线性代数试题库(1)答案

线性代数试题库（1）答案

一、选择题：（3×7=21分）

1.n 阶行列式D 的元素a ij 的余子式M ij 与a ij 的代数余子式A ij 的关系是（ C ） A ． A ij =Mij B 。 A ij =(-1) n M ij C 。A ij =(-1)i +j M ij D 。A ij =-Mij

2．设A 是数域F 上m x n矩阵，则齐次线性方程组AX=O （ A ） A ． 当m n时，无解C ．当m=n 时，只有零解D ．当m=n 时，只有非零解 3．在n 维向量空间V 中，如果σ，τ∈L （V ）关于V 的一个基{α1, , αn }的矩阵分别为A ，B. 那么对于a ，b ∈F ，a σ+bτ关于基{α1, , αn }的矩阵是（ C ） A ．A+B B ．aA+B C ．aA+bB D ．A+Bb 4．已知数域F 上的向量α1, α2, α3 线性无关，下列不正确的是（ D ）

α2线性无关 B ．A α1，α2, α3线性无关 C ．α3, α1线性无关 D ．α1, α2, α3

中必有一个向量是其余向量的线性组合。 5．R n 中下列子集，哪个不是子空间（ C ） A ．R

n

n

B ．{(a 1, , a n ) |a i ∈R , i =1, , n 且∑a i =0}

i =1

n

C ．{(a 1, , a n ) |a i ∈R , i =1, , n 且∑a i =1} D ．{0}

i =1

6．两个二次型等价当且仅当它们的矩阵（ A ）

A 。相似 B ．合同 C ．相等 D ．互为逆矩阵 7．向量空间R 3的如下变换中，为线性变换的是（ C ） A ．σ(x 1, x 2, x 3) =(|x 1|,1, 1)

B ．σ(x 1, x 2, x 3) =(x 1+1, x 2, x 3)

C ．σ(x , x (x D ．σ(x 222

12, x 3) =2, x 3, 0) 1, x 2, x 3) =(x 1, x 2, x 3)

二．填空题（3X10=30分）

⎧x 1+x 2+x 3=1．当且仅当k=（-1或3）时，齐次线性方程组⎪

⎨3x 1`-x 2+kx 3=0有非零解

⎪⎩9x +x +k 212x 3=0

⎛a 1⎫

2．设A= a ⎪

2⎪≠0, B =(b 1, b 2, b 3)≠0, 则秩（AB ）为（1）。

⎝a 3⎪⎭

3．向量（x ，y ，z ）关于基（0，1/2，0），（1/3，0，0），（0，0，1/4）的坐标为⎛ 12

⎝

3, 12 , 1⎫

4⎪

⎭ 4．设向量空间F 的线性变换

σ, τ为σ(x 1, x 2) =(x 1+x 2, x 2), τ(x 1, x 2) =(x 1-x 2, 0), 则(σ-τ)(x 1, x 2) =（2x 1,x 2）。 5．已知V={(x 1, x 2, x 3, x 4) |x 1+2x 2-x 4=0}，则dimV=（3）。 ⎛1⎫

6．已知实矩阵A=

a 3 ⎪ > 0 ) 是正交阵，则b=（0）。 ⎪, (a

b 1⎪⎝

3⎪

⎭7．设α1, α2, α3, α4是四维欧氏空间V 的一个标准正交基，α=α1+α2-α3-α4，

β=α-α=(2), 〈α, β〉=(3), α与β的夹角θ=⎛ π⎫

1+α23, 则|α|⎝6⎪⎭

, d (α, β) =(1).

