4.2.2 热力学第一定律对理想气体的应用
§2.2 热力学第一定律对理想气体的应用
2.2.1、等容过程 P =T 气体等容变化时,有恒量,而且外界对气体做功W =-p ∆V =0。根据
热力学第一定律有△E=Q。在等容过程中,气体吸收的热量全部用于增加内能,温度升高;反之,气体放出的热量是以减小内能为代价的,温度降低。
Q =∆E =n ⋅C V ∆T =
C V =(i ⋅V ⋅∆p 2 式中 Q ∆E i ) v ==⋅R ∆T ∆T 2。
2.2.1、等压过程
V =T 气体在等压过程中,有恒量,如容器中的活塞在大气环境中无摩擦地自
由移动。
根据热力学第一定律可知:气体等压膨胀时,从外界吸收的热量Q ,一部分用来增加内能,温度升高,另一部分用于对外作功;气体等压压缩时,外界对气体做的功和气体温度降低所减少的内能,都转化为向外放出的热量。且有
W =-p ∆V =-nR ∆T
Q =nC p ∆T
∆E =nC v ∆T =i ⋅p ∆V 2
定压摩尔热容量C p 与定容摩尔热容量C V 的关系有C p =C v +R 。该式表明:1mol 理想气体等压升高1K 比等容升高1k 要多吸热8.31J ,这是因为1mol 理想气体等压膨胀温度升高1K 时要对外做功8.31J 的缘故。
2.2.3、等温过程
气体在等温过程中,有pV =恒量。例如,气体在恒温装置内或者与大热源想
接触时所发生的变化。
理想气体的内能只与温度有关,所以理想气体在等温过程中内能不变,即△E =0,因此有Q=-W。即气体作等温膨胀,压强减小,吸收的热量完全用来对外界做功;气体作等温压缩,压强增大,外界的对气体所做的功全部转化为对外放出的热量。
2.2.4、绝热过程
气体始终不与外界交换热量的过程称之为绝热过程,即Q=0。例如用隔热良好的材料把容器包起来,或者由于过程进行得很快来不及和外界发生热交换,这些都可视作绝热过程。
pV =T 理想气体发生绝热变化时,p 、V 、T 三量会同时发生变化,仍遵循恒
量。根据热力学第一定律,因Q=0,有
W =∆E =nC v ∆T =i (p 2V 2-p 1V 1) 2
这表明气体被绝热压缩时,外界所作的功全部用来增加气体内能,体积变小、温度升高、压强增大;气体绝热膨胀时,气体对外做功是以减小内能为代价的,此时体积变大、温度降低、压强减小。气体绝热膨胀降温是液化气体获得低温的重要方法。
例:0.020kg 的氦气温度由17℃升高到27℃。若在升温过程中,①体积保持不变,②压强保持不变;③不与外界交换热量。试分别求出气体内能的增量,吸收的热量,外界对气体做的功。
气体的内能是个状态量,且仅是温度的函数。在上述三个过程中气体内能的增量是相同的且均为:
∆E =nC v ∆T =5⨯1. 5⨯8. 31⨯10=623J
① 等容过程中 W =0,Q =∆E =623J
② 在等压过程中 Q =nC P ∆T =n (C V +R ) ∆T
=5⨯2. 5⨯8. 31⨯10=1. 039⨯103J
W =∆E -Q =-416J
③ 在绝热过程中 Q =0,W =∆E =623J
1mol 温度为27℃的氦气,以100m ⋅s 的定向速度注入体积为15L 的真空容器中,容器四周绝热。求平衡后的气体压强。
平衡后的气体压强包括两部分:其一是温度27℃,体积15L 的2mol 氦气的压强p 0;其二是定向运动转向为热运动使气体温度升高△T 所导致的附加压强△-1p 。即有
p =p 0+∆p =n ⋅R R ∆T T 0+n ⋅V V
氦气定向运动的动能完全转化为气体内能的增量:
13mv 2=n ⋅R ∆T 22 RT 0v 2
