数列(暑假高一升高二)

数列

一、数列的概念：

数列的定义； 数列与函数关系； 数列的通项公式；递推关系式；数列的分类。

1n*

(nN)，则在数列的最大项为__（答：）； {a}n

25n2156

2n

（2）数列{an}的通项为an，则an与an1的大小关系为___（答：anan1）；

n1

如（1）已知an

（3）已知数列{an}中，ann2n，且{an}是递增数列，求实数的取值范围

（答：3）； 数列的前n项和：

sna1a2a3...an.

s,(n1)

1

已知sn求an的方法（只有一种）：即利用公式 a=

n

ss,(n2)

n1n

注意：一定不要忘记对n取值的讨论！最后，还应检验当n=1的情况是否符合

当n2的关系式，从而决定能否将其合并。

二.等差数列的有关概念： 1等差数列的定义：

（anan1d(nN*,且n2).(或an1and(nN*)). （1） 等差数列的判断方法：

①定义法：an1and(常数)an为等差数列。

② 中项法： 2an1anan2an为等差数列。 ③通项公式法：ananb（a,b为常数）an为等差数列。 ④前n项和公式法：snAn2Bn（A,B为常数）an为等差数列。

（2）等差数列的通项：公式变形为:ananb. ana1(n1)d或anam(nm)d。

其中a=d, b= a1－d.

如 等差数列{an}中，a1030，a2050，则通项an2n10）；

n(a1an)n(n1)

d。公式变形为：，Snna1

22

dd

SnAn2Bn， 其中 A,Ba1.

22

3115

anan1(n2,nN*)，an， 如(1)数列 {an}中，前n项和Sn，

222

（3）等差数列的前n和：Sn

则a1＝＿，n＝＿ (答：a13，n10）；

(2) 已知数列 {an}的前n项和Sn12nn2，求数列{|an|}的前n项和Tn

2*

12nn(n6,nN)

（答：Tn2）. *

n12n72(n6,nN)

（4）等差中项：若a,A,b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且A2.等差数列的性质：

ab

。 2

（1）当公差d0时，等差数列的通项公式ana1(n1)ddna1d是关于n的一次函数，且斜率为公差d；前n和Snna1

n(n1)dd

dn2(a1)n是关于n的二222

次函数且常数项为0.

（2）若公差d0，则为递增等差数列，若公差d0，则为递减等差数列，若公差d0，则为常数列。

（3）若an是有穷数列，则与首末两项等距离的两项之和都等于首末两项之和. 当mnpq时,则有amanapaq，特别地，当mn2p时，则有

aman2ap.

如 等差数列{an}中，Sn18,anan1an23,S31，则n＝____（答：27）； (4) 若项数成等差,则相应的项也成等差数列.即ak,akm,ak2m,...(k,mN*)成等差. 若{an}、{bn}是等差数列，则{kan}、{kanpbn} (k、p是非零常数). Sn,S2nSn,S3nSn2 ，„也成等差数列；

若{an}是等比数列，且an0，则{lgan}是等差数列.

如(1)等差数列的前n项和为25，前2n项和为100，则它的前3n和为 。（答：225）

（2）在等差数列中，S11＝22，则a6＝______（答：2）； （5）单调性：设d为等差数列an的公差，则

d>0an是递增数列；d

an

①若a10,d



0,

an1

an0,,则,则sn最大； ②若a10,d>0且满足sn

0

an10

最小.

an0an0确定出前多少项为非负（或非正）法一：由不等式组； 或

an10

an10

法二：因等差数列前n项是关于n的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性nN。

上述两种方法是运用了哪种数学思想？（函数思想），由此你能求一般数列中的最

大或最小项吗？

如（1）等差数列{an}中，a125，S9S17，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。（答：前13项和 最大，最大值为169）；

（2）若{an}是等差数列，首项a10,a2003a20040， a2003a20040，则使前n项和Sn0成立的最大正整数n是4006） 三.等比数列的有关概念 1. 等比数列定义：

*

a

（anq(n*,n2) （或n1q(nN*)

N

anan1

（1）等比数列的判断方法：定义法

an1

，其中q0,an0或q(q为常数）

an

an1an

(n2)。 

anan1

如 数列{an}中，Sn=4an1+1 (n2)且a1=1，若bnan12an ，求证：数列｛bn｝是等比数列。

（2）等比数列的通项：ana1qn1或anamqnm。

(3)等比数列的前n和：当q1时，Snna1；当q1时，

a1(1qn)a1anq

。 Sn

1q1q

如设等比数列{an}中，a1an66，a2an1128，前n项和Sn＝126，求n

和公比q（答：n6， q

1

或2） 2

（4）等比中项：如果a、G、b三个数成等比数列，那么G叫做a与b的等比中

项，即G=ab.

