弦振动方程中D'Alembert公式的算子算法

华中师范大学硕士学位论文

弦振动方程中D'Alembert公式的算子算法

姓名：陈名中申请学位级别：硕士专业：应用数学指导教师：严国政

20070601

⑧

硕士学位论文

ＭＡＳＴＥＲ’ＳＴＨＥＳＩＳ

摘要

本文主要讨论了运用算子的方法推导出弦振动方程中的Ｄ＇Ａｌｅｍｂｅｒｔ公式。弦振动方程中的Ｄ＇Ａｌｅｍｂｅｒｔ公式是偏微分方程中一个非常重要的基本公式。该公式的推导方法中一个最基本方法是特征线法。本文从另一角度即算子的方法，将弦振动方程写成算子的形式，再根据二阶线性偏微分方程的求解方法，最终推导出

Ｄ＇Ａｌｅｍｂｅｒｔ公式．

关键词：弦振动方程Ｄ＇Ａｌｅｍｂｅｒｔ公式算子方法

Ａｂｓｔｒａｃｔ

Ｔｈｉｓｔｈｅｓｉｓｈａｓｅｑｕａｔｉｏｎ

ｂｙ

ｍａｉｎｌｙｄｉｓｃｕｓｓＤ■ｌｅｍｂｅｒｔ

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Ｋｅｙｗｏｒｄ：ｏｎｅｄｉｍｅｎｓｉｏｎｗａｖｅｅｑｕａｔｉｏｎ；Ｄ＇Ａｌｅｍｂｅｒｔ

Ｓｏｌｕｔｉｏｎ；ａｒｉｔｈｍｅｔｉｃｏｐｅｒａｔｏｒｓ・

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作者张ｆ与计

吼砷年ｉ月／日

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作者签名：ｆ７与名中

日期：撕７年６

Ｂ，日

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年

月

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规定享受相关权益。回壶迨塞握銮后澄卮；旦圭生；旦＝生；旦三生筮查：

作着签名：２气欲

日期．岬年ｆ月１日

导师签名：

日期：

年

月

日

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硕士擘位论文

ＭＡＳＴＥＲ’ＳＴＨＥＳＩＳ

特征线的方法是求解一维双曲型方程Ｃａｕｃｈｙ问题的最基本方法，也是推导弦振

动方程中的Ｄ＇Ａｌｅｍｂｅｒｔ公式的一个主要方法。本文主要从另一角度即算子的方法进一步讨论了Ｄ＇Ａｌｅｍｂｅｒｔ公式的推导过程，下面将作简单介绍

１引言

我们知道一维齐次弦振动方程的Ｃａｕｃｈｙ问题是

Ｉ‰一口２Ｕｘｘ＝ｏ

（・）｛甜（工，ｏ）＝缈（ｚ）

ＩＵｔ（Ｘ，ｏ）＝少（砷

—ｏＯ＜Ｘ＜＋ＯＯ，ｔ＞Ｏ

一ｏｏ＜ｘ＜＋∞

（１）（２）（３）

－－００＜ｘ＜佃

（其中，口是一个正常数，函数烈砷∈Ｃ２，∥（力∈Ｃ１是定义在区间（—ｍ，＋ｍ）上的已知

函数．（叼式的解为

心’，）＝三【贴＋ａｔ）＋贴一口ｆ）】＋五１Ｌｆｘ＋ａｔ帅）出

公式（４）也称为Ｃａｕｃｈｙ问题（＋）的Ｄ＇Ａｌｅｍｂｅｒｔ公式。

（４）

通过对一些参考资料的查阅ｆｌ】，【引，【引，我发现有些参考资料对该公式的推导采取的方法是先将（１）式化为第一标准型，再逐步积分，最终再得到弦振动方程中的Ｄ＇Ａｌｅｍｂｅｒｔ公式。这种经典方法即特征线的方法是求解一维双曲型方程Ｃａｕｃｈｙ问题的最基本方法。特征线法推导Ｄ＇Ａｌｅｍｂｅｒｔ公式的具体过程如下：

