丘成桐演讲如何做学问

丘成桐讲 如演何学做问

首

，讲先我从讲的前些一验经我。前在香港长从，在大香念中学港、大学然，到美国后念

研究所所以，少在前至半一跟家大的经验应该不差了太，远不过是时有代点不同。我在 多

年念数学，你前们现念在学数，法上已看有许经多相不同，实事上也我不太了你解现们在

想法。不过基本的上，们我都中是文国化生出，所的以想我有仍一部共份同的方。基本地

上我是们要怎讲作么学研究科也就是纯，科学的研究，我们要看的我是们志的向是怎的样 。

如假我们做想一个的科学好，当家然我的讲是么做一怎个好的学家。数先说我自己的 经

，验从前我香港在培中正学中念学时的候，就开始对数有兴学趣当。然有还一些它的其 课程

我，对数学有趣，兴一方面受到我是庭家影的响我父，亲做哲是的，学所对于念以学 数一

都相当直励鼓，到中学以了，后我亲去父了世不过也。此对因自然科于学很浓厚有的兴 趣。另一

面受老方师的响也影很。我大很重想的要我们当开始要一做学问，尤其个是真你

要的做一出色个科学的家，跟你兴的趣你和一开所立下始的向有志大的关系很。就说是，

始的时候你期开望能够做到什么。假如开始说的时你候本根想做一不个的科学好，那家 么

你就永也远可不做一能好个科的家学。从前有大位学老跟师我说讲：「如假不你买马，票

你永远也不中。了倒」不是说我鼓你们去买励马票，说是假如不你准备做的科好家，就 学

永也远不了做一个的科学家好。不是不是讲，你想过做一个的科学好，家就你以可个做

好科的学呢？当然不是家，你还要有很其它多因素在的面里，想第一点我是你要将人做目的

标先决定 。

在国外二十多年了我也教了，不少的生，学些在有世界算是很出上，但有些不是名太行 。从

这面来方，讲较比好学生的和不好的生我学可晓得以同不的验。经想我的学生好大部 份一

始就决定他开做要什到程度么的科家，从很学就早以看得可来出，因有为志向以后了，

才晓得怎么去用功、怎去么花时在间面上这看。来倒是老生常谈，因起你从小为、学中 学

大学，大概很多老师到都你跟同样讲意的，见可能你听多都觉得了有没么什意思，但是 事

实上这成是的功第一因素个。的一位老师我我讲，跟要你决定后以你想做么什，讲了，明 不

为是名就是为。利时当我惊讶，老师为什么很这一讲话。句们不能否我定大部份的想 法

不为是名就为利是，时同这个法想也动了推不少学科的究。不过我们研也得晓，单是名 为

为利不可能将学达科最到峰高的研究，我一们定

要对这个学有科厚浓兴的趣。们应当晓

我，得科做学我们有一个，很纯的正想，法就对是理的真追，在寻理真的背有后个一很漂 亮

的境在里界，我们到面一个了境界以，对我们后求追问的学来讲人是，法抗无的拒，算

是就没名有有没利，我们希也能够将望个这真理搞清楚。举来讲例，如你果欢喜棋下话，的

有你时会晓得到下一半时候的结，会局是怎，你非样为也名非为利，然当可讲说以你为 是

了好胜，但是时有候你总是追想求想，晓得怎解么决个这问。题科学上来讲我在要们求追

是比的这高个境界。我为什的讲为名么利这个为事呢？实例举来，讲我这们几在哈佛年大

学里了教几在大学个里念学念数很得的学生，好是可了到业毕时的候，我得他们明明晓 对

数学有大很兴的趣但，他们是选了完全取不的同径，他途们有些人愿宁选取做生或意是 到

行银里做面事我。不并对你反们做去生意、赚钱大我失望，缘的是因为这些故学生明明是 对做

问学趣兴别大，特是他们没但办法去有抗拒赚钱的引而诱放了继弃续学问的前做途，

些人甚至有过了年赚几钱了又想重，新做学再，但问问题无是你论资有质多，一好来般 讲你

将学做问机会的放弃以后，再想新重做起将遇会许到困难多并。是不不可能，说曾也有

这种形情生发，过但是真能正够达的情形到几，乎绝无是仅有做学，问是不能中断的我。 遇

见很过多朋友有些，至是甚很名的有学家，他们数有人会讲些我在一现方面行政做工的

，作方面可以一做问学，是可实事上这，是有办法可没以达到者两兼的顾情形我。们晓得

做问学几乎是心全意全工作的，对当明追寻证的候，很难说时受到它外其的打扰，仍界

够能达很高的到功成。以的我经验的来讲，想问题的时候在晚，上睡也在想这个问觉题，躺

在床上也在，早想上起第一件事床是想这个问就题。并不我是你讲也们这样子，我要是希

望你们遇在到一问个要题解的时候，你决全力以要，不赴能可在中慢间想慢点一而其它在

也可以花点夫，这样功精不神中集的态是度不可能好学问的。我想做对大家个做议，建 假如你想做

个正的真科好学的家，就不能话再够回往走假如你，想做生意，那脆干一开始就

不想要个这问题，不是并要做你个的好教员要就我照才讲的刚要，这花多么夫，倒功要

念是科学这好是很要重的，所以是这第点，一立志重很。要

第点我二要讲，的在国外我年，多遇见许多过很出名的学数，甚至许多有名的物理学家家 我也

过许见多在。认为我没并有一个是正真像的般报一纸上讲的是天才，在所

我所身认 亲

识大科学的，家是都过很大经努的力才能，够到达他达到的成就。我的所生问我学：为 「

什你做的比么我好」？，说我很单简我，比你用功。我在办公室是或家在里，我边天天在

