求解线性方程组的简单方法_张来亮

第 23 卷 第 1期 014 2 3年月

南教河学育院学( 自然科学报版)J ornualo Hfeann nsIttuti ofe Eduacito n(Na uralt cienSce dEiton)i

oVl 23. N. 1o Mar 2.01

4d

o: 10i .939 6/j. i ssn 100.7 0-83.4 201. 014.00 3

解线性求程组的方单简方

张法亮来,吕 濯

缨(山东 技大科 公学课部共 山, 东南济2 5031 0)1 ]摘:要对 文[献中的求 解性线方程组的单简方进法了改进,行 到得了更简单、 实更的用法.方关 词:键线 性方组程;列初等 换变; 础基解; 系通解中 图类分: O1号7 文献4识标: 码A文 编章:号 001 7 083-4 (2 014) 1 0- 0070- 0

2

1 文献][ 绍介了种求一解线方程性组简的方法 ,单仔 细研究发:现① 介绍的所法中的符号表示方与内 用国来不方起; 便②求解齐非线性次程组的方法方中 有,限地使用列制、行 等变初换 现行大多,数材不教一致,容 混易, 淆导致易误错生发 本文.符对表号运用国内通用示表的方示 法 对求,解齐非次性方线程组的法方 [进 2 ]得只到利初用等列变且不换限制的加简单、 效有的法 方 .行改进, 1求齐解线次方程性组简的方法 单考方察组 程A m×n xn × 1 = 0 m ×1 ,( )1

假设

r A ()= r, 令 C =

(

((

m D r × , m × 0 (n - r)) Pn

)

(

Am) n ×nE

这 E里 n是 n阶 单位 矩 ,阵对矩 C阵作 系列一初等变列将换 C化为

, Pn为 n阶 逆矩阵(可 一列初等矩阵系之积 ) ,其中D m× r 为一列满 矩阵, 秩则P n 的 后n - r

列向个即量为( ) 的1个一础基系. 解明 证mA n×P n n =P0 m ×( n- r )) ,由 于 r ( )A = ,r则 在 n 阶存 可 矩逆 阵Pn 使 得m ×A Pnn= (D m× r ,( Dm r×, 0m × n( -) r)Pn

)

(

)(

Am × ) Enn

P

n=

, Pn =( p 1, p , 2…,p , pr +r 1, pr + ,2 … pn ,), pr + 2,…, p n ) = 这里 mA ×n ( p +r1 ,

m ×0 ( - n) ,r ] 1r + p2, 它表 明 P 的n后 n- r个向量列为即 1( )的一组线性无 关解 由.献文[第 17 页注 ( 43 ) 知 r + p1 , …,p n就 ( 1是 的一个)基解础系. 2求 解非齐线次方性程组简单的方法 考方程察 A组 m n x×n × 1 =b ×m1 , (2

假) 设( Ar =) r ,令C

(

(

Am= n E×

n-bm ×10 n ×

Dm × r 1n M×

r

0 × ( nm- r ) nN× n( r-

-)b ×m1 n0× 1

))

, 这 En 是 n里阶 位单矩阵 对矩阵, C作 系列一等列初变换将C 化为 G=

,其 N n中× ( n- r) 的列向量 方是组程 ( ) 的1个一基解系础

, ) 1若 r(D m ×r ,- b m× )1 =r + 1 则,程方( 组 ) 2无;解 2 ) 若r( D m× , r - b ×m )1 r,=则 程组(方 )2 有解 且当;r < n时 无有穷多解,当 r = 时有n唯解一 .

当方程组

有收稿期:日 2130- 0 7- 82“ 群星划”计基金项 目: 东科山技学教大育教研学究重 项目点( Q2X013145 ) 作者简介 :来张亮 (1596 ) ,— ,男 东山临人朐 ,东山科大技公共学课教授,部主要研究 方:向应用数学 及教.

