三角函数图像及其性质

一. 正弦函数和余弦函数的图象:

正弦函数y =sin x 和余弦函数y =cos x 图象的作图方法:五点法:先取横

π3π

坐标分别为0, , π, ,2π的五点, 再用光滑的曲线把这五点连接起来, 就得

22

到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象. 如右图所示: 二．正弦函数y =sin x (x ∈R ) 、余弦函数y =cos x (x ∈R ) 性质:

π

(1)定义域R. (2)值域[-1,1]. 对y =sin x , 当x =2k π+(k ∈Z )时, y 取最大值

2

3π

1; 当x =2k π+(k ∈Z )时, y 取最小值－1; 对y =cos x , 当x =2k π(k ∈Z )时, y

2

取最大值1, 当x =2k π+π(k ∈Z )时, y 取最小值－1. (3)周期性:①y =sin x 、y =cos x 的最小正周期都是2π;

②f (x ) =A sin(ωx +ϕ) 和f (x ) =A cos(ωx +ϕ) 的最小正周期都是T =典例:(1)若f (x ) =sin

2π. |ω|

πx 3

, 则f (1)+f (2)+f (3)+ +f (2003)＝;

ππ

(2)设f (x ) =2sin(x +) , 若f (x 1) ≤f (x ) ≤f (x 2)(x ∈R ) 恒成立, 则|x 1-x 2|min .

25

(4)奇偶性与对称性:

π

①函数y =sin x (x ∈R ) 是奇函数, 对称中心是(k π,0)(k ∈Z ), 对称轴是直线x =k π+(k ∈Z );

2

π⎫⎛

②函数y =cos x (x ∈R ) 是偶函数, 对称中心是 k π+,0⎪(k ∈Z ), 对称轴是直线x =k π(k ∈Z )（正(余) 弦型函数的对称轴为过

2⎭⎝

最值点且垂直于x 轴的直线, 对称中心为图象零点所在点. ）

⎛5π⎫

典例:(1)函数y =sin -2x ⎪的奇偶性是 ;

⎝2⎭

(2)已知函数f (x ) =ax +b sin 3x +1(a , b 为常数）, 且f (5)=7, 则f (-5) =; (5)单调性:

ππ⎤π3π⎤⎡⎡

y =s i n x 在⎢k 2π-k , π2+⎥(k ∈Z )上单调递增, 在⎢2k π+,2k π+⎥(k ∈Z )单调递减;

22⎦22⎦⎣⎣

y =c o s x 在[2k π,2k π+π](k ∈Z )上单调递减, 在[2k π+π,2k π+2π](k ∈Z )上单调递增. 三、形如y =A sin(ωx +ϕ) 的函数: (1)几个物理量:A―振幅; f =

1

―频率（周期的倒数）; ωx +ϕ―相位; φ―初相; T

(2)求y =A sin(ωx +ϕ) 表达式:A由最值确定; ω由周期确定; ϕ由图象上的特殊点确定. (3)函数y =A sin(ωx +ϕ) 图象的画法:

π3π

①“五点法”—设X =ωx +ϕ, 令X ＝0, , π, ,2π求出相应的x 值, 计算得出五点的坐标, 描点后得出图象;

22

②图象变换法:这是作函数简图常用方法.

(4)函数y =A sin(ωx +ϕ) +k 的图象与y =sin x 图象间的关系:

①y =sin x 的图象上各点向左(φ>0)或向右(φ

, 得到函数y =sin (ωx +ϕ)的图象; ω

③y =sin (ωx +ϕ)图象上各点横坐标不变, 纵坐标变为原来的A 倍, 得y =A sin(ωx +ϕ) 图象;

②y =sin (x +ϕ)图象的纵坐标不变, 横坐标变为原来的

④y =A sin(ωx +ϕ) 图象上各点向上(k >0) 或向下(k

ϕ

特别注意 :由y =sin (ωx )得到y =sin (ωx +ϕ)的图象, 则向左或向右平移应平移||单位.

ω

π

典例:(1)函数y =2sin(2x --1的图象经过怎样的变换才能得到y =sin x 的图象？

4

x πx

（2）要得到函数y =cos(-) 的图象, 只需把函数y =sin 的图象向个单位;

242

(5)研究函数y =A sin(ωx +ϕ) 性质的方法:

类比于研究y =sin x 的性质, 只需将y =A sin(ωx +ϕ) 中的ωx +ϕ看成y =sin x 中的x , 但在求y =A sin(ωx +ϕ) 的单调区间时, 要特别注意A 和ω的符号, 通过诱导公式先将ω化正.

π

典例:(1)函数y =sin(-2x +的递减区间是

3

x π

(2)y =log 1cos(+) 的递减区间是342

ππ2π

(3)(3)设函数f (x ) =A sin(ωx +φ)(A ≠0, ω>0, -

322

15π2π5π

A. f (x ) 的图象过点(0,) B. f (x ) 在区间[, ]上是减函数 C. f (x ) 的图象的一个对称中心是(,0) D. f (x ) 的最大值是A;

212312

π⎫⎛

(4)对于函数f (x )=2sin 2x +⎪给出下列结论, 其中正确结论是 .

