实数集连续性定理的证明

２００１年５月

第２２卷第３期ＪｏｕｍａｌｏｆＧｕｙｌｌａｎＴｅａｃｈｅｒｓ固原师专学报（自然科学版）ｃｏｕｅｇｅ（ＮａｔｕｒａｌＳｃｉｅｎｃｅＥｄｉｔｉｏｎ）Ｍａｙ．２００１Ｖ０１．２２Ｎｏ．３

实数集连续性定理的证明＋

胡丽平

（驻马店师专数学系，河南驻马店４６３０００）

摘要：直接证明单调有界数列必收敛定理与其它实数连续性定理的等价性．

关键词：单调有界数列；实数连续性；等价性

中图分类号：０１５３文献标识码：Ａ文章编号：１００１．０４９１（２００１）０３．００５０．０３

实数的连续性就是从运算上说，实数集关于极限运算是封闭的这一性质．描述实数的连续性，文献［１］有一个公理与六个定理，它们是Ｉ公理：单调有界数列存在极限，Ⅱ闭区间套定理，Ⅲ确界定理，Ⅳ有限覆盖定理，Ｖ聚点定理，Ⅵ致密性定理，Ⅶ柯西收剑准则．上述定理在实数集中是等价的，文献［１］的证法：

公理毒闭区间套定理穹｛凳螽妻霎定理ｊ聚点定理ｊ致密性定理等柯西收敛准则，本文给出单调有界定理与其它几个定理之间等价的证明，从而说明上述定理的等价性．

定理ｌ单调有界数列存在极限定理§闭区间套定理

证明“ｊ”（参见文献１）

“仁”｛ａ。｝是单调增加有上界的数列，设ｄ为其任一上界，记ａｌ＝ｃ即ｃ＝ａｌ≤ａ２≤ａ３≤

…≤ａ。≤…≤ｄ等分［ｃ，ｄ］为［ｃ，（ｃ＋ｄ）／２与［（ｃ＋ｄ）／２，ｄ］，若中点（ｃ＋ｄ）／２仍为｛ａ。｝的上界，记（ｃｌ，ｄ１］＝［ｃｌ，（ｃ＋ｄ）／２］，否则记［ｃｌ，ｄ１］＝［（ｃ＋ｄ）／２，ｄ］，显然存在自然数ｋｌ当ｎ＞ｋｌ时，ａ。∈［ｃ。，ｄ。］仿此，继续等分（ｃ。，ｄ。］并无限进行下去’，便可得一列闭区间｛［ｃ。，ｄ。］｝．满足条件①（ｃ，ｄ］］［ｃｌ，ｄ１］３［ｃ２，ｄ２］…３…］［ｃ。，ｄ］３…②ｌｉｍ（ｄ。一ｃ。）＝０③存在自然数ｋ。，当ｊ）ｋ。时有ｃ。≤ａｊ≤ｄ。且ｄ。是｛ａｊ｝的上界，由①②根据闭区间套定理存在唯一实数Ｌ使ｌｉｍｃ。＝ｌｉｍｄ。＝Ｌ．由于当ｎ一∞时ｊ一∞由③便可得ｌｉｍａ．＝Ｌ即｛ａ。｝存在极限．同法可证单调减少有下界的数列｛ａ。｝存在极限．

定理２单调有界数列存在极限定理甘确界定理

证明“ｊ”（参见［２］）

“乍”（参见［３］）

定理３单调有界数列存在极限定理岱有限覆盖定理

证明“ｊ”设开区间Ｓ覆盖了闭区间［８，ｂ］要证明开区间集中存在有限个开区间便覆盖了－收稿日期：２００１一０２一０５作者简介：胡丽平（１９６３一），女，河南驻马店人，硕士，讲师

万方数据　

第２２卷第３期胡丽平：实数集连续性定理的证明５ｌ［ａ，ｂ］．用反证法，假设开区间集中任意有限个开区间都不能覆盖【ａ，ｂ］简称［ａ’ｂ］在Ｓ，中没有有限覆盖将（ａ，ｂ］二等分为（ａ，（ａ＋ｂ）／２］与（（ａ＋ｂ）／２，ｂ］．则显然其中至少有一个在Ｓ中没有有限覆盖，将其中一个没有有限覆盖的小区间记为［ａ。，ｂ。］，再将该区间二等分为［ａ。，（ａ，＋ｂ。）／２］与［（ａ。＋ｂ１）／２，ｂ１］同样其中至少有一个在ｓ中没有有限覆盖，将这样的一个记为（ａ２，ｂ２］，继续对［ａ２，ｂ２］二等分，这样无限进行下去，便得到一个闭区间列｛［ａ。，ｂ。］｝（ｎ＝０，１，２，…，ａ０＝ａ，ｋ＝ｂ）显然具有如下性质