问想题，你在外面们玩而，我了功夫花在决解了很久的想题问，总我比你不想不花、时间

成大就点。一你能可去个大科学家听大或数家演讲学，你觉得漂亮会不得了，得么怎个一

人能够得这么讲！这好个人是天才个！是可你没有有到，想他后面在备花了多准少间想时

这个问？题概你们听大最过出的科学名费因家曼《，费曼因物理注1》亮得不得漂了， 所

有出名的理学家都这物么，去讲的人听是不生，学都老是或物理学家师。因费在准备曼费

因 曼物理时的是候什事么不都做，就只有子在脑功夫，花天整在想个这题，问许多学生 跟不停

的在谈这问个。费因曼题个有名是天才的，可是他准这个备究也花了研许多不的功同

夫我想。多出名很科的家学在所表有出不同的现时，候你觉得他会是才，天实上他用在事

后面功的夫是很都不少的。

有

多许聪很明厉很的害人可是能究研甚生至是授，往往你教给他一问个，题他以可快很给 你一

答个案同，是很时不的错一个答。案可很多是这样色的学出生是教授或过，了很久

以，你后会总得觉他没有出做好很成的出绩来。题问，你是决解的题太问容了易；没再有花

很多神精去考虑个这题。问其在我尤们国人中最乏的缺就，在是做中学或是大学生的时 生

候没，有一将问题个头从尾到仔细考虑楚，并清没真有正全的部解，了这个是很重要的问

。题一从很个的小题问我们，可以引发很多不同且有意而的问思。题思要自考训己练， 不

是单在考或联在学大时的，候老出师个目题你，考了百一分就了完假，这如样话，的你很

容易 满足你就自，己不你得问觉有什题么意思。往往出的研名究在是平凡很问的里题， 面不

的停思所考找来出的很多，因为很快将问题人决解了便，不再想愿下去，所以能够不再

启发新东西的。学的研科，究不是解人决已家经得晓的题问当。一科个学问一家个的问 好

题时候的即，是成功的一。因为半学的科推动从不断是的寻找的新题问，新方的出向来的

解决从前，问的题是虽重要个推的方向动，可我是们要还找出新的方向而不，是解单决 从前的问

题。我知道们在理物上决问题的时候解往，大的或出名的公往式将是面前固的理定 论

推，而找翻出新路的。为什么大数子学或大家理物学家够做能这到地步个呢？因他们 为

不的问问断题。时候有一在人来讲很明显的问般

题，在名出的科家学看来起就，不得见 很

明显为什。不明么呢显因为我？们有同层不的次问要一路题虑下去考问问题的。力能一 是

很个要重训的，并练不是很花多功夫可就到做我，在想们我中的小学国中学、大学里都或 没有

好很做的到这点一我想，小应从该到这一做的点。

现在我们来数学跟看它物其、理化学或物等生验实学科有些不那同物理或？学等科化学 是

从般实验一现、界所找象的题目，最再后过实验经的实，才证能是个成算功的理。理论论

物理家学以可发展多很同不漂亮理的，但最论后假如不够能实验里做在出来话的对，理物

学家讲来是就篇一话废数学。家有好个。就是处说，们我了做问，一方学大面部是份从一 般

的科学里产面生给我们，一的方可面当作文学作品来以欣赏。们我取材多的多姿，一采

面方比较是本基的从，然界自物或理的基上粒本、子义相广论、对重力去拿场出很多本基

大自然的问题。的这面对近代几何方上的影响学很大另一，面方可从比较没么基那的本理

里发生论出来所谓。不基本，不是说并不重要。们我了解到要们有些问我是从工业题界来

，的譬如说做飞机做、螺，丝至做流体甚动变问的题，是都产生许多可有的趣几何题或问 是

学数题问例。说如机械人怎么去拿东手西这？都可看以做是本的几基问何，物理题学

不一家定兴趣有可，数是学家有很却大兴趣。另外的们也我以对与可实际问不相近题问题

产的生趣，我兴对们一个画得图不漂亮漂我，也们可在以数上研究。学何在数学几上取材 的

有三个同不向：第一是从方基本自界然产里生的题。从问本粒子、基重场到电磁力波基 本上

如产何生的种种重要几何问题从，表上面看不你出为来什么跟它几有何，但事关上实 近

代物理很将这种基多本论的场题变问几成问何题，微分对何几来有讲大很贡的献第二是。

才刚讲，所工界与古业典力学了出多很重很的要何问题几第。就三是粹从纯的观美点找来

问。举题例来讲，数论从面里了找许很多漂亮的题问，其尤近是十或二十来年，部份重大 要

的数问题大论多是几何用方法来解决的，的是这几何在数学三个上重要取的材方向。

我为什

讲么材的取题问？呢因很为多学生或大中学生念在几何或某是些学数课程的时， 候

认为们我那念学个科就念那学科就个够，而了不念其要它学的，问这个很错是的误念。

观因数学为里面一门每学问都的密切有联关，的不单数是，学实其所的理有论科中学都有间 很密切的关

系例如我们刚。所讲刚的，能物理高与数的关系学或是化学，甚至物生

都跟数

有很学的大关系，以我所怎想学么何呢？第一点是几你决当定要好一个做好的何几学家 时，你

定一要广的泛学同的学不问，础基要比广，如微较分方、代程、物数理学以及它其学 科，至

在少心理有个准备，上是就这些说学科将来对你是帮有的。助听起你会来得这觉是

困很难事情，的不你能可学会么多种这同不学的问这。主要分的别就你要是一个层有， 次你的专科是那一方面，就

要多学点一但，不可掉其它的忘学。科时有在个意义下某我们，

