立体几何中的所有结论

1

第九章：直线、平面、简单几何体小结

一、重要的概念和定理 1. 公理和推论

公理1. 如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在 这个平面内。

作用：判断直线在平面内的依据。

公理2. 如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其它公共点，且这些公共点

的集合是通过该公共点的一条直线。 作用：判断两个平面相交和共线的依据。 公理3. 经过不在同一直线上的三个点，有且只 有一个平面。

推论1. 经过一条直线和这条直线外一点，有且 作用：确定平面的依据。 只有一个平面。 推论2. 经过两条相交直线，有且只有一个平面。 推论3. 公理4. 同平行于一条直线的两条直线互相平行。 作用：判断平行的依据。 2. 概念

⑴直线与直线 ①异面直线：

不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。 ②异面直线所成角：

如果a 、b 是异面直线，经过空间任意一点0作a '∥a ，b '∥b ，那么把a '和b '所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 和b 所成的角。

如果两条异面直线所成的角是直角，就称这两条异面直线互相垂直。 显然若设异面直线所成角为α，则0

π2

。

③异面直线间的距离：

和异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线。

两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫做两条异面

直线的距离。 ⑵直线和平面

①直线和平面平行：

如果一条直线和一个平面没有公共点，那么就说这条直线和这个平面平行。 ②直线和平面垂直：

如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么就说这条直线和这个平面垂直，这条直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面。 ③射影：

自一点P 向平面α引垂线，垂足P ' 叫做点P 在平面α内的正射影（简称射影）。如果图形F 上的所有点在一平面内射影构成图形F '，则F '叫做图形F 在这个平面内的射影。

过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影。

垂足和斜足间的线段，叫做这点到平面的斜线段在这个平面上的射影。 ④点到平面的距离：

从平面外一点引一个平面的垂线，这个点和垂足间的距离叫做这个点到这个平面的距离。

直线到平面的距离：

一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离。 ⑤直线和平面所成的角

平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。

一条直线垂直于平面，就说它们所成角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，就说它们所成的角是00的角。 显然若设直线和平面所成角为α，则0≤α≤

π2

。

⑶平面和平面

①两个平面平行：如果两个平面没有公共点，就说这两个平面互相平行。 ②平行平面间的距离：

和两个平行平面同时垂直的直线，叫做这两个平行平面的公垂线；它们夹

2

在这两个平行平面间的部分，叫做这两个平行平面的公垂线段；公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离。 ③二面角：

一个平面内的一条直线把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面；从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。 ④二面角的平面角：

以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角；平面角是直角的二面角叫做直二面角。显然若设二面角为α，则0≤α≤π。 ⑤平面互相垂直： 两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。 ⑷空间向量 ①平移：

如果空间图形F 的所有点都沿同一方向移动相同的距离到F '的位置，则就说图形F 在空间作了一次平移。

②向量：在空间，具有大小和方向的量叫做向量。 ③空间向量的加减与数乘运算

定义：

a

b

P

a λa O 已知空间两个任意向量a

, b ，作OA =a

, AB =OC =b ，如图。则 =OA +AB =a +b ; CA =OA -OC =a

OB -b ;

OP =λa

(λ∈R )

运算律：

a +b =b +a ; (a +b )+c =a ( +b +c ); λ(a +b )

=λa

+λb .

④共线向量：若表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。

共面向量：若表示空间向量a

的有向线段所在的直线与平面α平行或在平面α内，则说向量a 平行于平面α，记作a

//α；我们把平行于同一平面的向量叫做共面向量。

⑤基底：若三个向量a 、b 、c 不共面，则称{a , b ，c

}为空间的一个基a 底，、b 、c

都叫做基向量。

⑥两个向量的数量积

a 已知两个非零向量、b ，在空间任取一点O ，作OA =a

, OB =b ，则

∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作；如果=π 2

，则称a 与

a b 互相垂直，并记作⊥b 。

设OA =a ，则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作|a

|。

a 、b ，则|a

已知空间两个向量||b |cos叫做向量a 、b 的数量积， ∙b =|a a ∙b ，即a ||b |cos。

性质：

∙e =|a |cos；a a ⊥b ⇔a ∙b =0；|a |2=a ∙a

.