解【ｌｌ：方程（１）的特征方程是

ｄｒ２一ａ２ｄｔ２：０

求得特征线是

ｘ—ａｔ２ｃＩ，ｘ＋ａｔ＝ｃ２

其中ｃｌ，Ｃ２为任意常数。作变量变换

ｆ＝工一ＯｔＩ，１＂１＝ｘ＋ａｔ

则方程（１）变为

％口＝Ｏ，或（咋）＿＝Ｏ

从而有

心＝ｆ（Ｏ，

（即％与变量，７无关）

其中厂（善）是ｆ的任意连续可微函数。由上式可得

Ⅳ＠，７）＝Ｇ铆）＋』／（ｆ）蝣令Ｆ（ｆ）＝』，（ｆ）孵，则

甜（ｆ，，７）＝Ｇ（叩）＋Ｆ（善）

其中Ｆ，Ｇ都是任意的二阶连续可微函数。

将ｆ＝Ｘ－－ａｔＩ，ｒｌ＝ｘ＋ａｔ代入上式，可得方程（１）的通解为

”ｑ，＂＝ｕ（ｘ＋ａｔ）＋Ｆ（ｘ一口ｒ）

由（５）式再结合（２）和（３）式，有

ｕ（ｘ，ｏ）＝Ｇ（力＋，（力＝烈曲ｕｔ（ｘ，ｏ）＝ａ（Ｇ’（ｘ）－Ｆ’（ｘ））＝∥（功

（５）

从而有

Ｇ（力一Ｍ＝三ｒ帅№＋ｃ

最终可解得

坼，≤认力一去肚沙＋导

Ｇ（功＝三烈力＋互ｌ。ｒｅ／／（ｒ矽一虿Ｃ

代入（５）式，即可得

哪）＝扣ｘ＋口ｆ）＋烈…ｒ）】＋去￡＝沁）如

２

⑨

硕士擘住论文

ＭＡＳＴＥＲ’ＳＴＨＥ￥１８

本文设想从另一个角度，即算子法对公式（４）进行推导．

我们首先引入另两个定解问题

ｆ‰一口２％＝ｏ

（・Ｊ）｛”Ｏ，０）＝妒（力

ｌ酶（工，ｏ）＝０

一∞＜工＜＋峨

ｆ＞０

一∞＜工＜４－００

一∞＜Ｘ＜佃一ｏｏ＜工＜佃．ｔ＞０一∞＜Ｘ＜佃

一∞＜ｘ＜４－００

ｆ‰一，‰＝０

（・２）｛ｕ（ｘ，０）＝０

ｌ吩（‘ｏ）＝ｙ∽

设

ｐ）

ｐＩ），ｐ２）的解分别为”，ｔｔＩ，ｔ１２，则由线性叠加原理知道

ｕ（ｘ，，）＝ｕｌ（ｘ，ｔ）＋ｕ２（ｘ，ｆ）

（６）

定理ｌ【１】：设ｕｃ，（ｘ，，）是ｐ２）式的解，（这里甜。Ｏ，ｆ）表示以∥为初值的定解问题ｐ２）的解），则ｐ１）式的解“ｌ（ｘ，ｒ）可表示为

¨圳＝掣

由线性叠加原理及定理１，我们知道对（・）式的求解最后可归结为对问题ｐ２）的

求解．。

３

２主要结论与证明

定理２：若烈力∈Ｃ。（—∞，佃），５ｆ，（功∈Ｃ。（哪，＋∞），则由

啦ｆ）－寺￡：㈣ｄｆ

（７）

表示的函数甜２（ｘ，ｆ）是Ｃ矗口咖问题ｐ２）的解

证明：（Ｉ）若Ｃａｕｃｈｙ闯题ｐ２）有解，设其解为ｕｚ（ｘ，Ｏ

下面运用算子的方法来求问题（．２）的解屹似ｆ）

首先，问题（．２）中的齐次方程可以写成如下的算子形式：

务一，务＝岳一口知鲁＋口寿屹＝。

设

Ｖ＝岳＋口寿地

则由（８）式知道

。

岳一口寿Ｖ＝ｏ

插（Ｒ、式叉可以写成下面的一阶线＋牛偏微分方稗缉：

塑一口塑：ｏ

（９）

ａｔ

ａｘ

—ａｕ２＋口堕；１，

ａｔ

ａ工

（１０）

（９）式的特征方程为

ｄｔ

