定积分及其应用联习卷(含答案)

上海应用技术学院2007—2008学年第一学期

《 高等数学 》定积分及其应用试卷

班级： 姓名： 学号： 分数：

我已阅读了有关的考试规定和纪律要求，愿意在考试中遵守《考场规则》，如有违反将愿接受相应的处理。

试卷共 页，请先查看试卷有无缺页，然后答题。

一、选择题：

1、函数f (x ) 在闭区间[a , b ]上连续是f (x ) 在[a , b ]上可积的______B (A ) 必要条件

(B ) 充分条件

b a

(C ) 充分必要条件(D ) 既非充分也非必要条件

2、积分中值定理⎰f (x ) dx =f (ξ)(b -a ) 中ξ是[a , b ]上____B (A ) 任意一点3、已知积分⎰(A ) 大于0

0-1

2-1

(B ) 必存在的某一点(C ) 唯一的某点(D ) 中点

f (x ) dx 表示曲线y =f (x ), x =-1, x =2及x 轴围成的平面图形面积，

(C ) 连续

(D ) 可导

则在[-1, 2]上有f (x ) ______A

(B ) 小于0

4、⎰2x +1dx =_______D (A )1

(B )0

x e

(C ) -

12

(D )

x e

12

5、I 1=

⎰

ln tdt , I 2=

⎰

ln t dt

2

(x >0), 则_______A

(A ) 仅当x >e 时，I 1

2

2

(B ) 对一切x ≠e , 有I 1

x →a

⎰x -a

2

x

x a

f (t ) dt , 其中f (x ) 为连续函数，则lim F (x ) 等于_____B (C )0

(D ) 不存在

(B ) a f (a )

7、若已知x →0时，f (x ) =(A )1

(B )

12

(C ) -1

(D ) -

⎰

x 0

(x -t ) ϕ(t ) dt 的导数与x 等价，则ϕ(0)=_____B

222

12

8、若⎰f (t ) dt =

x

x

4

2

, 则⎰

40

f =_______A

(A )169、⎰

1

(B )8(C )4(D )2

是______C (B ) 收敛于

12

(C ) 收敛于2

(D ) 收敛于1

(A ) 发散10、若⎰(A )1

+∞0

a 1+x

2

dx =π, 则a =______B 12

(D ) -

12

(B )2

2

(C )

11、由y =x , x =0及y =1所围成的平面图形绕y 周旋转所得旋转体的体积为______A(A )

π2

(B )

π3

(C )

π4

(D )

π6

12、曲线x +y =1所围成的图形的面积为

______D (A )

12

(B )1

(C )

32

(D )2

t

⎧π⎪x =e sin t

13、曲线⎨自t =0至t =之间的一段弧的弧长s =______D

t

2⎪⎩y =e cos t

ππππ

(A -e 2) (B -e 2(C 2(D e 2-1)

14、用F 牛顿的力可使弹簧伸长lcm ，现要使弹簧伸长2lcm , 需坐w =_____(J ) A (A )

lF 50

(B )2lF

(C )

lF 25

(D )

lF 5

二、 填空题：

d

1dx

⎰

b a

x ln(1+x ) dx =________;0

x 0

2

22

2、lim

π

⎰

sin x

4

=________

3π8

23

x →0

3

23、⎰πsin xdx =________-2

4、⎰x ln(1+x ) dx =________0

2

-1

1

5、设f (x ) 以T 为周期的连续函数, ⎰f (x ) dx =1, 则⎰

T 1+2007T

1

f (x ) dx =______2007

6、F (x ) =

⎰

x

te

-t

2

dt 有极值，则当x =_____时，取极小值_______0, 0

三、计算题：

⎧x te t dt

⎪

1、已知f (x ) =⎨⎰0

2⎪⎩x

x

2

, 试讨论f (x ) 在x =0点处的可导性与连续性。

x →0

lim -

⎰

x 0

te dt =0

t

x →0

lim +x =0

x

f (0)=0∴连续

f -'(0)=lim -

x →0

⎰

x 0

te dt x

x →0

t

=lim -xe =0

f -'(0)=f +'(0)

2

1

⇒f '(0)=0

f +'(0)=lim +

x →0

x

2

x

2

=0

2、设f (x ) =x -x ⎰f (x ) dx +2⎰f (x ) dx , 求f (x ) 。

设

⎰f (x ) dx =A

2

⎰⎰

1020

2

10

f (x ) dx =B

B =A =A =

⎰⎰

1020

f (x ) dx =f (x ) dx =

B =

2

x dx -x dx -

2

⎰

10

xdx ⎰f (x ) dx

2

1

⇒

12

A -B =

1383

⎰⎰

xdx ⎰f (x ) dx

2

⇒3A -4B =

43

1343x +

23

2

∴f (x ) =x -

3、求⎰（x -dx

-1

1

⎰（x -dx =

-1

1

2

⎰

1-1

[x -2(1-x )]dx =

22

⎰（1-2dx

-1

1

=

⎰

1-1

dx -2⎰dx =2

-1

1

4、求e dx dx

=

e e d ln x 1=

21

ln x =t

=

1dt

=2arcsin

π

2

2

5、求⎰

dx x (x +4)