8

南教河学育学院( 自然科报版学)

2014年

时解, 矩阵 G 对进再行系一初列等变列,换将矩阵 G 变 为 换Dm × r 0 m (×n - r )0m × 1 G— =,M n × r N n ×(n - r) n × 1

U(

)

2) 的通 为解:x n × 1 U=n × 1+ N n× (n r)-K ( n- r)则 U ×n 1就是( 2 的一个特)解,k i 是任 意数.常证

1

×

T ,里这K ( n -r

1

× ( =k 1 k,1, … ,kn- r ) ,

由齐解次线性程方的组论知结 存在, n 可逆矩阶阵P1 使 mA× nA m ×n P1D m r×0 × ( n m r) P-1 = = ,En 1 M Pn× r N n × ( -nr )

()(

)

()

N n

( ×n - ) r ) 这里 P, =1 M (n ×r, 且N n× ( n- r ) 是( )1 的一基个解系础 .1P n × 01 mA× n - bm × 1 , 则P 2可 逆, P 2 令= P 2=0 1 × 1 Enn 0n×

(1

(

A

m ×nP 1P1

- bm × 1 n ×0

1

)(=

)

Dm× r n ×M r

0 m× ( n - r )N n × (n- )r

bm× 1 0 ×n1

)

(

)

(

m ×A nE

n -m ×b 0n 1×

1(

)

P10 n ×1

0

1× n

I)

=

由于 ,r ( Dm × r, - b m × 1 )= r( Dm ×r = r, ) -则b m 1× 可由D m × 的

 rl1  l1   l  2 2lr 个列 向线性表量示,l 2 …, ,lr 使得 D m×r   - mb× 1 =0 . L 记r× 1 =   .存即 在r个常数 1 l,      l  r lr 令P3 =

(

Dm

×rM n× r 0m 1

×

0m ×( n r-)N n × ( n -r)

(D

× mr Mn ×r

0 m ( ×n- ) N r n ( n -× )

rU

n 1

E -r b ×m1  0(n - r) 0n × 1   0 1 r

×)

0

r ( n×- r)

r

×L

r × 1 0 (n -r) 1×1

n - Er 1 ×0 n( - )

r   = 

(m D×r Mn r

×0m × ( -n r) Nn ×(n - r

0)m× 1 M n× rL r ×1

)

,=这 里 nU× 1 = nM r × Lr ×1 .0 m × ( n - r ))

由 于 b m×1 = D m× L r r× =1( Dm × r n ×U 1是就( 2) 的 一个特解.而 x= Nn × n (-r ) ( n K- )

r×1

(

r ×L1 0 n -(r) ×

)

= 1A1

P(

L

r× 10 n( - )r×

1)

1 所P,

(

Lr× 1 0 ( n r)

-1

×

)

=

M n×r L r 1 =×

T +

Un ×1 就(是 2) 的通解,这里 K ( n -r

)×1

=

(k 1 , k2 ,,… nk- r) , k 是i意任常.数

考参文 献

1[ 王卿]文.线性代数 心思核及想用应 [] M. 北: 京学出科社, 20版2 :1 415 - 161.[ ]2上 海通交学大学数系. 大学数学— — —性线代 [ M]数 2 版..北京 高:教育等版社出

, 021 : 2011- 54.

Si1mle pSoution lMthed ofo ysStmeLin ea Erqatuio

ZnAHNG Liailnag ,V ZLuohiyng( D

parteemtn f Poulic boCrseuS,anhodn gciSnce eadn Tcehnoogly nUveisrti,Jynina 25030 ,1hCia)n

Ab

stact :r imSpl eslotuoinm etho dof systemli nare qeutioa nni iletartrue[ 1]s rivisede ,ad tne hnwe olsutin omethd oof ystsme lneia requtian iso etber tthn befaoer .eK ywros:d sstye ofm lniae erqatuoi; nleeenmaryt coumnlope rtainos;sy tsme fo unfdmantale slouiotns; egneal sorltiuon


© 2024 实用范文网 | 联系我们: webmaster# 6400.net.cn