垂直平分线,当作完时你发现了什么?证明结论:三角形三边的垂直平分线交于一点.已知:在△ABC 中,设 AB、BC 的垂直平分线交于点 O. 求证:O 点在 AC 的垂直平分线上.证明:连接 AO,BO,CO. ∵点 P 在线段 AB 的垂直平分线上, ∴OA=OB( 同理 OB=OC.∴OA=OC. ∴O 点在 AC 的垂直平分线上( ∴AB、BC、AC 的垂直平分线相交于点 O). ).三角形三边的垂直平分线的性质定理三角形三边的垂直平分线相交于一点,并且这一点到三个顶点的距离相等。

定理应用已知:△ABC 中,AB=AC,AD 是 BC 边上的中线,AB 的垂直平分线交 AD 于 O 求证:OA=OB=OC.证明:∵AB=AC,AD 是 BC 的中线, ∴AD 垂直平分 BC(等腰三角形底边上的中线垂直于底边). 又∵AB 的垂直平分线与交于点 O ∴OB=OC=OA( ).议一议(1)已知三角形的一条边及这条边上的高, 你能作出三角形吗?如果能, 能作几个?所作出 的三角形都全等吗? (2)已知等腰三角形的底边,你能用尺规作出等腰三角形吗?如果能,能作几个?所作出 的三角形都全等吗? (3)已知等腰三角形的底边及底边上的高,你能用尺规作出等腰三角形吗?能作几个? 已知底边及底边上的高,求作等腰三角形. 已知:线段 a、h 求作:△ABC,使 AB=AC,BC=a,高 AD=h

例一:

课堂演练一、选择题 1.已知△ABC 中,AB=AC,AB 的垂直平分线交 AC 于 D,△ABC 和△DBC 的周长分别是 60 cm 和 38 cm,则△ABC 的腰和底边长分别为 ( ) A.24 cm 和 12 cm B.16 cm 和 22 cm C.20 cm 和 16 cm D.22 cm 和 16 cm 2.如图,在△ABC,∠C=90°,∠B=15°,AB的中垂线DE交BC于D, E为垂足,若BD=10cm,则AC等于( ) A.10cm B.8cm C.5cm D.2.5cm 3.已知:如图,AB=AC,∠A=36°,AB的垂直平分线交AC于D,则下列 结论: ①∠C=72°; ②BD是∠ABC的平分线; ③△ABD是等腰三角形; ④△ BCD是等腰三角形,其中正确的有( ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 二、填空题 4.如图,ED 为△ABC 的 AC 边上的垂直平分线,且 AB=5,△BCE 的周长为 8,则 BC = . 5.在△ABC 中,AB=AC,∠A=58°,AB 的垂直平分线交 AC 于 N,则∠NBC = . 6. 命 题 “ 线 段 垂 直 平 分 线 上 的 点 到 这 条 线 段 两 个 端 点 的 距 离 相 等 ” 的 条 件 是 ,结论是 . 三、解答题 7.已知 D 是 Rt△ABC 斜边 AC 的中点,DE⊥AC 交 BC 于 E,且∠EAB∶∠BAC=2∶3, 求∠ACB 的度数.探究实践8.

9.点击中考10.

作业: 一选择题:1. (2013•滨城区二模)如图,△ABC 中,∠B=40°,AC 的垂直平分线交 AC 于 D,交 BC 于 E, 且∠EAB:∠CAE=3:1,则∠C 等于( ) A.28° B.25° C.22.5° D.20°2. (2012•江汉区模拟)如图,在△DAE 中,∠DAE=40°,线段 AE、AD 的中垂线分别交直线 DE 于 B 和 C 两点,则∠BAC 的大小是( ) A.100° B.90° C.80° D.120°3. (2012•河池) 如左下图, 在△ABC 中, ∠B=30°, 的垂直平分线交 AB 于 E, BC 垂足为 D. 若 ED=5,则 CE 的长为( ) A.10 B.8 C.5 D.2.54. (2012•毕节地区)如右上图.在 Rt△ABC 中,∠A=30°,DE 垂直平分斜边 AC,交 AB 于 D,E 是垂足,连接 CD,若 BD=1,则 AC 的长是( ) A. 2 3 B.2 C. 4 3 D.41 AB 5. (2011•绍兴)如图,在△ABC 中,分别以点 A 和点 B 为圆心,大于 2 的长为半径画弧,两弧相交于点 M,N,作直线 MN,交 BC 于点 D,连接 AD.若△ADC 的周长为10,AB=7, 则△ABC 的周长为( )A.7B.14C.17D.20