（Ｄ’［ａ，ｂ］］（ａｌ’ｂ１］３…３［ａ。，ｂ。］３…②ｌｉｍ（ｂ。～ａ。）＝ｌｉｍ（ｂ—ａ）／２“＝０

③每个［ａ。，ｂ。］在ｓ中都没有有限覆盖．

由①可知：数列｛ａ。｝与数列｛ｂ。｝都是单调有界数列，据单调有界数列存在极限定理有ｌｉｍａ。

ｎ—＋∞

＝ａ，１ｉｍｂ。＝ｐ显然ａ，８∈［ａ。，ｂ。］（ｎ＝０，１，２，…）可见Ｉａ—ｐＩ≤Ｊｂ。一ａ。Ｉ＝（ｂ—ａ）／２“一０（ｎ一∞）故ａ＝ｐ．已知ｓ覆盖［ａ，ｂ］，因而存在（ｐ，ｑ）∈Ｓ使ａ∈（ｐ，ｑ）由上述（２）易知，存在充分大的自然数ｎ使（ａ。，ｂ。）ｃ（ｐ，ｑ）此与（ａ。，ｂ。］在ｓ中无有限覆盖矛盾，故［ａ，ｂ］在ｓ中存在有限覆盖，这说明有限覆盖定理成立．

“仁”不妨设｛ａ。｝为单调增加有上界的数列，要证明｛ａ。｝存在极限，由｛８。｝的性质｛８。｝的极限必是它的上界，设ｄ为｛ａ。｝的任一上界，记ｃ＝ａ，则ａ，＜ｄ即ｃ＜ｄ，二等分区间［ｃ，ｄ］为［ｃ，（ｃ＋ｄ）／２］与［ｃ（ｃ＋ｄ）／２，ｄ］．若（ｃ＋ｄ）／２为｛ａ。｝的上界记ｄｌ＿（ｃ＋ｄ）／２，ｃｌ＝ｃ，若（ｃ＋ｄ）／２不是｛ａ。｝的上界，记ｄ１＝ｄ，ｃｌ＝（ｃ＋ｄ）／２，显然｛ａ。｝中的无限多项含于［ｃｌ，ｄ１］，对［ｃｌ，ｄ２］继续二等分，这样无限进行下去，便得一个闭区间列｛（ｃ。，ｄ。）｝显然具有如下性质

①［ｃ，ｄ］］（ｃＩ，ｄＩ］３…３［ｃ。，ｄ。］３…

（Ｄｄ。一ｃ。＝（ｄ—ｃ）／２“ｌｉｍ（ｄ。一ｃ。）＝０

③每个［ｃ。，ｄ。］含有｛ａ。｝的无限多项

用反证法，假如｛ａ。｝的根限不存在，即对于任一ｘ∈［ｅ，ｄ］都不是｛ａ。｝的极限，换句话说，存

ｘ∈［ｃ，ｄ］｝覆盖［ｃ，ｄ］，根据有限覆盖定理，ｓ中存在有限个开区间

ｕ△】（。．

另一方面，已知△ｘｉｎ［ｃ。，ｄ。、］＝口（ｉ＿ｌ，２，…ｎ），令Ｎ＝ｍａ】【｛ｎ。；Ｉｉ＿ｌ，２…ｎ｝由性质（１）［ｃＮ，

ｉｄＮ］＝口与开

证明“ｊ”（参见［２］）

“仁”（参见［３］）

证明“ｊ”设｛ｘ。｝是有界无穷数列，即存在ａｌ＜ｂｌ使对一切自然数ｎ，使ａｌ＜ｘ。＜ｂ１，先取ｎｌ＝１，则ｘ。ｌ＝ｘｌ，有ａｌ＜ｘ。ｌ＜ｂｌ，其次把［ａｌ，ｂ１］二等分为［ａ１，（ａｌ＋ｂ１）／２］与（（ａｌ＋ｂ１）／２，ｂ１］，其中至少有一个闭区间含有｛ｘ。｝的无穷多项，将这样一个闭区间记为（ａ２，ｂ２］，这种分法继续下≤ｂｋ；（２）（ａｌ，ｂ１］］［ａ２，ｂ２］］…３［ａｋ，ｂｋ］］…，１ｉｍ（ａｋ—ｂｋ）＝Ｏ由于｛ａｋ｝与｛ｂｋ｝都是单调有界数