三、计算题

1．求矩阵方程的解 ⎛ 10 ⎫⎝11⎪⎪⎭x +2⎛ 11 ⎫⎛31⎫

⎝01⎪⎪⎭= ⎝13⎪⎪⎭

， （10分）

。

解:x=

⎛21⎫-1

2．设A = AT 为对角形 (10分) 求可逆矩阵T 使T ⎪ 12⎪

⎝⎭

⎛22⎫T T 解：由 E -A =0, λ1=1, λ2=3, X 1=(1, -1), X 2=(1, 1)分别单位化，得 λ , - ⎪ , 1 =⎪22⎝⎭⎛2⎫2T

⎪⎛22⎫

⎪ , 所以T ⎪ λ 2 = = 2 2, 2⎪ 22⎪⎝⎭ -⎪

22⎝⎭

22

3．设二次型f (x 1, x 2, x 3) =x 12+2x 2+5x 3+2x 1x 2+2x 1x 3+6x 2x 3, 回答下列问题：

T

（1）将它化为典范型。 （2）二次型的秩为何？

（3）二次型的正、负惯性指标及符号差为何？ （4）二次型是否是正定二次型？ （10分）

2222

解：（1）f (x 1, x 2, x 3) =y 12+y 2 ,(2)r=5 ,(3)p=3;s=1 ,(4)A=6＞0，是正定二次型 。 +y 3-y 4-5y 5

四、证明题

1．设V 是数域F 上一个一维向量空间。证明V 的变换σ是线性变换的充要条件是：对于任意ξ∈V ，都有σ（ξ）=aξ，a 为F 中一个定数。（10分） 证明：⇒假设η是V 的 基，存在所以 λ∈F ，此时得ξ=λη，由σ是线性变换，则σ(η)=λ1η，

σ(ξ)=σ(λη)=λσ(η)λλ1η=λ1(λη)=λ1ξ，令λ1=a a 则σ(ξ)=a ξ；

⇐任意ξ1，ξ2∈V ，a ∈F ，由σ(ξ1+ξ2)=a (ξ1+ξ2)=a ξ1+a ξ2=σ(ξ1)+σ(ξ2)

σ(k ξ1)=ak ξ1=k (a ξ1)=k σ(ξ1)∴σ是线性变换。

b +c

c +a c 1+a 1

c 2+a 2

a +b

a

b b 1b 2

c

c 1 ，（10分） c 2

2。行列式b 1+c 1

b 2+c 2a 1+b 1=2a 1a 2+b 2a 2

b c c 1c 2

a a 2

c c 2

a a 1a 2

b b 2

a a 2

b b 1b 2

c c 2

a a 2

b b 1b 2

c c 2

a a 2

b b 1b 2

c c 1 c 2

证：原式=b 1

b 2

a 1+c 1b 1=a 1c 1+a 1c 1=2a 1

线性代数试题库（2 ）答案

2005—2006学年 第一学期 考试时间 120分钟

一、选择题：（3X5=15分）

1. n 阶行列式D 的元素a ij 的余子式M ij 与a ij 的代数余子式A ij 的关系是（ C ） A ． A ij =Mij B 。 A ij =(-1) n M ij C 。A ij =(-1)i +j M ij D 。A ij =-Mij 2．设A 是数域F 上m x n矩阵，则齐次线性方程组AX=O （ A ） A ． 当m n时，无解 C ．当m=n 时，只有零解D ．当m=n 时，只有非零解 3．已知n 维向量α1, α2, α3 线性无关，下列不正确的是（ D ）

A α1，α2线性无关 B ．α2, α3线性无关 C ．α3, α1线性无关 D ．α1, α2, α3中必有一个向量是其余向量的线性组合。

4．若A 是mxn 矩阵，且r （A ）=r，则A 中（ D ） A. 至少有一个r 阶子式不等于0，但没有等于0的r-1阶子式； B. 必有等于0的r-1阶子式，有不等于0的r 阶子式； C. 有等于0的r-1阶子式，没有等于0的r 阶子式； D. 有不等于0的r 阶子式，所有r+1阶子式均等于0。