ｄｘ

ｌ

一口

解得

・—一

ｘ＋讲＝ｑ

故（９）式的通解为：

４

（８）

ｖ（ｘ，ｆ）＝Ｆ（ｘ＋ａｔ）

（１１）

其中Ｆ为任意连续可微函数。将问题ｐ２）中的初始条件

ｊ百０ｕ２（ｘ，０）＝ｙ（力

【地Ｏ，ｏ）＝ｏ

代入（１０）式，有

ｖ（ｘ，０）＝缈（力

再结合（１１）式，可得到

Ｆ（Ｄ＝妒（力

故（９）式的通解（即（１１）式）又可以写为：

ｖ（ｘ，０＝矿（工＋口ｆ）

将（１２）式代入（１０）式，有

（１２）

鲁＋口等＝ｙ（ｘ＋ａｔ，

再联立（．２）中的初始条件ｕ２（ｘ，０）＝Ｏ，

则问题ｐ２）的求解等价于下列问题ｐ３）的求解：

（．３）｛鲁扣等劬捌）删，圳

ｌ

鲜２（ｘ，ｏ）＝０

Ｊ∈Ｒ

（１３）

与（１３）式非齐次线性方程对应的齐次线性方程为：

ｏ＿Ｅ＋口一ｏｗ＋∥仅＋口ｒ）望＝ｏａｆ＋口石＋∥协＋口ｒ）瓦＝ｏ

其特征方程为

坐：生：！竺！

１

ａ

（１４）

Ｗ（ｘ＋ａｔ）

由（１４）式中的ａｔ．：生

１

口

可以得到

Ｘ－－ａｔ＝ｃ２

（１５）

再将（１５）式代入…）式中的坐１

ｄｔ

１

高中，有

（１６）

ｄ“２

＿５ｕ（２ａｔ＋ｃ２）

由上式，通过积分可以得到

屹（ｆ１．＝五ｌＪｏｅ２ａｔ＋ｃ２∥（ｆ）打＋ｃ３

再由问题（幸３）中的初始条件Ⅳ２（ｘ，ｏ）－－ｏ，有

ｌ

即

ｊ：２妒（ｒ）打＋ｃ

３＝ｏ

Ｃ３＝－ｌｅ２帅）出＝一去ｒ’帕）出

将上式代入（１６）式，有

以ｆ）＝去ｆ““∥（ｒ）卉一去ｒ‘∥（州ｒ

再将（１５）式代入（１７）式，可以得到问题（．３）的解为

（１７）

屹（Ⅳ）＝去ｆ“∥（ｒ）打一五１

Ｊ。－ａｔ∥（ｆ）打＝瓦ｌＪｆｘ～＋ａｔ，∥（ｒ）打

（７）

上面（７）式也是问题（．２）的通解。

（ＩＩ）反之若烈ｘ）∈ｃ２（Ⅷ，佃），Ｉｃ，（工）∈Ｃ１（—∞，＋。ｏ），则

下Ｏｕ２（ｘ，ｔ）：挚ａ２吣咖”酬

ａｆ

ａｆ

”、

７

７、

，Ｊ

可０２ｕ２（ｘ，ｔ）：塑竺掣啪２∽口ｆ）－∥砸训】

从而

ａ，

ａｆ

ｕ、

７

７、

７’

６

７”…７１ＴＯｕ２（ｘ，ｔ）：堕暨Ｏ竺：洳删州…，）】ａｘｘ１２ａＬ７”。’…７

可０２ｕ２（ｘ，ｔ）：型竺掣者２ａｍ口ｆ）－坶训故也可以得到

ａ工‘ａｚＬ’、。一７”。一７１

从上面各式可以知道ｕ２（ｘ，ｆ）满足Ｉ／ｔｔ—ａ２甜。＝Ｏ

又显然屹（‘ｆ）也满足甜Ｏ，ｏ）＝Ｏ

并且

．ｏｕ２ａ（，ｘ，ｔ）．，：。：！！主三』塑Ｏｔ

由（Ｉ）（ＩＩ）可知定理２成立ｌ，：。：主【ｙ（，＋讲）＋ｙ（ｘ一讲）Ｊｌ，：。：∥（力所以由上述过程可知，（７）式满足问题ｐ２），即（７）式是问题（．２）的解．

