绝对值的性质及运用

绝对值

基本要求:借助数轴理解绝对值的意义,会求实数的绝对值

略高要求:会利用绝对值的知识解决简单的化简问题

【知识点整理】

绝对值的几何意义:一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离.数a的绝对值记作a. 绝对值的代数意义:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0. 注意:①取绝对值也是一种运算,运算符号是“”,求一个数的绝对值,就是根据性质去掉绝对值符号.

②绝对值的性质:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0. ③绝对值具有非负性,取绝对值的结果总是正数或0.

④任何一个有理数都是由两部分组成:符号和它的绝对值,如:5符号是负号,绝对值是5. 求字母a的绝对值:

a(a0)a(a0)a(a0)①a0(a0) ②a ③a a(a0)a(a0)a(a0)

利用绝对值比较两个负有理数的大小:两个负数,绝对值大的反而小.

绝对值非负性:如果若干个非负数的和为0,那么这若干个非负数都必为0.

例如:若abc0,则a0,b0,c0

绝对值的其它重要性质:

(1)任何一个数的绝对值都不小于这个数,也不小于这个数的相反数,即aa,且aa;

(2)若ab,则ab或ab;

aa(b0); bb(3)abab;

(4)|a|2|a2|a2;

a的几何意义:在数轴上,表示这个数的点离开原点的距离.

ab的几何意义:在数轴上,表示数a.b对应数轴上两点间的距离.

【例题精讲】

模块一、绝对值的性质

【例1】到数轴原点的距离是2的点表示的数是( )

A.±2 B.2 C.-2 D.4

【例2】下列说法正确的有( )

①有理数的绝对值一定比0大;②如果两个有理数的绝对值相等,那么这两个数相等;③互为相

反数的两个数的绝对值相等;④没有最小的有理数,也没有绝对值最小的有理数;⑤所有的有理数都可以用数轴上的点来表示;⑥符号不同的两个数互为相反数.

A.②④⑤⑥B.③⑤C.③④⑤D.③⑤⑥

【例3】如果a的绝对值是2,那么a是( )

1A.2 B.-2 C.±2 D. 2

【例4】若a<0,则4a+7|a|等于( )

A.11a B.-11a C.-3a D.3a

【例5】一个数与这个数的绝对值相等,那么这个数是( )

A.1,0 B.正数 C.非正数 D.非负数

【例6】已知|x|=5,|y|=2,且xy>0,则x-y的值等于( )

A.7或-7 B.7或3 C.3或-3 D.-7或-3

【例7】若x

x1,则x是( )

A.正数 B.负数 C.非负数 D.非正数

【例8】已知:a>0,b<0,|a|<|b|<1,那么以下判断正确的是( )

A.1-b>-b>1+a>a

B.1+a>a>1-b>-b

C.1+a>1-b>a>-b

D.1-b>1+a>-b>a

【例9】已知a.b互为相反数,且|a-b|=6,则|b-1|的值为( )

A.2 B.2或3 C.4 D.2或4

【例10】a<0,ab<0,计算|b-a+1|-|a-b-5|,结果为( )

A.6 B.-4 C.-2a+2b+6 D.2a-2b-6

【例11】若|x+y|=y-x,则有( )

A.y>0,x<0 B.y<0,x>0

C.y<0,x<0 D.x=0,y≥0或y=0,x≤0

【例12】已知:x<0<z,xy>0,且|y|>|z|>|x|,那么|x+z|+|y+z|-|x-y|的值( )

A.是正数 B.是负数 C.是零 D.不能确定符号

【巩固】已知a、b、c、d都是整数,且a+bb+cc+dd+a2

,则a+d 。

【例15】若x<-2,则|1-|1+x||=______

若|a|=-a,则|a-1|-|a-2|= ________

【例18】已知数a,b,c的大小关系如图所示,则下列各式: c①ba(c)0;②(a)bc0;③ab1;④bca0; abc

⑤abcbac2b.其中正确的有 .(请填写番号)

【巩固】已知a,,bc是非零整数,且abc0,求

abcabc的值 abcabc

模块二 绝对值的非负性

1. 非负性:若有几个非负数的和为0,那么这几个非负数均为0

2. 绝对值的非负性;若abc0,则必有a0,b0,c0

【例1】 若a4b2,则ab_______

【巩固】若m3n

722p10,则p+2n3m_______ 2

b的值 【例2】a1b20,分别求a,2

【巩固】先化简,再求值:3a2b3222ab2(abab)2ab. 2

其中a、b满足a3b(2a4)20.

模块三 零点分段法

1. 零点分段法的一般步骤:①找零点→②分区间→③定符号→④去绝对值符号.

【例1】阅读下列材料并解决相关问题: xx0我们知道x0x0,现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式,如化简代数式xx0

可令x10和x20,分别求得x1,x1x2时,x2(称1,2分别为x1与x2的

零点值),在有理数范围内,零点值x1和x2可将全体有理数分成不重复且不易遗漏的如下3中情况:

⑴当x1时,原式x1x22x1

⑵当1≤x2时,原式x1x23

⑶当x≥2时,原式x1x22x1

2x1x1综上讨论,原式31≤x2

2x1x≥2

通过阅读上面的文字,请你解决下列的问题:

(1)别求出x2和x4的零点值

(2)化简代数式x2x4

【巩固】 化简x1x2

【巩固】化简mm1m2的值

【巩固】 (1)化简x52x3.

【课堂检测】

1. 若a的绝对值是1,则a的值是( ) 2

11 D. 22A.2 B.-2 C.

2. 若|x|=-x,则x一定是( )

A.负数 B.负数或零 C.零 D.正数

3. 如果|x-1|=1-x,那么( )

A.x<1 B.x>1 C.x≤1 D.x≥1

4. 若|a-3|=2,则a+3的值为( )

A.5 B.8 C.5或1 D.8或4

【家庭作业】

1. -19的绝对值是________

2. 如果|-a|=-a,则a的取值范围是(

A.a>0 B.a≥0 C.a≤0 D.a<0

7. 若3x2y30,则y的值是多少? x


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