3

运算律：

λa ) ⋅b =λ(a ⋅b ); a

(⋅b =b ⋅a ; a ⋅(b +c ) =⋅b +a ⋅c .

⑦空间直角坐标系

如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做

{ i , j , k

单位正交基底，用}表示。

O 和一个单位正交基底{ i , j , k

在空间选定一点}。以点O 为原点，分别以

i 、

j 、k 的方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫做坐标轴。这

O-xyz ，O 叫做原点，向量 i 、

是我们说建立了一个空间直角坐标系j 、k 都

叫做坐标向量。

j , k 在单位正交基底{i , }中与向量OA =a

对应的有序实数组（x ，y ，z ），

叫做A 或a 在此空间直角坐标系中的坐标，记作A （x ，y ，z ）或a

=（x ，y ，z ）.

向量的直角坐标运算

设a

=（a 1，a 2，a 3），b =（b 1，b 2，b 3），则 a +b =（a 1+ b1，a 2+ b2，a 3+ b3）

；a

-b =（a 1- b1，a 2- b2，a 3- b3）； λa

=（λa ）；a 1，λa 2，λa 3）（λ∈R ∙b = a1 b1+a2 b2+a3 b3； a //b ⇔ a

1=λ b1，a 2=λ b2，a 3=λ b3；a ⊥b ⇔ a1 b1+a2 b2+a3 b3=0。

设A(x1，y 1，z 1) ，B(x2，y 2，z 2) ，则

AB =OB -OA =(x2，y 2，z 2)- (x1，y 1，z 1)= (x2- x1，y 2- y1，z 2- z1).

⑧夹角和距离

设a

=（a 1，a 2，a 3），b =（b 1，b 2，b 3），则

|a |=a ⋅a =a 222

1+a 2+a 3, |b |=b ⋅b =

b 221+b 2+b 2

3，

cos =

a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3

a 2+a 2+a

22221

2

3

b 1+b 2+b

3

设A(x1，y 1，z 1) ，B(x2，y 2，z 2) ，则

|AB |=

=

(x 2-x 221) +(y 2-y 1) +(z 2-z 2

1) 。

⑨法向量

若表示向量a 的有向线段所在的直线垂直于平面α，则说向量a

垂直于平面α，记作a ⊥α；如果a ⊥α，那么向量a

叫做平面α的法向量。 ⑸棱柱

①平行四边形ABCD （包括它的内部）平移向量a

到A 'B 'C 'D '的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，记作平行六面体ABCD- A'B 'C 'D '。 ②如果一个多面体有两个面互相平行，而其余每相邻两个面的交线互相平行，这样的多面体叫做棱柱。两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称底；其余各面叫做棱柱的侧面；两侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；两个地面所在平面的公垂线段，叫做棱柱的高。

③侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱，侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱。

④侧棱与底面垂直的平行六面体是直平行六面体，底面是矩形的直平行六面体叫做长方体，棱长都相等的长方体叫做正方体。 ⑹棱锥

①如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，

4

那么这个多面体叫做棱锥。有公共顶点的各三角形，叫做棱锥的侧面；余下的那个多边形，叫做棱锥的底面或底。两个侧面的公共边，叫做棱锥的侧棱，各侧面的公共顶点，叫做棱锥的顶点；由顶点到底面所在平面的垂线段，叫做棱锥的高。

②如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。 ⑺正多面体

每个面都是有相同边数的正多边形，每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体，叫做正多面体。正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体。 ⑻球

①与定点的距离等于或小于定长的点的集合，叫做球体，简称球。定点叫做球心，定长叫做球的半径。与定点的距离等于定长的点的集合，叫做球面。 ②球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆。