5．4．设A 是三阶矩阵，|A|=1，则|2A2|=（ A）A ．2，B ，1，C8 ，D 4 二．填空题（3X6=18分） ⎧1．当且仅当k=（-1或

3）时，齐次线性方程组 ⎪

x 1+x 2+x 3=0⎨3x 1`-x 2+kx 3=0有非零解

⎛⎪2．设A= , a 1⎫⎩9x 1

+x 2+k 2x 3=0

a ⎪

2⎪0, B =(b 1, b 2, b 3)≠0则秩（AB ）为（1）

。 x y 3．行列式⎝a

3⎪⎭

-x

0z =(0). -y -z

4．已知实矩阵A= ⎛ 1

3 a ⎫⎪

是正交阵，则b=（0）。

1⎪⎪, (a >0) ⎝b 3⎪⎭

5．向量（x ，y ，z ）关于基（0，1/2，0），（1/3，0，0），（0，0，1/4）的坐标为 -1

6⎛ 11⎝3, 2, 1⎫

4⎪⎭B 为n 阶可逆矩阵，则⎛ A o ⎫

⎝o B ⎪⎪

⎭

=⎛ A -1

o ⎫ ⎝o B -1⎪⎪。（10分） ⎭

三、计算题

1．求矩阵方程的解

⎛10⎫⎛⎝11⎪⎪⎭x +2 11 ⎫⎛⎝⎭ 31 ⎫

01⎪⎪=⎝13⎪⎪⎭

， （10分） 解:x=

2．设A = ⎛ 2 1 ⎪⎪⎫

⎝12⎭ 求可逆矩阵

T 使 T -

1 AT 为对角形 (15分)

解：由 E -A =0, λT

T

⎛22⎫T

1=1, λ2=3, X 1=(1, -1), X 2=(1, 1)分别单位化，得 λ 1 = , - ⎪⎪

, 2⎫⎝22⎭

λ ⎛22⎫

T

⎛ 22 = ⎪⎪ ⎝2, 2⎪ ⎪⎭ , 所以T = 2

22⎪ ⎝- 2

2⎪ ⎭

。

22

3．设二次型f (x 1, x 2, x 3) =x 12+2x 2+5x 3+2x 1x 2+2x 1x 3+6x 2x 3, 回答下列问题：

(1)将它化为典范型。 （2）二次型的秩为何？

（3）二次型的正、负惯性指标及符号差为何？ （4）二次型是否是正定二次型？ （12分）

2222解：（1）f (x 1, x 2, x 3) =y 12+y 2 ,(2)r=5 ,(3)p=3;s=1 ,(4)A=6＞0，是正定二次型 。 +y 3-y 4-5y 5

⎛1⎫⎛0⎫⎛3⎫⎛2⎫⎛1⎫

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ -1⎪ 3⎪ 0⎪ 1⎪ -1⎪α1= , α=, α=, α=, α=2 1⎪3 7⎪4 5⎪5 2⎪4．设向量组 2⎪

⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 4⎪ 2⎪ 14⎪ 6⎪ 0⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭

求向量组的秩及其一个极大无关组。（10分） 1

3

21

-1301-1

21752

4a 12a 214a 36a 40a 5

10→0

00

-13330

21110

422

a 1a 2

1-13000

21000

420

a 3-3a 1→0-2a 4-2a 10-4a 5-a 10

a 1

a 2

a 3-3a 1-a 2a 4-2a 1-a 2

-4

0a 5-a 1-(a 4-2a 1-a 2)

其中α 3 - 3 α 1 - α 2 = 0 , a 2 - a 1 - ( a 4 - 2 a 1 - a 4 ) = 0 由此r(A)=3, 2 4 是一个极大α 1, α, a 无关组， 四、证明题