万　方数据在某个闭区间（ｃ。。，ｄ。，］使ｘ芭（ｃ。，，ｄ。。］，因此存在以ｘ为中心的开区间△】【，使△）【ｎ［ｃ。。，ｄ。，］＝移，于是开区间集ｓ＝｛△】【ｌ△】（１，△ｘ２，…，△】【。也覆盖了［ｃ，ｄ］即［ｃ，ｄ］ｃｄＮ］ｃ［ｃ。。，ｄ。，］（ｉ＝ｌ，２，…ｎ）于是△ｘ。ｎ［ｃＮ，ｄＮ］＝谚，ｉ＝ｌ，２，…ｎ，即（Ｖ△ｘｉ）ｎ［ｃＮ区间集｛△）【ｉ，Ｉｉ－１，２…ｎ｝覆盖［ｃ，ｄ］矛盾，故｛ａ。｝存在极限，即单调有界数列存在极限定理成立．定理４单调有界存在极限定理§聚点定理定理５单调有界存在极限定理铮致密性定理去，便得到｛ｘ。｝的一个子列｛ｘｎｋ｝及一个闭区间列［ａｋ，ｂｋ］，满足（１）对于任意自然数ｋ，有ａｋ≤ｘ。ｋ

５２固原师专学报（自然科学版）２００１年５月界，据单调有界定理，有ｌｉｍａｋ＝“ｌｉｍｂｋ＝ｐ再由（２）可知ａｋ≤ａ≤ｂｋ，ａｋ≤ｐ≤ｂｋ（ｋ＝ｌ，２…）从而有Ｉａ—ｆｉＩ≤｜ｂｋ—ａｋｌ—Ｏ（ｋ一∞），可见ａ＝ｐ．由（１）ａｋ≤ｘ。ｋ≤ｂｋ（ｋ＝１，２…）可得１ｉｍａ。ｋ＝ａ．

’“乍”不妨设｛ａｎ｝单调增加有上界，任取｛ａ。｝的一个上界ｄ，记ｃ＝ａｌ则ｃ＜ｄ．对［ｃ，ｄ］采用定理３证明中的二等分法，得到一个闭区间列｛［ｃ。，ｄ。］｝，满足ｄ。一ｃ。＝（ｄ—ｃ）／２７，ｌｉｍ（ｄ。一ｃ。）＝０

显然｛ｃ。｝｛ｄ。｝都是有界无穷数列，据致密性定理，存在子列｛ｃ。ｋ｝与｛ｄ。ｉ｝使．１ｉｍｃｎｋ＝ａ，ｌｉｍｄ。ｉ＝｜３．容易看出ｃ。ｋ≤ａ≤ｄ。ｋ，ｃ。ｉ≤ｐ≤ｄ。ｉ取ｍ＝ＩＩｌｉｎ｛ｎｋ，ｎｉ｝由（１）易知［ｃ。，ｄ。］］［ｃ。ｋ，ｄ。ｋ］，［ｃ。，ｄ。］３［ｃ。ｉ，ｄ。ｉ］，于是ｃ。≤ａ≤ｄ。，ｃ。≤ｐ≤ｄ。可见ＩＱ一口Ｉ≤Ｉｄ。一ｃ。Ｉ≤（ｃ—ｄ）／２“一０（ｍ一∞）说明ａ＝ｐ，注意到ｃｋ≤～≤ｄｋ（当ｎ充分大时）与ｃｋ≤ａ≤ｄｋ，容易得到Ｉ％一ａＩ≤Ｉｃｋ—ｄｋＩ≤（ｃ—ｄ）／２。一Ｏ（当ｋ－＋∞，ｎ・∞）这表明ｌｉｍａｎ。ａ．

定理６单调有界数列存在极限定理售柯西收敛准则

证明“ｊ”设Ｉｉｍａ。＝ａ，则显然有Ｖ￡＞０，了自然数Ｎ，当ｍ，ｎ＞Ｎ时不等式Ｉａ。一ａ。Ｉ＜￡成立，反之，设数列｛ａ。｝具有性质：Ｖｅ＞０，３Ｎ，当ｍ，ｎ＞Ｎ时有不等式Ｉａ。一ａ。Ｉ＜￡成立，现在要证明｛ａ。｝存在极限，取ｅ＝１，则存在自然数Ｎｌ，当ｎ，ｍ＞Ｎｌ时，有Ｉａ。一ａ。Ｉ＜ｌ，固定ｍ，对于任意的自然数ｎ＞Ｎｌ，有ａ。一１＜ａ。＜ａ。＋１．记［ｃｌ，ｄ１］＝［ａ。一１，ａ。＋１］，显然［ｃｌ，ｄ１］中含有｛ａ。｝的所有Ｎｌ＋ｌ项以后的各项，将闭区间［ｃｌ，ｄ１］二等分为［ｃｌ，（ｃ１＋ｄ１）／２］与［（ｃｌ＋ｄ１）／２，ｄ１］其中至少有一个闭区间含有｛ａ。｝的无限多项，将这样的一个记为［ｃ２，ｄ２］，用同样的方法二等分［ｃ２，ｄ２］，这样无限进行下去，便得到一个闭区间列｛［ｃ。，ｄ。］｝它显然具有如下性质．