③经过球面上两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，叫做两点的球面距离。

2. 定理和推论

⑴等角定理及其推论：

如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。

如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相反，那么这两个角相等。

如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且一组边方向相同，一组边方向相反，那么这两个角互补。

如果两条相交直线和另外两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角或直角相等。

如果一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条。 ⑵异面直线的判断定理

连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线。

⑶任意两条异面直线有且只有一条公垂线。 ⑷直线与平面平行的判定定理：

如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

⑸直线与平面平行的性质定理：

如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行

⑹直线与平面垂直的判定定理：

①如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

②如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面。

⑺过一点作已知平面的垂线，有且只有一条；过一点作已知直线的垂面，有且只有一个。

⑻直线与平面垂直的性质定理：

如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。 ⑼斜线长定理：

从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中， ①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长。 ②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长。 ③垂线段比任何一条斜线段都短。 ⑽最小角定理：

平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，是这条斜线和平面内任一条直线所成的角中最小的角。

⑾如图1，PA 为平面α的一条斜线，AB 为PA 在平面α内的射影，AC ⊂平面α，设∠PAB=θ1, ∠BAC=θ2, ∠PAC=θ, 则cos θ=cosθ1⨯cos θ2 即：斜 = 垂 ⨯ 卧 ⑿三垂线定理：

在平面内的一条直线，如果和这个平面的

一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。

5

三垂线定理的逆定理：

在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。

⒀面面平行的判定定理：

①如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。 推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行。

②垂直于同一条直线的两个平面平行。

过平面外一点作已知平面的平行平面有且只有一个。 ⒁面面平行的性质定理：

①如果两个平面平行，那么在其中的一个平面内的任意一条直线必平行于另一个平面。

②如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

③一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。 ⒂面面垂直的判定定理：

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 ⒃面面垂直的性质定理：

如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。

a 、b （b ≠0），a //b

⒄共线向量定理：对空间任意两个向量的充要条件是存在实数λ使a

=λb 。

推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a

的直线，那么对任一

点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，满足等式OP =OA +t a

* 在l 上取AB =a

，则*式可化为

OP =OA +t AB 或OP =(1-t ) OA +t OB **

当t=

12

时，点P 是线段AB 的中点，则OP =

12

(OA +OB ) ***

其中向量a

叫做直线l 的方向向量；*或**都叫做空间直线的向量参数表示式；***是线段AB 的中点公式。

⒅共面向量定理：如果两个向量a 、b 不共线，则向量

p 与向量a 、b 共面的充要条件是存在实数对x ，y ，使

p =x a +y b 。

推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充要条件是存在有序实数对x ，y ，使

MP =x MA +y MB ，

或对空间任一定点O ，有OP =OM +x MA +y MB * *式叫做平面MAB 的向量表示式。

⒆空间向量基本定理：若三个向量a 、b 、c 不共面，

则对空间任一向量

p ， 存在一个唯一的有序实数组x ，y ，z ，使 p =x a +y b +z c

。

推论：设O 、A 、B 、C 是不共面的四点，则对空间任一点P 都唯一的有序实数组x ，y ，z ，使OP =x OA +y OB +z OC 。

⒇棱柱的性质 1）棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；直棱柱的侧面都是矩形；正棱柱的各个侧面都是全等的矩形。

2）棱柱的底面与平行底面的截面是对应边互相平行的全等多边形。 3）过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形。

(21)平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分。产

6

(22)长方体的一条对角线长的平方等于一个定点上三条棱长的平方和。 (23)棱锥的性质

如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面相似，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比。 (24)正棱锥的性质 1）正棱锥各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高（斜高）相等。 2）正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影也组成一个直角三角形。 (25)欧拉公式：简单多面体的顶点数V 、面数F 和棱E 之间有关系：V+F-E=2. (26)球的体积公式：V =

43

πR 3

，球的表面积公式：S=4πR 2。

二、重要结论

1. 空间四边形四边中点的连线是平行四边形。

2. 对角线相等的空间四边形四边中点的连线是菱形。 3. 对角线垂直的空间四边形四边中点的连线是矩形。

4. 对角线垂直且相等的空间四边形四边中点的连线是正方形。 5. 如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，那么这个点在平面内的射影在这个角的平分线上。