以很可惊讶看的到一同学问个、一个命题，在两个不同同的学科面，里以可不以的同法 方

出现，是说以不同的方就证法明我。主要的想原因根是上本两个学科的分这并不是很别大

。 在几十年有个前名出物理学家说数学有不的可议思力的。量什么为学能数在物理上有够

这 大的么影响？因为呢从理学家的物法看，数学家祇在是一玩些单简的号符纯，粹是在家

想里一自些的问题己，与自界然的关系象不好，其大实是这个误错想的。我们法数家学研

的究问题是很体的，只具有不是同层的次，以所有不同而点。举例已说我们研究来微几 分

上何个最简一单的形图圆-，球这球圆可以是一个抽象的说念，观们我可以也它是说然自 界很

具体一的部份。也是就我们说将研所究的圆球视自为然的界一部份其，实物理的跟 现象

差了太远的。尤其不在代现的高物能理里，我们究研基粒本子尤其到，量子力学了的观 念以后，

因为量能经到了已很的地高，所步有很以多根没有办本法做验实所以，基上也 本

在家里或是课堂里或办公里室纸笔用算，来跟数这学想家的差象不了太。假远如理学家

物可以这做么，表数学示也家够能坐家在里而对自面界然达到某种度程的了解

。为什

么要我这些呢讲这？与微分几些有什何关系么呢我要讲的？是在选你的题候，时我们 虽

然有自个由对于度选与题自界然关，但是我们无有也一个度在限面里假如我，们的问 选题

现与实差相远太最，我们的命题后会被淘汰。掉历在上出现史多很不的同研，过了究

十年、二十后年完就被全汰的淘。你看在的图书现里馆面有多的许文章现，不过出过再十个

年 八以后，我想年大份的文部是章被会汰淘的，掉本在整个根数学历上起史了不何任用作

。 是因为很多这文章实的在没解决问有题其次是对我，研究的对象没有产生们何任效。果

所以虽然们我数学界不用间时做证来，明是可我们某种程度的测试有。般来一，讲的很证

的好数，学二十或年五十内年可都以到它在现实看里出现帮助我。们晓在这得个十二年

来以

，从许多前重要不问题的在今，的工日上程发生大很的响影。例来讲，举从前在论数 里

于质对的搜查数这个问，这完题全一是个无聊命题。的是说就一个大的数，你怎很将它 么

子分因解很快得。十近年来多在，防国科上这学问变成一个重题的命题要有许，多防国科

学在做这方面的家究研所，以说数上学选题很重的。为什么要因子解很重分要呢？表面 上

来看真正跟的用途好象有什么没联，可是关它是个很自然的问题一，个很大一的数它怎

整分解，么很快地表，面并不上要，重但以可助我们帮解质了的数布情形分，所以说选我题

是一个 重要的很问。题记得从前我们在做我学生的时大候花，很多了夫功去念一些章与文

参书，考有对数学些讲来是无意义很，的是可过来说因反花为很多功了夫，以可以了解 所

到有问题比较些重要，有问些比较题不重要，以花所的夫并功没白有费 。

其

我们次讲一做学个应生是该怎一么看法。个对做数于学做或微分几来讲何我，得研觉究

气氛很的紧要，尤在其中的环国境，里象好是不容太培易养这出种气来。假如氛旁你的 边

友或朋同跟你谈学的都其它的问题，是如譬说股票涨或跌了了或它其题问，久而之，久 你

概大对做于学问也有很没的大趣兴所，培养以学问做的度态与你交朋友的、的老跟师关

的系大很。果你如时常讨们学术论上的题，你问不会就得觉自很己孤单，够能励你对激数学

上更有大兴趣。假如你自的暴自弃，就是说认为自你不能够在己学上数研究做不能够在，

数学上 达到贡献话的，你永远也不达到而，同且也影时到你响边旁朋友，使得大家的都不

能向走。我前们得许多出名的晓数学家甚在牢至里可也以一写些出名文章的倒，不你永 是远

关牢里在能就做的好文，章是人在最困说的时候难也以可研究。除做了气氛重很外，要 你

需也要到先进的得持，从前支们念中学我时的候念，很多了关做于问学的法方从前， 觉

很好笑，得以后书念得念多以了后觉就得些这重要很事实上，这些很是要重经验。的句

有话说学而不思则罔，「思而不学怠」则你，是学而不单是想不的，你行单想而不学也是是

不行的， 两这句看起话来很简单，实就其怎么是配分你的习学思想，跟这一是很个微很妙 重

要问题的一。人个论无多用功多你天才你假，不将如前人过做的西去体东去验习学是， 不

能做可的。这道理很简单，好个人一智能的有限，们不我能可前面十与、五年所有年 人做过

加起来的智能相的，我们要比靠人的前验经，要他们的启发靠才，能向前迈进够， 虽然

有人自的夸讲

比他加起来都行们，我不信这种情相，形也见过没种情形这。以所名出 的贡

如献因爱坦、斯牛的贡献顿，是在前也的成人果面方再向前走大步或一一小。所步学

是以一要定的，可如果你学过这是东个西后而以不思去考，去消不化，算就可你以第一考 ，

考百分一但，你是不想是对绝有没的。用我们过看多出名很的天，才二十岁拿就学士到学 位，甚

至拿很了分高，是往往我可们不看出以他的后就成为。么很什多谓的所才天在以后

科的发展学没有任何里的贡？这是因献他为们有没考思没有，思在科考学完上不全会起 引

任的波何、澜任的贡献何，于整对个科完全学有好处。所没学以了以一后定思考，怎么 要分

你的配习跟学考思就往往有导要师的帮或忙同学的是忙帮所谓的。忙并不是帮老说跟