1. A 是正交矩阵，证明(A α, A β)=(α, β), A α=α。（10分） 证明：(A α, A β)=(A α)T A β=αT A T A β=αT (A T A )β=αT β=(α, β),

A α=

α3=3α1+α2, a 5=-a 1-a 2+a 4

A , A =, =α

b +c c +a a +b a b c

2。行列式b 1+c 1

c 1+a 1a 1+b 1=2a 1b 1c 1 ，（10分） b 2+c 2c 2+a 2a 2+b 2a 2b 2c 2b

c a c a b a b c a b c a b c 证：原式=b 1

c 1a 1+c 1

a 1b 1=a 1

b 1c 1+a 1

b 1c 1=2a 1

b 1c 1 b 2

c 2

a 2

c 2

a 2

b 2

a 2

b 2

c 2

a 2

b 2

c 2

a 2

b 2

c 2

线性代数试题库（3）答案

一、选择题（3×5=15分）

1．已知m 个方程n 个未知量的一般线性方程组AX=B有解，则无穷多解的条件是（ C A ．m ≠n B ．m=n C ．秩A

）

2

2．设A= 0 1 则 秩A=（ A ） 0

⎛1

0 0⎝

0⎫⎛1⎪ 3⎪ 1 4⎪⎭⎝2

-1⎫

⎪-1⎪-2⎪⎭

A ． 0 B ．1 C ．2 D ．3

3．n 阶行列式D 的元素a ij 的余子式M ij 与a ij 的代数余子式A ij 的关系是（ C ） A ． A i +j ij =Mij B 。 A n ij =(-1) M ij C 。A ij =(-1)M ij D 。A ij =-Mij 4．已知数域F 上的向量α1, α2, α3 线性无关，下列不正确的是（ D ）

A α1，α2线性无关 B ．α2, α3线性无关 C ．α3, α1线性无关 D ．中必有一个向量是其余向量的线性组合。

5．设α1, α2, α3, α4是四维欧氏空间V 的一个标准正交基，α=α1+α2-α3-α4，

则|α|=（ C ） A 、0 B ．1 C ．2 D ．4

二．填空题（3X6=18分）

1．设A 是一个n 阶实可逆矩阵，则二次型X ' (A ' A ) X 的标准形是(X ' IX 2．矩阵 x cos x

⎛sin ⎫⎝-cos x sin x ⎪⎪的逆矩阵为⎛⎭ sin x -cos x ⎫⎝cos x sin x ⎪⎪

。 ⎭

3．向量（x ，y ，z ）关于基（0，1/2，0），（1/3，0，0），（0，0，1/4）的坐标为 4．⎛ 1121⎫4, α, α是四维欧氏空间V 的一个标准正交基，α=α⎝3, , , 2⎪⎭

3

41+α2-α3-α4， 则|α|=(2)