（１）（ｃＩ，ｄ１］３（ｃ２，ｄ２］３…３（ｃ。，ｄ。］］…（２）ｌｉｍ（ｄ。一ｃ。）＝ｌｉｍ（ｄｌ—ｃ１）／２“＿。＝Ｏ

（３）每个闭区间［ｃ。，ｄ。］都含有｛［ａ２］｝的无限多项

由（１）据单调有界数列存在极限定理，有ｌｉｍｃ。＝ａ１ｉｍｄ。＝ｐ，且ｃ。≤ａ，ｐ≥ｄ。又由（２）Ｉａ—ｐｆ≤ｄ。一ｃ。Ｉ＝（ｄｌ—ｃ１）／２”１—０（ｎ一∞），可见ａ＝Ｂ且ｃ。≤ａ≤ｄ。（ｎ＝１，２…）下面只须证明：ｌｉｍａ。＝ａ

由（２），对于上述ｅ＞０，ｊＮ２，当ｎ＞Ｎ２时有Ｉｄ。一ｃ。ｌ＜￡．取Ｎ３＝ｍ缸｛Ｎｌ、Ｎ２｝，则当ｎ，ｍ＞

Ｎ３时，同时有ｌｄ。一ｃ。ｌ＜￡与Ｉａ。一ａ。Ｉ＜￡又因（３），存在某自然数ｍｌ＞Ｎ３，使ｃ。≤ａ。ｌ≤ｄ。（ｎ＞Ｎ３），从而有Ｉ

一ａ。１ａ。ｌ—ａＩ≤Ｉｃ。一ｄ。Ｉ＜￡，这样一来，当ｎ＞Ｎ３时（对固定的ｍｌ＞Ｎ３）有ｌａ。－一ａＩ≤Ｉａ。Ｉ＋Ｉａ。ｌ—ａｌ＜２￡这表明ｌｉｍａ。＝ａ．

“乍”不妨设｛ａＩＩ｝单调增加有上界，任取｛ａＩｌ｝的一个上界ｄ，记ｃ＝ａ，，则ｃ＜ｄ仿照定理３证明中的作法，便得一个闭区间列｛［ｃ。，ｄ。］｝满足ｄ。一ｃ。＝（ｄ—ｃ）／２“，ｌｉｍ（ｄ。一ｃ。）＝０据柯西收敛准则，有ｌｉｍｃ。＝℃且ｌｉｍｄ。＝℃，由（２）易知￡＝１：即ｌｉｍｃ。＝ｌｉｍｄ。＝∈．显然，对于任意自然数ｎ，ｃ。≤毫≤ｄ。．

下面只须证明：ｌｉｍａ：＝ｅ，根据｛ａ。｝的单调性与｛［ｃ。，ｄ。］｝的做法，容易看出：对于每一自然数ｎ，当ｋ充分大时，总有ｃ。≤ａｋ≤ｄ。．由于ｌｉｍｃ。＝ｌｉｍｄ。＝℃便得ｌｉｍａｋ＝《，可见单调有界数列存在极限定理成立．

参考文献：

［１］

［２］

［３］刘玉琏，傅沛仁．数学分析讲义（第三版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９９２．Ｐ１２４一１３５．华东师范大学数学系．数学分析［Ｍ］．北京：人民教育出版社ｊ１９８３．Ｐ１９ｒ７。２１６．刘玉琏．数学分析讲义学习指导［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９８７．Ｐｌｌ９．１４２．（责任编辑麦成）

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被引用次数：胡丽平驻马店师专,数学系,河南,驻马店,463000固原师专学报JOURNAL OF GUYUAN TEACHERS COLLEGE2001，22(3)0次

参考文献(3条)

1. 刘玉琏. 傅沛仁 数学分析讲义 1992

2. 华东师范大学数学系 数学分析 1983

3. 刘玉琏 数学分析讲义学习指导 1987

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