师讲你你应这当做么应当或怎做么这样往，是往有很大没效的，所果我刚以讲的刚氛气重 很

。要从人家功用的程度或是话讲态度的启的发或，讲是的时候话能够听去追根，出么东 什西

，从它而来得很到大帮助的从前。我柏克莱去到念研所究时，我花很了功夫多去听很多

不的科同，有些目人得很奇觉，怪为么什我去听会那课？我些得这觉些课我有对处好，过

几了年后十还我是觉得有处好。有些课在我去的听时可当能不懂，可听了是还觉是得有好 处

，因一个为人的脑的想法袋不并是那么单的简有，时某候些东当时西能可不，懂可慢 是

慢就的能领悟多东很西。我举来讲，例我做博士文的时论，候刚我要好到用群论东西，的 当时

问我许多过专家，但都不是，懂突我想到从然前某一在上听课过一有个关这方的面论

文我忘，当时了什讲课，但我记么大得在那里可概找这以面方的文，所以章花我了2天 的时

在间书馆，图果结我找给差不到是多所我要文章。假如当初的不听这门课的话去，完

全我没有这个会，所以有机候时一听不门的课，有懂多很同不的助帮，以很多研究生所跟我

他们讲，们你听课去一不定要，你懂在那边坐比总不在坐边好那你，坐在那不的话，你边

完全不能知道有可其它的方法 。

我想最

后还你对是整学个问多大有趣的兴题，问假如对你个学问兴趣这大的话，不没你办 法长年

累的坐月在书图，馆在办坐厅公，或是坐里一在个课上堂听课所以你，一要定先决 定

你对这学的问趣兴多大，有然当做研究还有许多其它面比较复杂方原的因以后有机，会

我们再讲去下我。现在想们你在学的大段，最阶要的是决紧以后定要做你什东西么，其它

的可 能容易就做到了。

研我究数的经验—学丘桐在成台湾交

通大学讲演

今天林

山叫松讲关于我用数学应问的题，想一我想讲做学，的经验问也。好为因来台我湾也差多不五年了我，想很多究人员研做究的方法并研不见是最好，尤得其是我觉很得年轻人员多什么在为外能国念的好？这够很值得思是的考。 以，所我想讲我讲己自经的，或验我对数是学看的法，让大家参考下。一

我想第一是最重要讲的当是要有然忱热，最主的就是要求真精的神，始终是要养培的。们我学做问是为了求真无论是对，然界自了解或的从是学数面来方，讲们我不有同的观，念是可真美就跟学来讲数最是重要。的求追真美跟的热忱很要，重因为们整我做学个的问路要上到很多碰不同困难的，假我们如有热没忱话的就，没办法继续下有去。以所追求问的学最高崇目标，过无真跟于美追，的求标无目，热误才情不会熄减我。们想办法非培养自对己求学问的追热忱不。可天几我去看在父亲的我遗作，中其有屈原：

漫路漫其远修兮，将上余下而求索 。

做问的路学长很很，远我们定一看得很远要，因我此们上要下求去，要想尽索办法去真。怎么去找求真跟美能，始够终不断的持下去，坚是成功的这一很个重要素，因果如有没忱的热话就永，远达到不做学大问的步。地我再们举一个国的外子例，在一有个组织系的里，我们统竞争的厉很害，尤在其物理面方或其它验科学实方的研面究，是分真必秒；争有一题个目刚出来的好候，大时晓得其他人也会家做这问题个，很p多so dotcor t者或f是cuatly聚在 起一往工作往到深，夜甚至个整上晚睡不觉。上面这当然一个有争竞性在面，里是就望希到一达目标个比人，快家了点；可一另是方一面也是为因求真的热很忱大刺，着激们使我们我不肯放松否。则的话，多有t很nueer 的fcauly，t有没要必这样拼命，可是很多afultc 还y愿意是这子样，我作热忱想重要很我。们要得，晓研究的作是很路远的，我们要在中低潮的间时还候能坚持够做下。去很多研作的究人他往往觉得若不在中心，地的，方他敢不去。有做人去到过些最好地方的他，不敢去碰难的题也目这有很。多不同的因，等原下我们再慢慢一谈，可是个一要最的我紧想是基本功夫的要好。基本功做夫做没往好往出会上现述题。中学问时候，的学大时候或的在者究院作研研生的究时，很多基本功夫候都要培养，很多生在学年的时轻不候将本功夫基好，做以做后究研就很力吃。

交通

大着学应用数学重，是我们可晓得应用数主学要的工是具纯数学来的；很多从的学人生为认然既是应用数学就不用纯数学学或是者应用理物就必学基不本物的

理，这是很大错的。很误基多本功的夫非在作生的学时学不候，为可么什呢我？们做要习题，且要并量的去做大这是学，习基本夫功必要过程。我的想很多现在了毕拿了博士业学位的看人一本书的时候再不去习做。遇题一些到比复杂较算计的候往时往不愿意，去是可多很本基的法想就是从计要算里领面会来的得。我所们的命题做，后最时候的可能下很留简单很漂亮的结果可，中是往间要往大量的花算我计才们晓这结得是怎么得到果的。做的研好不究一朝一是得来的，往夕做往一了百次九十，九是次错，的后最次一成功是。但的成的功时候我只，跟你成功讲结的，果不跟会你九讲十次九失的经败验。误错的验往经往是好很笑，因的为经常犯很显的明错，要误做完在时候的知才。道是可讲当给家听的时人候很少会人跟讲错误家的那分，部实做错其的误果让结你睛明亮，眼它你忙帮，你向前走让其实你能。做的结果，错已是经不错很的，了为很因多初学人连怎么的去进做这个题目都不够做到。譬能如来讲你，给一我个学化上问题，我从的么地方开始做我都不什晓，因为我没有这基得的本夫功我，根不本得要晓什从地方么始。开