=-

14

n

6

5

1

⎰

2

dx x (x +4)

1

2

6

1

⎰

2

1

(

x

6

x +4

-

1x

) dx =-

1118062[ln(x +4) -ln x ]1=ln 462417

6、求⎰(x -1) dx

-1

(其中n 为正整数）

n

⎰

1-1

(x -1) dx =(-1)

π

n

2n

⎰

1-1

(1-x ) dx =(-1)

n

2n

x =sin t

π

n

⎰

2-

π

2

(cost ) 23

2n +1

dt

=(-1) 2⎰2(cost )

2n +1

dt =(-1) 2⋅

2n 2n -2

2n +12n -1

...... ⋅1

π

7、求⎰

π

20

dx 1+cos x

π

⎰

20

dx 1+cos x

π

2

=

⎰

20

(1-cos x ) dx 1-cos x

π

2

π

=2

⎰

20

(1-cos x ) dx

sin x

2

ππ

=

⎰

20

csc xdx -

2

⎰

20

d sin x sin x

2

=-cot x |+

10

1sin x

x 2

|02=

3

-+1

8、求

⎰

xe

(1+x )

2

dx

1

x

⎰

10

xe

x

(1+x )

1-dx =-⎰xe d

2

1x +1

=-xe

x

1x +1

|0+⎰

1

10

(x +1) e 1+x

x

dx =-

e 2

+e |0=

x 1

12

-1

9、求⎰

1

4

-23

1

-23

⎰

1-2

=3⎰x 3dx +2⎰x

-1

-1dx +2⎰x

dx =

97

7

1

1

1

1

x 3|-1+2⋅3x 3|-1+2⋅3x 3|0=

1027

10、求

⎰

+∞0

e

-x

sin xdx

+∞0

⎰

+∞0

e

-x

sin xdx =-⎰cos x |

-x

+∞0

sin xde

-x

-x

=-e

-x

sin x |

+∞0

+⎰

+∞0

e

-x

cos xdx =-⎰

+∞0

cos xde

-x

=-e ∴⎰

-x

+⎰

+∞0

-e sin xdx =1-

⎰

+∞0

e

-x

sin xdx

+∞0

e sin xdx =

=

1211、求⎰

3

3

1

⎰

1

⎰

2

1

+

⎰

32

=12

2=

3

四、应用题：

1、求y =1-x 在(-1, 0) 和(1,0) 两点处的切线和曲线所围图形的面积。

2

y ' =-2x 在（1，0）处切线:y =2-2x s =2⎰(2-2x -1+x ) dx =

01

2

由对称性知:

23

⎧x =a (t -sin t )

2、求由摆线⎨的一拱所围图形绕x 周旋转的体积。

⎩y =a (1-cos t )

v =

⎰

2πa

πy dx =π⎰

2

2π

a (1-cos t ) d [a (t -sin t )]=πa

223

⎰

2π

(1-cos t ) dt =5πa

323

五、证明题：

1、证明不等式

12

π

≤

⎰π

2

sin x x

dx ≤

2

x (cosx -=) =

2

x

2

4

sin x x

设f (x ) =

sin x x

f '(x ) =

x cos x -sin x

x

2

)

x ∈[ππ4,

2

]

∴f (x ) 在[∴2≤

ππ4, 2

]上单调减少m =f (

π2

π

M =f (

π4

) =

π

sin x x

π

≤

π

1

由积分性质知≤

2

π

⎰π

2

sin x x

dx ≤

2

1

2

4

2、设f (x ) 在区间[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且满足f (1)=3⎰3e

1-x

f (x ) dx ,

证明存在ξ∈(0,1),使得f '(ξ) =2ξf (ξ) 。设F (x ) =e

1-x

2

f (x ) 在[0,1]内连续，在（0，1）内可导

2111-ξ

由积分中值定理知：∃ξ∈（0），使得f (1)=3⋅(-0) F (ξ) =F (ξ) =e 1f (ξ) 133

11又F (1)=f (1)=e

1-ξ2

1

f (ξ1)

F (x ) 在[ξ1,1]上使用Rolle 定理知：

至少存在一ξ∈(ξ(0,1),使得F '(ξ) =e 1-ξ

2

1,1) ⊂[f '(ξ) -2ξf (ξ)]=0

即:f '(ξ) =2ξf (ξ)

ξ∈(ξ1,1) ⊂(0,1)

1