6. (2010•台湾)如图,直线 CP 是 AB 的中垂线且交 AB 于 P,其中 AP=2CP.甲、乙两人想在 AB 上取两点 D、E,使得 AD=DC=CE=EB,其作法如下: (甲)作∠ACP、∠BCP 之角平分线,分别交 AB 于 D、E,则 D、E 即为所求; (乙)作 AC、BC 之中垂线,分别交 AB 于 D、E,则 D、E 即为所求. 对于甲、乙两人的作法,下列判断何者正确( ) A.两人都正确 C.甲正确,乙错误 B.两人都错误 D.甲错误,乙正确7. (2009•武汉模拟)如图,D 是线段 AB,BC 的垂直平分线的交点,若∠ABC=50°,则∠ADC 的大小是( ) A.100° B.115° C.130° D.150°8. (2009•钦州)如图,AC=AD,BC=BD,则有( A.AB 垂直平分 CD C.AB 与 CD 互相垂直平分)B.CD 垂直平分 AB D.CD 平分∠ACB9. (2007•白下区一模)如图,∠MON 内有一点 P,PP1、PP2分别被 OM、ON 垂直平分,P1P2与 OM、ON 分别交于点 A、B.若 P1P2=10cm,则△PAB 的周长为( ) A.6cm B.8cm C.10cm D.12cm

10. (2005•泸州)如图,有 A、B、C 三个居民小区的位置成三角形,现决定在三个小区之间 修建一个购物超市,使超市到三个小区的距离相等,则超市应建在( ) A.在 AC,BC 两边高线的交点处 B.在 AC,BC 两边中线的交点处 C.在 AC,BC 两边垂直平分线的交点处 D.在∠A,∠B 两内角平分线的交点处11. (2002•哈尔滨)如图,到△ABC 的三个顶点距离相等的点是△ABC 的( A.三边垂直平分线的交点 C.三条高的交点 B.三条角平分线的交点 D.三边中线的交点)12.到平面上三点 A、B、C 距离相等的点有( A.只有一个 C.有三个或三个以上) B.有两个 D.有一个或没有 )13.点 P 是△ABC 中边 AB 的垂直平分线上的点,则一定有( A.PA=PB B.PA=PC C.PB=PC D.点 P 到∠ACB 的两边的距离相等 14.给出以下两个定理: ①线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等;

②到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上. 应用上述定理进行如下推理,如图,直线 l 是线段 MN 的垂直平分线. ∵点 A 在直线 l 上, ∴AM=AN( ) ∵BM=BN, ∴点 B 在直线 l 上( ) ∵CM≠CN,∴点 C 不在直线 l 上. 这是因为如果点 C 在直线 l 上,那么 CM=CN( ) 这与条件 CM≠CN 矛盾. 以上推理中各括号内应注明的理由依次是( ) A.②①① B.②①② C.①②② D.①②①二.填空题(共7小题) 15. (2013•衡水模拟)如图,在周长为20cm 的▱ABCD 中,AB≠AD,AC,BD 相交于点 O,OE ⊥BD 交 AD 于 E,则△ABE 的周长为 cm.16. (2011•白下区二模)如图,△ABC 中,AB=AC,∠A=36°,D 是 AC 上一点,且 BD=BC, 过点 D 分别作 DE⊥AB、DF⊥BC,垂足分别是 E、F.给出以下四个结论:①DE=DF;②点 D 是 AC 的中点;③DE 垂直平分 AB;④AB=BC+CD.其中正确结论的序号 是 . (把你认为的正确结论的序号都填上)17. (2009•泉州)如图,在△ABC 中,BC 边上的垂直平分线 DE 交边 BC 于点 D,交边 AB 于 点 E.若△EDC 的周长为24,△ABC 与四边形 AEDC 的周长之差为12,则线段 DE 的长 为 .