一

个的好数家学少要能够至握两掌以门很基上的功夫本。本功夫不是一朝基一夕学来的。如譬，讲有数代的方、有法析的分法、方几有的何方等法种不同种的法方我们，中在学时的候就始学开有些人。欢喜，觉几代得数有没么意什不思学，想或者学代是数的人不想几何学，种各想法有，都是最后我们可发真现的研做的时究全部都候要用。有人说我只做一到个特殊的目就题远只去做这方面永的目题结果，连方这的问题也不见面做得得。因好为学数发展是不的地停在改，不断变在改地变自。界然能提够给供我们的问题，会因为不是几你学家何继就不续断的提供何方面几问的，题而往往是与几何结在一合的问起题。到了目题来的候时要，用其它到具，工我没办法去解了，就我其他比人亏吃了。

例如，

很要重的一门"群示理表"，一般论讲来多地很不方这教门课可，是在用科应或学者理论科要用学到，群表"示论"理在理物要也用到有。些好的学数家可以技很巧地运"群用示理表论分析很多问"。题我们能没有可这办法些这就是因，为们基我本夫没功有好的缘故做我想"。表群理示"论概大是进了研究院者或学后半期大的时候的。学国数学家在中方面这的训练不，因够不如此外学国，者见有可基本些科学一要定好，同时学很早就要。学们学我学数不的单要学是数学的上基本夫功在物，上理的本基夫也要功学，这是大学时在就要学

的。学力、电磁我学们要都一有的了定解，因物理为跟数学这几十年来的展发越越来近接很多，题是从物问上理提的。供我们假如对些基这的观念本完不认得的话，全我们看到目就题比上不其懂他得这方的数学家，能面很够的快融会通贯到。这个年代，很了多数的学的题问往是往其从的学问如理他论理物应、用数学其它或的科学里的来，他甚们提供至ituntioni方和。法我想了们很久的一问题，些往往因此得到了决解，假我使从们都来接不其他科学的触话，就全落完伍了 。

举例个子讲来，数代几学何家二十这年已来有远长的展发可是到了。几这来年用典的方古法或纤者维丛的方法都没有办法，决解问题，结果从的论理物理助帮我看们到前看不到的以能可由于。身本知的识局，很多代限数几学家遇何到个困这的难时候有没法办受这接些专家的看法，遇到论理物就理不去碰敢它可是物。提理了，解供了决们基本我问的方题，向数代何几又觉得很学为难， 情因为他没有办法去们解，了所这是以个很困扰的问题一.假使你不肯学物理学上的 本基夫功，你很难接受这个新的就挑战记得。看我一过本,书 序里讲作言者感谢很代学数家lbAer，他t为什感么他激呢？他Al说bet教r代数，我使我坐得下来时候的看代，问数不会恐题慌，我能使够坐来下好地对好代数上待问的。题就讲我是们基本功能夫能做不到如此我坐下来，，到几看问题或何用应数学问题，的不可以可下坐来就个办想法来付对，我想这是他重要很我。们往看往问到题，坐下的时来候恐，的慌不得怎晓办，因么就算此了我，想家都有这个大经。验你做基功夫本定一要到做看一你题个，目明是un明know、 unsnovedl的题问，还是你以可坐来，然下后花工去解夫决它。即使不你够解决能，可它你是至少得晓怎去想样法办，同不会恐时慌、放弃我想这，最是要重。往往我们因的为基功本夫做好没当一，深的个目或看题出法的现时候我们就拒绝去接受，，认为这些目不重要，题是去这释解自己为什么不能够去某一个做题的时问最自候的方法然训。练基本功夫要在研生究大学生或、学生的中。时本功基怎夫样好学？有时看呢本一完了就书放在一，边看了两三本书、后就以为懂了其实，看单书不是够，最要的是重习做题，为因只在做有习题的工里面夫才能你晓什么得命题你懂，也不解理到人古到遇困难的在里。习题不单那在课本里，在找上和课听s menari也可以时。找我们多学很生上课的候时愿意不写去记，笔不作记笔话根的本可不去能任何念学科。其尤有是时候演的讲人讲的题是目根不在本本书的里或者是还，

没有发的。我表常得很觉奇,为怪么什学生去不作记，他笔认他为懂，了实明明其懂不。因可能连讲为课的人己都自没还懂搞，可听讲的是人愿意不作去记，也笔会去不跟讲演人的，也谈不会去其跟老师讨他。论往你花了一往钟头在个那边，听听完了以后全部就掉忘了因。为你有一没写个下的记可以温笔习怎么，可能忘不掉？一另个训基本练功就夫要是出找自己不最行的地方在里。哪我们来看"群示理论"的时候，表们有我一套理论。单大看理论不够的，是应在时用往往知道群表示要怎分么解，的不能你将它够写下来理论则对一你好处点没都有又。如例一方个式程的估问题计你有，有办没法解了中其方的，法全靠就你际实计算经，验光不念一两书本足就够。的

