用极限的四则运算法则_洛必达法则求极限的常见错误分析

第21卷 第2期Vol.21 No.2【数理化科学】

重 庆 工 学 院 学 报

JournalofChongqingInstituteofTechnology

2007年2月Feb.2007

用极限的四则运算法则、洛必达法则求

Ξ

(,安顺 561000)

摘要:极限运算法则、洛必达法则在求极限时常用到.通过实例对应用法则求极限时常见错误进行了分析,并与正确的解法进行了比较.关 键 词:极限;错误;分析

中图分类号:O13    文献标识码:A

文章编号:1671-0924(2007)02-0051-03

AnalysisontheCommonErrorsinUsingFourArithmetic

OperationsandL’HospitolRuleforLimitEvaluation

WUQing2cheng

(AnshunVocationalandTechnicalCollege,Anshun561000,China)

Abstract:LimitAlgorithmandL’Hospitalrulearefrequentlyappliedtolimitevaluation.Thispaperana2lyzesthecommonerrorsintheapplicationoftheserules,andcomparesthemwithcorrectsolutions.Keywords:limit;error;analysis

  求极限是高等数学中极其重要的内容之一,也是高等数学中的基础部分,因此熟悉求极限的方法对学好高等数学具有重要意义.求极限时常用到极限的四则运算法则和洛必达法则,但是在应用时一定要注意,否则容易出错,本文中将通过具体例子对此进行分析.

例1 求x→0

n

2

+

2

n

2

+…+

2n

2n

错解:lim

x→0

n

2

+

n

+…+

=lim

x→0

n

2

+lim

x→0

n

2

+…+lim

x→0

0=02=0+0+…n

1 用极限的四则运算法则求极限时的常见

分析:极限的四则运算法则仅对有限个函数

适用,上例括号内是n个量的和,当时n→∞,项数为无穷多项,因此不能用极限的四则运算法则来求.

正解:n

2

x→0

错误

  1)对无限个函数的和(或差、积等)用极限运算法则.

 Ξ 收稿日期:2006-11-20

+

n

2

+…+

2n

=

作者简介:伍庆成(1972-),女,湖南人,讲师,主要从事高等数学的教育和研究.

52lim

x→0

重庆工学院学报

n

2

=lim

x→0

=2

22n

lim

x→3

=x+33

2)每个参与运算的函数的极限不都存在时用

在使用极限的四则运算法则时,必须注意2点[1]:①法则要求每个参与运算的函数的极限存在;②商的极限的运算法则有个重要前提,即分母

极限运算法则.

例2 求lim错解:lim

x→∞

x

x→∞

x

=lim

x

的极限不能为0.当这2个条件中任何一个条件不

・limsinx=0

x→∞

x→∞

具备时,.

x→∞

分析:上面计算中第一个等号是错误的,因为limsinx不存在,  1)对不满足达法则.

cosx

例5 求lim(

x→0ln1+sinx)

()cosxcosx错解:lim(=lim=0

x→0ln1+sinx)x→0(1+sinx)分析:洛必达法则只适用于型型不定

0∞

型型不定式直接运用洛必0∞

则.

正解:x

,|sinx|≤1,:

x→∞

lim=lim(

x→∞

x

・sinx)=0

3)分母的极限为零时,求商的极限用极限的

四则运算法则.

例3 求lim

x→1

x-3x+2

2

lim(4x-3)错解:lim2==2x→1x-3x+20lim(x-3x+2)

x→1

式,而不能应用于非不定式的场合,而本例中limecosx=e.

x→0

=∞

分析:极限四则运算法则明确指出,当limf(x)

及limg(x)都存在且limg(x)≠0时有lim=

g(x)

,也就是说,商的极限的运算法则有个重

limg(x)

正解:因为lim=

x→0ecosxcosx

=0,所以lim=∞.

x→0ln(1+sinx)e

limln(1+sinx)

limecosx

x→0

=

要前提,即分母的极限不能为零.本例中lim(x2-x→1

洛必达法则还可用来求0・∞,∞-∞,0∞,

0∞

∞,1型未定式的极限,求这几种未定式极限的

3x+2)=0,显然不能用极限的四则运算法则.

正解:由于lim

x→1

=

4x-3

2

lim(x2-3x+2)

lim(4x-3)

x→1

=

基本方法是设法将它们化为型或型.

0∞

(secx-tanx) (∞-∞例6 求lim型)x=0,由无穷小量与无穷大量的倒数关系,得1

lim2=∞.x→1x-3x+2

2例4 求lim2x→3x-9

分析:因为lim(x2-9)=0,所以应考察分子极

x→3

2

(secx-tanx)=lim(解:limx2

x2

)=-cosxcosx

limx2

(化为型)=lim==0cosx10x-sinx

2

2)把函数当作整个分式来微分.

限,而lim(x2-4x+3)=0,即分子极限也是0,与例

x→3

例7 求lim+xlnx

x→0

错解:lim+xlnx=lim+=lim+x→0x→0x→0

x

(1+lnx)=∞lim+

2

3分子极限不为0不同,故不能用例3的解题方

+

2lnx

法.注意到分子和分母分解因式后出现公因子(x

-3),由极限定义知,x→3但x≠3,即x-3≠0,故可消去公因子后再求极限.

解:lim

x→3

x

2

=

x→0

2=lim=2x→3(x+3)(x-3)x-9

分析:用洛必达法则时应将分子、分母分别微分.

伍庆成:用极限的四则运算法则、洛必达法则求极限的常见错误分析

53

正解:lim+xlnx=lim+

x→0

x→0

=lim+x→0

x

-

x

2

=

x→0

(-x)=0lim+

3)当lim

x→x

不存在时,断定lim也不(x)x→xg(x)g′0

存在.

x→∞x

错解:limx→∞x′

lim(1-cos使用洛必达法则.

②应用洛必达法则时,必须对分子、分母分别同时求导,而不是对整个表达式求导.

③当lim不存在时,原极限lim不(x)x→xg′x→xg(x)00

一定不存在,此时洛必达法则失效,应另找方法求极限.

,如

x例8 求lim

xe1

x

(lim

x→0

(ex-1)x・

(

x

(

)0

x→∞

lim

x→0

分析:存在只是lim存在()()x→xx→xg′xgx00

的充分而非必要条件,也就是说lim不存在()x→x

0g′x时lim()也可能存在.本题只能说明洛必达法x→xgx0

(ex-1)x・e-1+xe

x

x

x

(

)0

lim

x→0

(ex-1)x・

x

x

x

)0

(

x

lim

x→0

)0

=lim

x→0

2e+xe

x

=

=2+x2

⑤洛必达法则并不一定是计算未定式的最简方法,有时洛必达法则与其它方法综合起来利用,效果更佳.

极限的四则运算法则及洛必达法则在极限理论中有着重要意义,在应用它们时一定要注意法则的使用条件,这样才能避免出错.

则失效.

正解:lim1-lim

x

x→∞

x→∞

=lim(1-x→∞x

x

)=

=1

洛必达法则是求未定式极限的一种有效方

法,但它不是万能的,如果对洛必达法则使用不当,那么会导致计算出错.在使用洛必达法则求极限时需注意以下几点[2]:

①只有型型未定式才能使用洛必达法

0∞

则,其它未定式需转换成型或型未定式才能

0∞

参考文献:

[1] 顾静相.经济数学基础[M].北京:高等教育出版社,

2000:18.

[2] 金岷.高等数学[M].北京:中国人事出版社,2000:

109.

(责任编辑 刘 舸)


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