2.等比数列的性质：

（1）对称性：若an是有穷数列，则与首末两项等距离的两项之积都等于首末两项之积.即当mnpq

时，则有am.anap.aq，特别地，当mn2p时，则有am.anap. 如（1）在等比数列{an}中，a3a8124,a4a7512，公比q是整数，则； a10=___（答：512）

（2）各项均为正数的等比数列{an}中，若a5a69，则

2

lo3ga1loag32la10）。 3o (2) 若{an}是等比数列，则{|an|}、{kan}成等比数列； 若{an}、{bn}成等比数列，则{anbn}、{

an

成等比数列； bn

若an是等比数列，且各项均为正数，则logaan成等差数列。 (3) 当q1时，Sn



a1na

,b0，这里ab0，但a0q1aqnb，

1q1q

这是等比数列前n项和 公 式的一个特征，据此很容易根据Sn，判断数列{an}是否为等比数列。如若{an}是等比数列，且Sn3nr， 则r ＝（答：－1）

三.数列通项的求法：

⑴公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。如已知数列

1111

3,5,7,9,试写出其一个通 项 481632

公式：__________（答：an2n1

1

） 2n1

an ⑵已知Sn（即a1a2anf(n)）求an，用作差法：

,(n1)

SSS,(n2)

1n

n1

。

an 如①已知{an}的前n项和满足log2(Sn1)n1，求an（答：

②数列{an}满足



3,n1

）；

2n,n2

111

a12a2nan2n5，求an 222

（答：an (3)

若



14,n1

）

2n1,n2

求

an1anf(n)an

用累加法：

an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1(n2)。

，2，3，） 如（07年北京卷）数列an中，a12，an1ancn（c是常数，n1，

且a1，a2，a3成公比不为1的等比数列．（I）求c的值；（II）求an的通项公式．

(4)已知

an1aaa

f(n)求an，用累乘法：annn12a1(n2)。 anan1an2a1

如已知数列{an}中，a12， 前n项和Sn，若Snn2an，求an（答：

an

4

）

n(n1)

(5)已知递推关系求an，用构造法（构造等差、等比数列）。

（1）形如ankan1b、ankan1bn（k,b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列后，再求an。

如①已知a11,an3an12，求an（答：an23n11）； ②已知a11,an3an12n，求an（答：an53n12n1）； （09年全国）在数列an中，a11，an12an2n． （Ⅰ）设bn

an

．证明：数列bn是等差数列； 2n1

（Ⅱ）求数列an的前n项和Sn．

(2)形如an

an1

的递推数列都可以用倒数法求通项。

kan1b

1an1

，求an（答：an）；

3n23an11

如 已知a11,an

注意：（1）用anSnSn1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了

吗？（n2，当n1时， a1S1）；

(2)一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式

anSnSn1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解。

4,n15

a4,SSa 如 数列{an}满足1） nn1n1，求an（答：ann1

334,n2

四.数列求和的常用方法：

（1）公式法：直接利用或可通过转化为等差、等比数列的求和公式求解。

特别注意：运用等比数列求和公式，务必检查其公比与1的关系，必要时需分类讨论。

2222

如 等比数列{an}的前n项和Sｎ＝2－１，则a1＝_____a2a3an

ｎ

4n1（答：）；

3

（2）倒序相加法：倒序相加法：数列特点：与首末等距离的两项之和等于首末两

项之和，则采用此法。（联系：等差数列的前n项和推导过程）

（3）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通

项相乘构成，即数列是一个

“差·比”数列，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n和公式的推导方法）.

如设{an}为等比数列，Tnna1(n1)a22an1an，已知T11，T24，

q2； ①求数列{an}的首项和公比；②求数列{Tn}的通项公式（答：.①a11，

②Tn2n1n2）；

（4）裂项相消法：裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时一些正负抵消，从而前n项化成首尾若干

少数项之和。常用裂项形式有：

①

； ②()； n(n1)nn1n(nk)knnk

1111

() ； ④

(2n1)(2n1)22n12n1

③

1nkn



1

(nkn): k

⑤

[1**********]1()； 222kk12k1k1kk1(k1)kk(k1)kk1k

如（1）求和：

n111

）； 1447(3n2)(3n1)3n1

（2）在数列{an}中，an

1nn1

，且Sｎ＝９，则n＝_____（答：99）；