外文翻译-最小化对称矩阵的最大特征值
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最小化对称矩阵的最大特征值
ON MINIMIZING THE MAXIMUM EIGENVALUE
OF A SYMMETRIC MATRIX
摘要:一个重要的优化问题是使一个函数φ(x)最小化,其中φ(x)是一个关于x 的对称矩阵的最大特征值(取绝对值)。如果这个矩阵函数是仿射的,那么φ(x)就是凸的。然而,φ(x)是不可微的,因为特征值是不可微在它们聚结点。本文提出的一个算法用来取得最小化的φ(x)是具有二次速率的。二阶导数都无须取得二次收敛的情况下,这个解是唯一的。该算法的一个重要特征是能够分割的多个特征值,如果必要的话,以取得下降方向。在这些方面,该算法对第一类Polak-Wardi-Doyle 方法显示出显著改进。这种新方法与Fletcher 对半定约束和Friedland ,Nocedal 和Overton 逆特征值问题的近期工作有很多共同之处。并会给出一些数值例子。
关键字:非光滑的优化,不可微的优化,凸规划,半定约束,最大奇异值的最小化
1、简介。很多重要的优化问题涉及特征值的约束。举个例子,结构工程,我们不妨以尽量减少一些结构受限于它的固有频率约束的成本。一个相当常见的产生于控制工程的问题是
(1.1) min φ(x)
条件是
(1.2) φ(x) = max |λi(A(x))|,
A(x)是一个关于x 的仿射函数的实对称矩阵,且
{λi(A(x)),I = 1,…,n}
是A(x)的特征值。既然A(x)是一个仿射函数,那么它可以写作
A(x) = A0 + Σxk Ak
函数φ(x)是凸的,因为一个矩阵的最大特征值关于矩阵的元素是一个凸函数。一个重要的特殊例子是
(1.3)Ak = ekekT
这里ek 是单位矩阵的第k 行,所以
(1.4)A(x) = A0 + Diag(x)
需要注意的是,非对称矩阵的最大奇异值的最小化问题的G(x)可以写作(1.1)的形式,其中矩阵 0 G(x)
G(x)T 0
的特征值(或加或减)形成G(x)的奇异值。(毫无疑问的,结果可以通过更直接地处理奇异值问题来获得。)
最小化φ(x)的困难在于,这个方程是不可微的,因为特征值是不可微在它们聚结点。此外,我们通常可以想到的解决方案是在一个不可微点,由于φ(x)的最小化一般驱动多个特征值,以得到相同的最小值。
在这篇文章中,我们提出一个算法来解决(1.1) 具有二次渐近收敛。此外,二阶导数并不总是需要获得二次收敛。为了让这篇文章显得短小精悍,我们不会给出收敛的证明以及,我们会忽略一些算法的细节,但是主旨为非常的清晰。我们相信这是第一次有二次收敛算法,或任何实用的高精度算法,用来描述最小化φ(x)问题。该算法的一个重要特征是,从任何一点不是最优得到下降方向的能力,即使这要求分裂的特征值一开始是相等的。(退化情况的例外。)这显然是一个崭新的算法。
在这些方面,这里给出的算法表示的一阶方法通过Polak 和Wardi (1982)和Doyle (1982)中描述的相同的问题有显著改善。本文受到两个工作:Fletcher (1985)和Friedland ,Nocedal 和Overton (1987)的严重影响,给予充分肯定。与Doyle 个人通信也非常有帮助。另外一个重要的早期参考Cullum ,Donath 和Wolfe (1975),对相关问题给予一阶的方法。毫无疑问,这里给出的算法的一个变种可以导出为那个问题的解。最后,我们不应忽视相关的结构工程文献(见Olhoff 和Taylor (1983,第1146页)进行了有益的调查)。
2. 与Fletche 和Friedland,Nocedal, 和Overton 的工作的联系。问题(1.1)可以重写为一个不可微约束优化问题
(2.1)minω
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