5．已知实矩阵A= ⎛ 1

3 a ⎫⎪

是正交阵，则b=0。 1⎪⎪, (a >0) ⎝b 3⎪⎭

6．A 与B 相似，则|A|（=）（≠, =）|B|。

1, α2, α3 。α

三、计算题

1

0100

32

+a 1

a 1a 1

1

a 21+a 2

a 2

2

a 3a 31+a 3

3

a 4a 4a 4

1. 计算行列式 a 1 + a =I ，（10分） a a

4

00

10

5⎫⎪7⎪2⎪⎭

a 1a 2a 2

a 2a 2

a 3a 3a 3a 3

a 4

a 4

=1+0=1. a 4a 4

解：原式0

⎛1 3 1⎝

a 0

+1

a 10

a 11

2. 设A= 4 , 求矩阵B ，使AB=A-B。 （10分）

解：设B= b , ∵AB=A-B，∴ 4 b =

2

2

⎛a 1

a 2 a ⎝3

b 1

b 3

c 1⎫⎪c 2⎪c 3⎪⎭⎛a 1

3a 2 a ⎝3

3b 1

2b 3

5c 1⎫

⎪7c 2⎪2c 3⎪⎭⎛1-a 1

3-a 2 1-a

3⎝

3-b 14-b 2

2-b 35-c 1⎫

⎪

7-c 2⎪2-c 3⎪⎭

解得B=

⎛1

2 3 4 1 ⎝2

344523

5⎫⎪6⎪7⎪8⎪2⎪⎪3⎭

⎛21⎫⎝12⎭

解：由 E -A =0, λ1=1, λ2=3, X 1

⎛2T

⎛22⎫

⎪ , 所以T λ 2 = = 2 2, 2⎪ 2⎝⎭ -

⎝2

-13．设 A 求可逆矩阵 T 使 T AT 为对角形 (15分) = ⎪⎪

⎛22⎫T T , - ⎪ , =(1, -1), X 2=(1, 1)分别单位化，得 λ 1 =⎪22⎝⎭

2⎫⎪2⎪2⎪⎪2⎭

T

22

4．设二次型f (x 1, x 2, x 3) =2x 12+5x 2（1）将它化为典范+5x 3+4x 1x 2-4x 1x 3-8x 2x 3, 回答下列问题：

型。（2）二次型的秩为何？（3）二次型的正、负惯性指标及符号差为何？（4）二次型是否是正定二次型？ （12分）

解：（1）f (x =y 22215y 2

1, x 2, x 3) 1+y 2+y 3-4

,(2)r=4 ,(3)p=3;s=2 ,(4)A=10＞0，是正定二次型 。

四、证明题1．试证：设A 是n 阶矩阵，则|A*|=|A|n -1（10分） 证

明

：

AA *=

A E

取行列式得

到

A A *=A E =A

n

A ≠0则A *=A n -1

, 若A =0则A *=0此时命题也成立，即A *=A

n -1

。

2．试证：行列式 b + c

c +a a +b a b c

b 1

+ c 1

c 1

+ a 1

a 1

+ b 1

= 2

a 1

b 1

c 1

，（10分） b +a a a c b

c 2+c a 2

c

2a b

2

2+b a 2

2

b a

2

b

2

c a b c 证明: 原式= b 1

c 1a 1+c 1a 1b 1=a 1b 1c 1+a 1b 1c 1=2a 1

b 1c 1

b 2

c 2

a 2

c 2

a 2

b 2

a 2

b 2

c 2

a 2

b 2

c 2

a 2

b 2

c 2

若

线性代数试题库（4）答案

一、选择题（3X7=21分）

1．已知m 个方程n 个未知量的一般线性方程组AX=B有解，则无穷多解的条件是（C ） A ．m ≠n B ．m=n C ．秩A

2．设矩阵A 是n 维向量空间V 中由基α1, , αn 到基β1, , βn 的过渡矩阵，则A 的第j 列是（ C ） A ．αj 关于基 α1, , αn 的坐标 B ．αj 关于基β1, , βn 的坐标 C ．βj 关于基α1, , αn 的坐标 D ．βj 关于基β1, , βn 的坐标

⎪ ⎪3．设A= 2 1 1 - 3 1 ⎪则 秩A=（ C ）A 、0 B ．1 C ．2 D ．3 0⎪

0 04⎪0-2⎪⎝⎭⎝2⎭

⎛1

0⎫⎛1

-1⎫

4．n 阶行列式D 的元素a ij 的余子式M ij 与a ij 的代数余子式A ij 的关系是（C ） A ． A ij =Mij B 。 A ij =(-1) n M ij C 。A ij =(-1)i +j M ij D 。A ij =-Mij

5．在n 维向量空间V 中，如果σ，τ∈L （V ）关于V 的一个基{α1, , αn }的矩阵分别为A ，B 。那么对于a ，b ∈F ，a σ+bτ关于基{α1, , αn }的矩阵是（C ）

A ．A+B B ．aA+B C ．aA+bB D ．A+Bb 6．向量空间R 3的如下变换中，为线性变换的是（C ） A ．σ(x 1, x 2, x 3) =(|x 1|,1, 1)

B ．σ(x 1, x 2, x 3) =(x 1+1, x 2, x 3)

22

C ．σ(x 1, x 2, x 3) =(x 2, x 3, 0) D ．σ(x 1, x 2, x 3) =(x 12, x 2, x 3)

7．已知数域F 上的向量α1, α2, α3 线性无关，下列不正确的是（D ）

α2线性无关 B ．A α1，α2, α3线性无关 C ．α3, α1线性无关 D ．α1, α2, α3

中必有一个向量是其余向量的线性组合。 二．填空题（3X10=30分）

1．设A 是一个n 阶实可逆矩阵，则二次型X ' (A ' A ) X 的标准形是（X ' IX ）

2． σ是向量空间R [x ]上的变换（即σ(f (x )) =f ' (x )), 则(σ2-σ)(x 2-x +3) =-4x 3+12x 2-20x +13.