例举说，来的儿子最我刚近学式分因解这问个，老师题他教一大怎么堆解分整方程的数问。他题了。也学学得好，很也了学怎么根的方法找可。有一次是试考是他不知怎么道因式解？分我跟他说你，明明晓怎么找根得为什，么能够不式因分？主解要他是的时候没学想到找跟根因分解是式一件事情同。问题在就于练基本训功夫的时，要候想去清楚数学题间命关系，的解了楚清为什要解么这些命。题我去看很多们人以写人前的，事了很多很写漂亮介的和绍评批可是。自你没有己经过这一历条路的，话事实上很你难解困难在了什么方地，为么什人会家这样子想。得到要这经个验，不要单习做，还题做比较要难困的习。做困题难习题有什的么好处？困难呢习题的往是几往个比较基本的问的题合组。

我自己看书的时候常，常会一本一书子就下看完了，觉得高兴，很为因完了看；可重是新看，再反什么都而不懂。我想大家都这有个经验，要主原的因什么呢？是们没有学好我学科，做比这较困的题难目的候时你就会，发会遇到觉困。难其尤我是做们一题些目时的候往，往觉得似是而就，在脑子里非想面，为以经已懂了、以可决了解就、厢一情的很快愿的决解，它快很看的完一本那，事书实这是欺上骗己，自也是训练不基本夫功的。方一好个的题，你目应当坐来用下笔下写一步来一地步，结想你果会现发多基本的很步骤你本根有弄没楚。清当弄你楚的时清，你候去你以看前需的定要在那里理怎、证么的我、你会慢慢了解整个学想问精的义在里哪所。说，以笔去做题目动是很要的重，们做我大生的学候还愿意做时这事，个往做研往生究时的，候以就为了起不，业毕以后不用更，不会讲手动去写。

一题目在那个里我，很了不起地们为以自懂了己，些有是明很，但显有是似是而非，好些像差

不多了，实事上不是里，有很面多巧妙里在。我面一定要动手们做，去当在一你课里面门基，本夫搞得很功楚以清，后就发现书你面很多里是的错 。在现书发里本错的时误，你的本功基也夫错了。不们这我个时代学的生看课不书，连外身的教本书科也不，看使人失望。做很究大家研晓自，己去找自己要的。单思上课单听，听听以后完不书，做几个看题习就了算，么用都怎做好。不因你没有想为己自思路的怎样要子走我做。大生学刚开始第一半的年时候，因刚开为将数始学严化格我觉，得很兴高。因从为个lo整igc看去可，一点一点以地推，导前从些几何或有分上的析题，问觉我可得慢慢将它连起来以我，得很高觉兴我讲这。个情事什是原么呢？我因得觉现很在大学多生或研生对于宏观究数学看法并不的热情就。课想本有题上目拿来，能够做它，完你觉就很得高兴。没你整有体地去想个整学、或数整个者几、或者整个代何数我们，须要究研是的什么事？情们须要我求的追是么对象什我想？去考这些虑情其事实不并会花你太多时，间可是要你一个有体性的想法。整体性的想法整非要是有本功基夫可，不就算很琐碎事情你都要的得以晓，后才能对整个学科一个有本的基法看、一大范个的围看法。

现在

谈谈我个的经人验我，记我念得学中时的我学了平候面几。大何家晓得都面几平何很亮，我漂得很有觉意思。本上的书平面何的问几大题我概都得怎么做懂。可我觉是还得是不够，所太以将很多我基本问的连在题一起，后开始之慢慢。想去发一现书些没本的问题有，想书本去的方法能有什够么用处，不是大部是分平面何几上的题都问以解决？我想可找一命些题这是方些法有没办法决解的。我记得我初中的时候过想一问个题我发觉没，办有法解去决花了很多工。夫去想，了很多课外的书来看帮忙最，很高后地找到一兴个书讲本个问那不题能可用圆和直规来尺解，决以可代数用方法来证的明。为因过很多不经同想的，有半年的法工，夫完不全得圆规和直晓解决不了尺个这题，因问此看到人家将个这问题解释清，楚就得很高兴觉那时候；中是学生没有了，Ga解lios理所以，还不太搞是楚是清么证怎的明。是我可至少晓得有问题不能用是圆规直尺解和的决。因也经过很为长思的，考以我所始对这开问类的题解清楚得多了。开也始欣到做数赏的精学。我想义我做们个习题一或研究，们最好我花些工去想夫着想整问题的个龙来去，脉也看一多些参考书，这你对的帮很大。助因为数无非学是多方法很在一起解决放多不很同的题问。这是个工具，一我们解一了