6. 如果一个角所在平面的一条斜线与角的两边所成的角相等且斜足为角的顶点，那么此斜线在平面内的射影为这个角的平分线。 7. 正方体的体对角线与它不相交的面对角线互相垂直。 8. 如果三棱锥三条侧棱两两垂直，那么顶点在底面上的射影为底面三角形的垂心，反之，不一定成立。

9. 如果三棱锥的对棱互相垂直，那么顶点在底面上的射影为底面三角形的垂心，反之也成立。

10. 如果三棱锥三条侧棱相等，那么顶点在底面上的射影为底面三角形的外心，反之也成立。

11. 如果三棱锥三条侧棱与底面所成角相等，那么顶点在底面上的射影为底面三角形的外心，反之也成立。

12. 如果三棱锥的三个侧面的高相等，那么顶点在底面上的射影为底面三

角形的内心或旁心，反之也成立。

13. 如果三棱锥的三个侧面与底面所成的二面角相等，那么顶点在底面上 的射影为底面三角形的内心或旁心，反之也成立。 14. 如图2：△AOB 为△PAB 在α内的射影， 二面角：P-AB-O 为θ， 则cos θ=

S 影S

原

三、解题技巧

1. 概念优先，位置优先，反面思考，多动动手。 2. 具体问题一般化

3. 由结论想判定，由已知想性质。 4. 三垂线定理及其逆定理的应用：

①将异面直线和共面直线相互转化; ②找二面角的平面角

③求平面外一点到平面内一条直线的距离; ④判断三角形的形状。 四、题型总结

1. 共点、共线、共面，存在唯一，异面等，经常采用反证法、同一法或向量的方法去解决。 2. 垂直与平行问题 注意转化与化归。

面

3. 角、距离的度量问题——原则是“一找，二作，三推说，四计算”。

7

⑴异面直线所成角的求法：

法1：证线⊥线，则异面直线所成的角为900 。

法2：平移相交法，关键是确定“O ”点，通常是考虑线段的端点、中点， ⑹点到平面的距离： 法1：等积法

法2：找射影 找垂足找面的垂线 找面的垂面 最常见的方法是用中位线，否则作平行线时，通常要先扩充“平面”。 法3：求两条直线的方向向量的夹角。 ⑵直线和平面所成角的求法：

法1：证线⊥面，则直线和平面所成的角为900 。

法2：用“斜 = 垂 ⨯ 卧”求解（由于它是结论，因此适合于选择、填空题）。

法3：找射影 找垂足找面的垂线

找面的垂面 法4：求斜线的方向向量与平面的法向量的夹角的余弦就是线面角的正弦。 ⑶二面角的求法：

法1：证面⊥面，则平面和平面所成的角为900 。

法2：定义法

法3：三垂线定理或其逆定理

法4：找垂面

法5：当直观图没有给出棱时，要先伸展平面找到棱，再求出二面角的平面角。一般有两种情形：

①若两个平面中恰有两条直线平行时，交线一定与这两条平行线平行； ②若没有上述平行线，观察能否在两个平面内各找到一条直线延长后相交，若有，则该点必在两平面的交线上。

法6：分别求两个平面的法向量的夹角，从而得到二面角。注意：异进出时：二面角α-l -β=

1, n 2>; 同进出时：二面角α-l -β=π-。 法7：分别求在两个平面内与棱垂直的向量的夹角，从而得到二面角。注

同进出时：二面角α-l -β=; 异进出时：二面角α-l -β=π-

意：>。

⑷点到点的距离：

①构造三角形，用正弦定理、余弦定理或勾股定理，解三角形。 ②求向量的模。

⑸点到直线的距离：用三垂线定理或其逆定理。

法3：如图n

是平面α的方向向量，PQ 是平面α的斜线，则点P 到平面α的距离是：

||PQ |cos |