⎛sin x cos x ⎫⎛sin x -cos x ⎫

⎪ 3．矩阵 的逆矩阵为 -cos x sin x ⎪ cos x sin x ⎪⎪。

⎝⎭⎝⎭

4．设α1, α2, α3, α4是四维欧氏空间V 的一个标准正交基，α=α1+α2-α3-α4，

⎛π⎫

β=α1+α2-α3, 则|α|=(2), 〈α, β〉=(3), α与β的夹角θ= ⎪d (α, β) =(1).

⎝6⎭

5．向量（x ，y ，z ）关于基（0，1/2，0），（1/3，0，0），（0，0，1/4）的坐标为（1/3，1/2，1/4）。 6．已知V={(x 1, x 2, x 3, x 4) |x 1+2x 2-x 4=0}，则dimV=（4）。 7．已知实矩阵 是正交阵，则b=（0）。

+a a a a

a 1+a a a 三、计算题 a a 1+a a

1． 计算行列式 ，（10分）

a a a 1+a

1

2

33

n n n

11

22

3

1

2

3

n

⎛1 A= 3 b

⎝⎫a ⎪

, ⎪ ( a > 0 ) 1⎪⎪3⎭

⎛135⎫ ⎪3472． 设A= ⎪, 求矩阵B ，使AB=A-B。 （10分） 122⎪⎝⎭

解：设B= , ∵AB=A-B，∴ 4 b =

2

解得B=

⎛21⎫3． 设 A = T 使 T - 1 AT 为对角形 (10分) 1 2 ⎪⎪ 求可逆矩阵⎝⎭

T

⎛⎫T T 22 , 解：由 E -A =0, λ1=1, λ2=3, X 1=(1, -1), X 2=(1, 1)分别单位化，得 λ ⎪=, -1 22⎪⎝⎭⎛⎫22T

⎪⎛22⎫

⎪ , 所以T ⎪ λ 2 = = 2 2, 2⎪ 22⎪⎝⎭ - ⎪

22⎝⎭

四、证明题

1．设ξ, η是欧氏空间任意向量，证明：|ξ+η|≤|ξ|+|η|, (10分)

证明：因为

ξ+η=+η, ξ+η=, ξ+2, η+, η≤, η+2ξ+, η=2+2ξ+2=(ξ+)2所以|ξ+η|≤|ξ|+|η|。

b +c

c +a c 1+a 1c 2+a 2

a +b

a

b b 1b 2

c

c 1 ，（9分） c 2

c 1⎫⎛a 1b 1

⎪ a 2b 2c 2⎪ a ⎪⎝3b 3c 3⎭

35⎫⎛1

⎪

46⎪ 2

47⎪ 3

458⎪ 122⎪ ⎪

33⎭⎝2

⎛a 1

3a 2 a ⎝3

3b 1

2b 3

5c 1⎫

⎪7c 2⎪2c 3⎪⎭⎛1-a 1

3-a 2 1-a

3⎝

3-b 14-b 2

2-b 35-c 1⎫

⎪

7-c 2⎪2-c 3⎪⎭

2．行列式b 1+c 1

b 2+c 2

b

证明: 原式= b 1

a 1+b 1=2a 1a 2+b 2a 2

c c 1c 2

a a 2

c c 2

a a 1a 2

b b 2

a a 2

b b 1b 2

c c 2

a a 2

b b 1b 2

c c 2

a a 2

b b 1b 2

c c 1

c 2

a 1+c 1b 1=a 1c 1+a 1c 1=2a 1

b 2