下这个整法的方局，对基限本夫有功很的大帮忙。基功夫是本个工一具不是，一终点个是一个起步，。本基夫功搞清楚没的话，没办法有讲去个学某好问某个，问不好学。

记得前从香在港大学念时候的当时的，环比境现在差得很多，书馆图本没有什根么，也没有书什么好很导的师但，还是是了很多课外书，也看了看多文章。但很现看来在浪了费多很精，这是力界眼浅，太坐井观，不知数学天的发与展方向缘故的。以后到我berkleye也，看很多了文，章得益多。良一面方地当书馆收藏图丰，富一面方良益师的友交，往中开始心立对数建的看法。学中学的时我，候老师跟们我：讲好书要看，不好的书也的看要。学数里面不好的书也我，看可你奇能怪什么为好的书不我看；我也是得觉样子这你，定一要晓得么是什好的，什书么不好是书的所以你，看文章时的，一候定要搞楚清个作者写文章并这见不是了得起不。些有者作你晓，得他著作是的不起了的可以多看可，从是好不文章的里，你也可面以看许多现到代发展。因的为时有候从，简单的写法里，面反而你得比看容易一较点可，是一你定要得晓里面所讲他的题命并见得不是意思有，的一定要你过你经自大己去搞清脑。可楚他里是面组织往的往是的有普，通水的平章文面里往会往引有名的出章，也会介绍出文名的有章文面讲些里什么事，同时情往会往写比的较容看一易点。为因它水平比的低较，可以它学一些大学家数文的，章你了以看后很快，就得怎么晓进出同不的地，可以和好方文章的较比。这是我自己的验经，不你一定要样子做。这我建的议是部份的时间看大数学大家的作品，部小份时间览一浏般品，作并比做较。我当研究的生时，有时候候早从晚到都在图馆里面书期看、看书刊。当时因为B在rkeely没e研究有室研究，生没有研室很究好整天在，书馆图里面。坐乎几主要刊期文的章都看过我，看过不并表示细的看仔但，至少些有要的定理主看过都当。大部分都看不时看不。没有懂什么关。往系你往花很多工夫要才够能细节的在部搞份楚清一好篇的文。因章你为一第眼得懂看的章并不见得文太好并不。是讲一定好，简不单文章有时也的有创见，多文章让看你晓得时的人当于哪一对方个的向问有兴趣题对你有很大的，助。帮有很多学生来跑问我问，我题他讲某某跟有谁年做过、到做么什阶，段他听们很惊了讶为，什我么得晓没？谁讲给我有，听是自我己文章上看到在。这很重要，为你做研究的因时，你要候晓什么得做、人过哪解问些题对你的帮，很大助因。往为做研往的时候，你究要须晓得

得只是做过谁在、么什方可地以找到个这面方文的，你以献为有了这个帮助以后，可你以跑回去找个这文。件至甚只你晓得要那年代谁一碰这过个问题，你也有很大的好对处。有很多名家的章往往文人比家快做步，就一是因他晓得谁做为这过事情件他可以，去找方面的这文，或者去找某个数学家帮章忙，则的否话做数，的学有几万十，你根人本不得晓谁做过个这面的方题，问没谁有做。所以过这方面在多学些人家做过的一问，题无出名论的章文也好差，文的章好也都看，一。我当看是建然你多议一些出名的看文章，因为的差文等章是消遣性，于武侠小说看样一看完，放在就边。一有追求你的情以后，热慢地慢在将同不看的放在一起。法到了这第一步以后个，觉得你可以开我始自己的题找。目为因你始开晓得个数整界学主要在看么什题。一个问好数学家的怎么自找的问题己很重要是的。然当有同不的法找，些人有发展要套一理论有，些人解要难题，决论理目的最后标还是解要决题的问，以解所重决问要题发是展般理一论一个中很重的一环要。

举例来说，像oPinacer Conectjrue，它三是维扑中最拓要的主想猜我们，得晓前花了人很多血心解决去，到它了现有在多不很的尝试同法方，自各一个气成候。个命这题经变已一门学科而成不再是个独一立的题问。是三维空间的结构问这题需要，彻解底此决猜想算圆才满另。方一面些人为什么对有PionarecC ojectnue r有趣兴，对其他题兴问趣不，大是因为它那公是认的题。难我想选方题面个人有不每同看的法我。有很朋多是友很名出的数学家，们只想解决他出的问题，名认为我这是误错的题选法。方在数学上我们应该，整有个有系的统想的，法整想数学目的在那个里，当解应什么样的决问题 。

你们可都能过念国王维的讲大做学问三个的段阶，一阶第段是殊晏的说 "昨夜西风凋碧，独树上西楼望，天尽涯。"路 这王国是维做讲大学问第的个一阶段要，解这释一段话，要再说我明基本功的夫重性。如果基本功夫要没做好有，根你本望远。你叫不中生学去尽望涯天，根路本是不能的可事最，后一讲空些谈。对的数学或者学上科历史不的了解话，的根本没有你资去格谈后的以事。是叫你不全去了解，至少部一定的了有。解在现多学很，生其是研尤究生我觉，得较比头，痛教他做个一题小， 目了以做后，一辈子愿不意。不停放的小文章写写，了章当然文可以发表，某对些年人轻来说讲，他认为样子很这，好不重要的问想题今，天够能写一小文章，明篇天能写一够篇小文，就章以可级，假如不写出升的来话生

，活上会到困受。挠都是这对，的可是真的要做你一好的个目题其实，也见不那得难。么些一究生的研论是历文上史有名著作。为什么他们能够的花、四三年工的，做夫出这么出的工作色他们？从不懂到是懂然，后要再向前进还表示真。要做好的的目，并不是像你题象要花很想多很的多间时才够能到做，问是题的你决心怎是么样昨。西夜凋风碧树就是说，要望你很远话，的要将前小面的树去，才能掉的看。远如假我们眼界面看的都里是题目，永小都看不远。我们要远懂得么怎弃放渣些，滓才能做够些一好的题，目我这是一个很重要想的事请你不。愿意放你弃明明晓不得有前途的会题，就问远做不永好到的问。题是一这个困难选择的因，为觉得毕你业升、级问题，而的愿不放你明明晓弃不会得前有的途问，题你永那远会成不一个就学问大的我记。得我学几刚何学时的，当时流候行的量度几，所有何具都工三角是较比理来的定我，终觉得始几对何刻画不的够深，后来刻和我的朋我和友学开生始系列一用微分方到做程具工的几何研，究我也庆幸当很愿意时放弃一些小的成，走一条自果己路。的们选题的我候时可，跟以出的名数学、家跟导师或是者从上去书，看是可最后的思一考定要有自己的想法才能做大成问。学为因你己自有你自没己想法的你始，跟终着家人，是走没有办做法好学问。可你是可能没有资做这一格事件情，为你因对这一门学问于还不懂。我开始讲了一大一堆就，是因为我希望们你去想想一本功基要做夫好要，对你这门一问学的不里命题同晓要得就。你去像货买你要，得晓货公司百面有里可出能现什东西么你才，去挑 。