p =n ⋅+M 535=(3. 3⨯10+1. 7⨯10) P ≈3. 3⨯10P a V 3V a ∴
2.2.5、其他过程
理想气体的其他过程,可以灵活地运用下列关系处理问题。
气态方程: pV =n R T
热力学第一定律: ∆E =W +Q =nC V ⋅∆T
功:W=±(ρ-V 图中过程曲线下面积)
过程方程:由过程曲线的几何关系找出过程的P ~V 关系式。若某理想气体经历V-T 图中的双曲线过程,其过程方程为:
2pV =C VT=C 或者
2.2.6、绝热过程的方程
绝热过程的状态方程是
u u P 1V 1=P V 2 其中 u =C p /C v
2.2.7、循环过程
系统由某一状态出发,经历一系列过程又回到原来状态的过程,称为循环过程。热机循环过程在P-V 图上是一根顺时针绕向的闭合曲线(如图2-2-1) 。系统经过循环过程回到原来状态,因此△E=0。
由图可见,在ABC 过程中,系统对外界作
正功,在CDA 过程中,外界对系统作正功。在
热机循环中,系统对外界所作的总功:
W '=(P-V图中循环曲线所包围的面积) 而且由热力学第一定律可知:在整个循环中系统图2-2-1
绕从外界吸收的热量总和Q 1,必然大于放出的热量总和Q 2,而且
Q 1-Q 2=W '
热机效率表示吸收来的热量有多少转化为有用的功,是热机性能的重要标志之一,效率的定义为
η=Q W '=1-2
Q 1Q 1<1
例1一台四冲程内燃机的压缩比r =9.5,热机抽出的空气和气体燃料的温度为
327℃,在larm=10KPa 压强下的体积为V 0,如图2-2-2所示,从1→2是绝热压
缩过程;2→3混合气体燃爆,压强加倍;从3→4活塞外推,气体绝热膨胀至体积9. 5V 0;这是排气阀门打开,压强回到初始值larm(压缩比是气缸最大与最小体
积比,γ是比热容比) 。(1)确定状态1、2、3、4的压强和温度;(2)求此循环的热效率。
分析:本题为实际热机的等容加热循环——奥托循环。其热效率取决于压缩比。
解:对于绝热过程,有p V '=恒量,结合状态方程,有TV
(1)状态1,p 1=1atm ,T 1=300K r -1恒量。
T 2V 0γ-1=T 1(rV 0) γ-1
得 T 2=300⨯2. 461=738. 3K ,p 2=23. 38atm
. 6K 在状态3,p 3=2p 2=46. 76atm ,T 3=2T 2=1476
γ-1T (γV ) =T 3V 0 40用绝热过程计算状态4,由 γ-1
得 T 4=600K , p 4=2atm 。
(2)热效率公式中商的分母是2→3过程中的吸热,这热量是在这一过程中燃烧燃料所获得的。因为在这一过程中体积不变,不做功,所以吸收的热量等于气体内能的增加,即C V m (T 3-T 2) ,转化为功的有用能量是2→3过程吸热与4→1过程放热之差:
C V m (T 3-T 1) +C V m (T 4-T 1)
热效率为:
η=
C V m (T 1+T 3-T 2-T 4) T -T =1+41C V m (T 3-T 2) T 3-T 2绝热过程有:
T 4V 4γ-1=T 3V 3γ-1, T 1V 1γ-1=T 2V 2γ-1 0图2-2-2 0因为 V 4=V 1, V 2=V 3
T 4T 3T T 1V 1=η=1-1=(2) γ-1=() γ-1=r 1-γ
T 2, 而 T 2V 1r 故 T 1T 2,
1-γη=1-r 因此 。
热效率只依赖于压缩比,η=59.34%,实际效率只是上述结果的一半稍大些,因为大量的热量耗散了,没有参与循环。
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