3⎭⎝

ππ

①图象关于原点成中心对称; ②图象关于直线x =成轴对称; ③图象可由函数y =2sin 2x 的图像向左平移个单位得到;

12

3

④图像向左平移

π

个单位, 即得到函数y =2cos 2x 的图像. 12

π

, 那么此函数的周期是3

(5)已知函数f (x ) =2sin(ωx +ϕ) 图象与直线y =1的交点中, 距离最近两点间的距离为

四、正切函数y =tan x 的图象和性质:

π

(1)定义域:{x |x ≠+k π, k ∈Z }. 有关正切函数问题时, 你注意到正切函数的定义域了吗？

2

(2)值域是R, 在上面定义域上无最大值也无最小值;

(3)周期性:π, 它与直线y =a 的两个相邻交点之间的距离是一个周期π.

绝对值或平方对三角函数周期性的影响:一般说来, 某一周期函数解析式加绝对值或平方, 其周期性是:弦减半、切不变. 既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值, 其周期性不变, 其它不定.(只作了解即可)

典例:(1)y =sin 2x , y =sin x , y =|tan x |的周期都是π1π

(2)y =|2sin(3x -) +|,y =|2sin(3x -) +2|的周期都是2π;

626

(3)y =tan x 奇偶性:是______函数, 对称性：对称中心是_______.

特别提醒 :正切型函数的对称中心有两类:一类是图象与x 轴的交点, 另一类是渐近线与x 轴的交点, 但无对称轴, 这是与正弦、余弦函数的不同之处.

ππ

(5)单调性:正切函数在开区间(-+k π, +k π) (k ∈Z )内都是增函数. 但要注意在整个定义域上不具有单调性.

22练习：1 函数y =sin(2x +ϕ)(0≤ϕ≤π) 是R 上的偶函数，则ϕ的值是（ ）A 0 Bπ4

C2将函数

y =sin(x -) 的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移

33

π

π

π 2π

个单位，得到的图象对

应的僻析式是（ ）

11π1ππx By =sin(x -) Cy =sin(x -) y =sin(2x -) 222266

3若点P (sinα-cos α, tan α) 在第一象限, 则在[0,2π) 内α的取值范围是（ ）

π3π5πππ5ππ3π5π3ππ3π3π

) (π, ) B(, ) (π, ) C (, ) (, ) D (, ) (, π) A (, [1**********]44

A

y =sin

4若

, 则（ ）

42

α>cos α>tan α Bcos α>tan α>sin α Csin α>tan α>cos α Dtan α>sin α>cos α

π

π

5函数

2π2π

y =3cos(x -) 的最小正周期是（ ） A

556

B

5π2

C 2π D 5π

6在函数

y =sin x 、y =sin x

、

y =sin(2x +

2π2π) 、y =cos(2x +) 中，最小正周期为π的函数的个数为（ ） 33

A 1个 B 2个 C3个4个

f (x ) =cos(x +α) 有以下命题：①对任意α，f (x ) 都是非奇非偶函数；②不存在α，使f (x ) 既是奇函数，又是偶

函数；③存在α，使f (x ) 是偶函数；④对任意α，f (x ) 都不是奇函数其中一个假命题的序号是 ，因为当α= 时，该

7关于x 的函数

命题的结论不成立

8若函数

f (x ) =2tan(kx +

π

3

) 的最小正周期T 满足1

的x 的集合为_________________________________2

π

10若f (x ) =2sin ϖx (0

3

作业:化简sin 600的值是（ ）A 0.5 B -0.5 C D -

22

9满足sin

x =

2若0

π

2

x

(a -x ) 2cos x -a

-+x

x -a cos x a -1

的值是（ ）A 1-1 C 3 D -3

11⎛π⎫log sin α

等于（ ）A sin α B C -sin α D- ∈ 0, ⎪，则33

sin αcos α⎝3⎭

5已知sin α>sin β，那么下列命题成立的是（ ）

A 若α, β是第一象限角，则cos α>cos β B若α, β是第二象限角，则tan α>tan β C 若α, β是第三象限角，则cos α>cos β D 若α, β是第四象限角，则tan α>tan β

α-β

2 若α是第三象限的角，β是第二象限的角，则是第 象限的角2πππ

2已知函数f (x ) =2sin(ωx +ϕ) 对任意x 都有f (+x ) =f (-x ), 则f () 等于（ ）

666

A 2或0 B-2或2 C0 D -2或0

π⎧

cos x ,(-≤x

f (-) 等于（ ） , 3设f (x ) 是定义域为R ，最小正周期为的函数，若f (x ) =⎨则2

24⎪⎩sin x ,(0≤x

A 1 B C0 D-

22

b

1已知函数y =2a +b sin x 的最大值为3，最小值为1，则函数y =-4a sin x 的最小正周期为_______,值域为______________

2

π

5已知函数y =f (x ) 的图象上的每一点的纵坐标扩大到原来的4倍，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x 轴向左平移，

2

这样得到的曲线和y =2sin x 的图象相同，则已知函数y =f (x ) 的解析式为_______________________________2π

4已知定义在区间[-π, π]上的函数y =f (x ) 的图象关于直线x =-对称，当

63

π2ππ

x ∈[-, π]时，函数f (x ) =A sin(ωx +ϕ) (A >0, ω>0, -

6322

22

图象如图所示 (1)求函数y =f (x ) 在[-π, π]的表达式；(2)求方程f (x ) =的3若α

解

3

2

x