王国维

谈学问的二第段阶柳是的永诗"：带衣宽终渐悔，不伊为消得憔人悴。寻找"真理热情就的如年的恋人对轻己的自对象追慕的那，很重是的事要在。追求个一的好命的时，中间题花要很工夫，多时候甚有是很至苦痛。可的我们只是晓得要，后的成果最是值得，我的就会们很花工多夫去，就像爱做情样一。很多轻人年对象时，朝思暮找想，当做问学却有这没态种。度如你假做学问对没热有情有没持久的话力，就你不可做能大学问成其。屈实原说亦余心"所善之兮虽，九其尤未死。悔"比柳永更得来彻底。接下来着家大都得晓王国的维第三段阶： 是"梦寻里他百千度，然回蓦首，人却在灯那阑珊火。"当然这处辛弃疾的诗是不，是讲的我可，基本是上们都有这我感种。你觉的做过真一个的好章的文候，就时有种感觉这我。花很们多工做夫一好的命题，个想法有时的，候考虑这你想个法不对对时候晚上有睡，不想

得很苦辛。时有候的辛想苦，了就睡睡一久，很假你如学做问到这个做地步，你会决很多意解不到的想问。我想题有人没特别是明，可聪你是了很花多工夫能，够进交入通或华大清学，应资当都不会太。质我你花了想么多工那进研夫院，究定希一有一望成果些。们我学做跟问爱情太不，同有候不一定看时到一个目标而，看是到它。就像其我才刚讲的我们，要决Po解inarecc onecjute，r后最还没决解它可，解决了是其它的命题，这是数学历上史常常有的。一个人每都这有个验经，明明你解决这个要题问，果结发现决解了其的它题问。这因为是我们这个题做的目候，不时得晓走法对不，可对是你将个工具全这搞部好后，以本的想基、有意思法想法你的自己得晓以后就，以可解很多问决了题在。这路个走上时候，思想的要太顽不固。要知你道还其有有他意的思问。就是题发展你了一想套以法，后往往有其的问它你题好可刚解决以。是可因此你也要晓，你得在个整做研究过程的里，面你眼要睛睁，眼开睛么怎睁呢开？多很生不学意去听愿collouqium也不愿，去意听其他的人seminra。不听s minear不就得晓人在家做么什东。明明西的方你可法解决以他们在的做题，问但你睛眼闭来起、不看，到是这一很个的大困难。

很多 生学其是中国尤生学，讲的我论是做这个，文这个esminr与a我论的文无关我，愿不去意、不愿意听去看、不愿去意人家跟来、往不意去跟人愿家。结谈果你做论的可能不是你文能决的问题解，能可你的方法好刚可解决人家以的问题因为你。愿不意去听、去看你，解决就了问题。一不个的人思有维限能力、有限，不可能你靠人不家帮忙。的么是什人家的忙帮呢一方面？看是章文听se，imanr一，方就是请面名家。你教自去己教请别的时候，百分之九人五人家十晓得不在做你么什，不可能提供你直也接意的见。如能假直够接提供你意见帮你直接地解决，问题的话，你个这题不见问是很得重的问题。要见你刚可开没有始清搞这楚问题有多个要重。不但紧要多请教。人总别是好有，至处晓得这个问少有题好多还是，好不。假如怕你发问就在，esinmra或ocloqluumi的时候要听多，听多对你的处好多不得了得你在s。minae里r面算听就懂不话的至，你在少他写的看两头个字，你就晓得最人近在家什做事么情。你能觉可莫名其得，可妙是事上你实可以得到处好这，是很紧要。的以能所有够会机量去尽听不的同对，是你很有大的处好念；数学纯的也应当去应听用数学物或方理的面课。 听esiman时，即r使relx一天，也没a什有关系，反正么比总在里家面无聊看电或视。好怎

么在一孤立的地个，方也够能做个一好学的。 问

举我个子例讲来十，年前四复，大学旦一位学生有，他要来我跟，答应我了他。收结果因当时复为大学的校旦怕留学长生全走部掉了，以所准他不国，因出他没此办法有来我跟。是他将我但8年写0的题集，问概有大一百的样子，选了题中其一的个题去目做拼，的命在做。我不晓他拼命的得在做这一个目题，然虽他在个比较孤立的地方一可，是十年来多只这做个一目，最题去年后出很重做的要果结。我觉得很兴，因高这一为题个是目个一不很简单问题的。可你只见要对找了题，同目时你命拼的花工夫做，去就算你跟人不来家的话往也不，见得做出不来。当然我不道知是他不是完全不人跟来家，往为复旦大学里面因有一也很不错的些数家。学我不想能可全都部不跟人家来往可是。交大、在清这华地些方是不能讲是全孤立的地方。部在这个条之件我觉，绝对得是可做以的好学，问要只们我将整思路搞清个楚、整问题个搞楚清。

今天讲主的是要觉得我来了五年，我想讲一我讲书念经验的希，你能够参考，我是望样子这做的法。可不见是得每个一都人有要样子的做法这因，为每一个学数家有都学问对同的看法。不可你追随不同的以路，是我想最开可始讲的基所工夫本要做，是永好远不掉少。的后然尽量去要发自己的领开域题目，一定做重要要。的来真后的得到的可能做是较小比的果。结是可比总开一只始做想重不要的题来得好目。到解决整个了主的问题以后，要的你法或对看整于学个问看法又不同的，会有你不的同想。法天今就讲到里，谢这谢家大.