18. (2009•建邺区二模)如图所示,矩形纸片 ABCD 中,E 是 AD 的中点且 AE=1,BE 的垂直 平分线 MN 恰好过点 C.则矩形的一边 AB 长度为 .19. (2004•泰安)如图,梯形 ABCD 中,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=9cm,BC=8cm,CD=7cm,M 是 AD 的中点,过 M 作 AD 的垂线交 BC 于 N,则 BN= cm.20.如图,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,∠B=15°,DE 垂直平分 AB 交 BC 于点 E,BE=6,则 AC= .21.如图所示,在△ABC 中,DM、EN 分别垂直平分 AB 和 AC,交 BC 于 D、E,若∠DAE=50°, 则∠BAC= 度,若△ADE 的周长为19cm,则 BC= cm.三.解答题(共8小题) 22.如图,在 Rt△ABC 中,∠A=90°,BC 的垂直平分线 DE 分别交 BC、AC 边于点 D、E,BE 与 AD 相交于点 F.设∠C=x,∠AFB=y,求 y 关于 x 的函数解析式,并写出函数的定义域.

23.如图所示,∠ABC=50°,AD 垂直平分线段 BC 交 BC 于 D,∠ABD 的平分线 BE 交 AD 于 E, 连接 EC,求∠AEC 的度数.24.作图题: (不写作法,但必须保留作图痕迹) 如图:某地有两所大学和两条相交叉的公路, (点 M,N 表示大学,AO,BO 表示公路) .现计 划修建一座物资仓库,希望仓库到两所大学的距离相等,到两条公路的距离也相等.你能确 定仓库 P 应该建在什么位置吗?在所给的图形中画出你的设计方案.25.如图,直线 l 是线段 AB 的中垂线,P 点在直线 l 的右侧,则点 P 到 A、B 的距离有何关 系?请写出你的结论,并说明理由.

26.已知甲村和乙村靠近公路 a、b,为了发展经济,甲乙两村准备合建一个工厂,经协商, 工厂必须满足以下要求: (1)到两村的距离相等; (2)到两条公路的距离相等.你能帮忙确定工厂的位置吗?27.利用网格线用三角尺画图, (1)在图中找一点 O,使得 OA=OB=OC; (2)在 AC 上找一点 P,使得 P 到 AB、BC 的距离相等; (3)在射线 BP 上找一点 Q,使得 QA=QC.28.已知:如图,AB=AE,BC=ED,AF⊥CD 且 F 是 CD 的中点, 求证:∠B=∠E.

29.如图①所示,将一个正三角形纸片沿着它的一条边上的高剪开,得到如图②所示的两个 全等的 Rt△ABC、Rt△DEF.(1)根据正三角形的性质可知:在图②中,∠ABC=∠DEF=30°,AB=DE=2AC=2DF.由此请你 归纳一下在含30°角的直角三角形中,30°角所对的直角边与斜边之间的关系: 在含30°角的直角三角形中,30°角所对的直角边; (2) 将这两个直角三角形纸片按如图③放置, 使点 B、 重合, F 在 BC 上. D 点 固定纸片 DEF, 将△ABC 绕点 F 逆时针旋转角α (0°<α <90°) ,使四边形 ACDE 为以 ED 为底的梯形(如 图④所示) ,求此时α 的值; (3)猜想图④中 AE 与 CD 之间的大小关系,并说明理由.


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