定理３：若烈ｘ）∈Ｃ２（—∞，佃），少（曲∈Ｃ１（—∞，佃），则由

Ｍ。，ｆ）＝三【烈工＋口ｆ）＋妒＠一讲）】

表示的函数”ｌ（ｘ，，）Ｃａｕｃｈｙ问题（．１）的解（１８）

证明：根据定理１及定理２，知道９１）的通解为

咖）：鳖等＋ａｔ：竺：如删＋贴卅】

反之，通过直接验证，也可以知道（１８）式满足问题ｐＩ）

所以定理３成立．７

⑥

的通解为：硕士学位论文ＭＡ盯ＥＲ’ＳＴＨＦ．￥１５定理４：若矿（力∈Ｃ２卜∞，＋∞），｛ｆＫｘ）ｅＣｌ（—∞，＋∞），受ｗＪｅａＤ＇ｇｌｅｍｂｅｒｔ公式（４）表示的函证明：由线性叠加原理（６）式，并注意到（７）（１８）两式，立即得到Ｃａｕｃｈｙ问题（．）

甜化ｆ）＝主【烈刈－讲）＋矿。一讲）】＋云１Ｊ＝二：妒（ｒ）如上式即为Ｄ＇Ａｌｅｍｂｅｒｔ公式

⑨硕士学位论文

ＭＡＳＴＥＲ’ＳＴＨＥＳｉ￥

３总结

Ｄ＇Ａｌｅｍｂｅｒｔ公式是一维齐次弦振动方程中的一个很重要的基本公式，该公式的推导方法也有多种，其中一个重要的方法是特征线法，本文主要是运用算子的方法，将一维齐次弦振动方程分解为两个一阶线性方程，通过解这两个相对比较简单的一阶线性方程，我们也可以得到Ｄ＇Ａｌｅｍｂｅｒｔ公式．，

⑨硕士学位论文

ＭＡＳＴＥＲ’ＳＴＨＥＳＩＳ

参考文献

［１］朱长江，邓引斌．偏微分方程教程［Ｍ］．北京：科学出版社，２００５．

北京：高等教育出版社，２００４．［２］询中丹，黄海洋．偏微分方程［Ｍ］．

Ｎｅｗ［３］Ｆｊｏｈｎ．ＰａｒｔｉａｌＤｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌＥｑｕａｔｉｏｎｓ［Ｍ］．

Ｓｐｒｉｎｇｅｒ—Ｖｅｒｌａｇ，１９８２．Ｙｏｒｋ：

［４］吴方同．数学物理方程［Ｍ］．

２００４．武汉：武汉大学出版社，２００１．［Ｍ］．北京：高等教育出版社，［５］刘连寿，王正清．数学物理方法（第二版）

［６］华东师范大学数学系．数学分析（第三版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００１．［７］丁同仁，李承治．常微分方程教程（第二版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，

２００４．１０

致谢

在完成这篇论文之际，我要向我在华中师范大学数学与统计学院２００４级高校教师硕士班学习的两年时间里给过我关心、支持与帮助的老师、同学、朋友们表示衷心的感谢。

首先，非常感谢我的指导老师华中师范大学数学与统计学院博士生导师严国政教授。本文从选题、开题、到写作、修改以及审阅定稿，始终得到恩师严国政教授的关心和细致的指导。在这里，我要向严国政教授致以衷心、诚挚的感谢！

其次，感谢华中师范大学数学与统计学院２００４级高校教师硕士班的所有同学，在我写论文期间她们给我提供了相关资料，和我一起探讨与研究相关问题并提出了一些好的建议，在此，我真诚的感谢他们！

同时，感谢我的同寝室的好友，谢谢他们的无私的帮助！

也感谢我的同事，是他们减轻了我工作上的压力，让我能够有充足的时间和精力来完成我的论文！

感谢我的妻子王立梅，是她承担起了家庭的重担，给了我生活上的关心和照顾，让我没有后顾之忧。也感谢我的儿子，是几子给家庭带来了无尽的欢乐，而欢乐是生活的动力。

对所有给过我关心、帮助与支持的导师、老师、同学、朋友、同事以及家人再次表示衷心的感谢。

最后，向评审论文的各位老师致以崇高的敬意和衷心的感谢！

陈名中２００７年５月于武昌桂子山

弦振动方程中D'Alembert公式的算子算法作者：

学位授予单位：陈名中华中师范大学

本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Thesis_Y1122682.aspx